高中数学人教A版第三章函数的应用 课时作业26

课时作业(二十六)一次函数与二次函数模型、指数函数与对数函数模型1．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是()答案：C解析：观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”．故选C.2．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是()A．[5,6)B．(5,6]C．[6,7)D．(6,7]答案：B解析：设陈先生此趟行程为x千米(x∈Z)，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元).1万件售价是20万元，为了获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．18万件B．20万件C．16万件D．8万件答案：A解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．4．若镭经过100年后剩留原来质量的%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝6)eq\s\up15(eq\f(x,100))B．y＝6)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f6,100)))xD．y＝1－4)eq\s\up15(eq\f(x,100))答案：A解析：设镭一年放射掉其质量的t%，则有%＝1·(1－t%)100，t%＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,100)))eq\s\up15(eq\f(1,100))，∴y＝(1－t%)x＝6)eq\s\up15(eq\f(x,100)).5．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2答案：D解析：设其中一段长为xcm，则另一段长为(12－x)cm.∴S＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2＋eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(x,3)))2＝eq\f(\r(3),18)(x－6)2＋2eq\r(3)≥2eq\r(3).6．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋eq\f(1,10)x2，Q＝a＋eq\f(x,b)，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有()A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30答案：A解析：设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y＝xQ－P＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(x,b)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000＋5x＋\f(1,10)x2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10)))x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．由题意，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝45，,b＝－30.))7．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq\f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则需经过的天数为()A．125B．100C．75D．50答案：C解析：由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up15(eq\f(1,50)).设经过t1天后，一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则eq\f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq\f(8,27)＝(e－k)t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up15(eq\f(t1,50))，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75.二、填空题8．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2③浮萍从4m2蔓延到12m2④浮萍每月增加的面积都相等．其中所有正确命题的序号是________．答案：①②解析：由图象，t＝2时，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正确；当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确；当y＝4时，由4＝2t1，知t1＝2，当y＝12时，由12＝2t2，知t2＝log212＝2＋log23，t2－t1＝log23≠，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．9．已知大气压P(百帕)与海拔高度h(米)的关系式为P＝1000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))eq\s\up15(eq\f(h,3000))，则海拔6000米处的大气压为________百帕．答案：解析：将h＝6000，代入P＝1000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))eq\s\up15(eq\f(h,3000))，得P＝1000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))2＝(百帕)．10．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)答案：5解析：设至少经过x小时才能开车，由题意，得(1－25%)x≤，∴≤，x≥三、解答题11．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式．解：OB所在的直线方程为y＝eq\r(3)x.当x∈(0,1]时，由x＝t，求得y＝eq\r(3)t，所以f(t)＝eq\f(\r(3),2)t2；当t∈(1,2]时，f(t)＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)(2－t)2；当t∈(2，＋∞)时，f(t)＝eq\r(3).∴f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)t2，t∈0，1]，,\r(3)－\f(\r(3),2)2－t2，t∈1，2]，,\r(3)，t∈2，＋∞.))12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3eq\f(Q,100)成正比，且当Q＝900时，v＝1.(1)求出v关于Q的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数；(3)一条鲑鱼要想把游速提高1m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化？解：(1)设v＝k·log3eq\f(Q,100)，∵当Q＝900时，v＝1，∴1＝k·log3eq\f(900,100)，∴k＝eq\f(1,2)，∴v关于Q的函数解析式为v＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100).(2)令v＝，则＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100)，∴Q＝2700，故一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．(3)设鲑鱼耗氧量为Q1，Q2时，游速分别为v1，v2，由题意v2－v1＝1，即eq\f(1,2)log3eq\f(Q2,100)－eq\f(1,2)log3eq\f(Q1,100)＝1.∴eq\f(1,2)log3eq\f(Q2,Q1)＝1，∴eq\f(Q2,Q1)＝9，即Q2＝9Q1.故鲑鱼要想把游速提高1m/s，其耗氧量单位数应变为原来的9倍．13．某渔场鱼群的最大养殖量为8吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x要小于8，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率．已知鱼群的年增加量y(吨)和实际养殖量x(吨)与空闲率的乘积成正比，设比例系数k>0.(1)写出y与x的函数关系式，并指出定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大值时，求k的取值范围．解：(1)已知实际养殖量为x吨，年增长量为y吨，则空闲量为(8－x)吨，空闲率为eq\f(8－x,8)，由此可以建立目标函数y＝k·x·eq\f(8－x,8)＝－eq\f(k,8)x2＋kx(k>0)．所以y关于x的函数关系式为y＝－eq\f(k,8)x2＋kx，定义域为(0,8)．(2)y＝－eq\f(k,8)x2＋kx＝－eq\f(k,8)(x－4)2＋2k，又x∈(0,8)．所以当x＝4时，y有最大值2k.即当实际养殖量为4吨时，鱼群的年增长量达到最大值，为2k吨．(3)由题意得0<2k＋4<8，解得－2<k<2，又k>0，于是0<k<2.所以k的取值范围是(0,2)．尖子生题库14．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2－4x＋6(a1∈R)，g(x)＝a23x＋b(a2，b∈R)．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年1至10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解：(1)依题意，由f(1)＝6，解得a1＝4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝6，,g2＝8，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a2＋b＝6，,9a2＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a