高中数学人教B版第二章数列 第2章基本知能检测

第二章基本知能检测(时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{an}中，a3＝－6，a7＝a5＋4，则a1等于eq\x(导学号27542543)(A)A．－10 B．－2C．2 D．10[解析]设公差为d，∴a7－a5＝2d＝4，∴d＝2，又a3＝a1＋2d，∴－6＝a1＋4，∴a1＝－10.2．在等比数列{an}中，a4、a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，则a8等于eq\x(导学号27542544)(B)A．1 B．－1C．±1 D．不能确定[解析]由题意得，a4＋a12＝－3<0，a4·a12＝1>0，∴a4<0，a12<0.∴a8<0，又∵aeq\o\al(2,8)＝a4·a12＝1，∴a8＝－1.3．如果－4，a，b，c，－16成等比数列，那么eq\x(导学号27542545)(B)A．b＝8，ac＝64 B．b＝－8，ac＝64C．b＝8，ac＝64 D．b＝－8，ac＝－64[解析]∵b2＝(－4)×(－16)＝64，b与首项－4同号，∴b＝－8.4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝170，则a7＋a9＋a11的值为eq\x(导学号27542546)(D)A．10 B．20C．25 D．30[解析]∵S17＝17a9＝170，∴a9∴a7＋a9＋a11＝3a95．在等比数列{an}中，an<an＋1，且a2a11＝6，a4＋a9＝5，则eq\f(a6,a11)等于eq\x(导学号27542547)(B)A．6 B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(3,2)[解析]∵a4·a9＝a2a11又∵a4＋a9＝5，且an<an＋1，∴a4＝2，a9＝3，∴q5＝eq\f(a9,a4)＝eq\f(3,2)，又eq\f(a6,a11)＝eq\f(1,q5)＝eq\f(2,3).6．在等差数列{an}中，a1＝3，a3＋a5＝12，则a8＝eq\x(导学号27542548)(C)A．5 B．8C．10 D．14[解析]设公差为d，由题意，得a3＋a5＝2a1＋6d＝6＋6d＝12，∴d∴a8＝a1＋7d＝3＋7＝10.7．等差数列{an}中，若3a8＝5a13，且a1>0，Sn为前n项和，则Sn中最大的是eq\x(导学号27542549)(B)A．S21 B．S20C．S11 D．S10[解析]设数列{an}的公差为d，因为3a8＝5a13，所以2a1＋39d＝0，即a1＋所以a20＋a21＝0，又a1>0，d<0，故a20>0，a21<0，所以Sn中最大的是S20.8．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有eq\x(导学号27542550)(A)A．尺 B．尺C．尺 D．尺[解析]由题意可知，每天织的布构成等差数列，公差为d，首项为5，由题意得，30×5＋eq\f(1,2)×30×29d＝390，解得d≈.故选A．9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，则x的值为eq\x(导学号27542551)(C)A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]a1＝S1＝x－eq\f(1,6)，a2＝S2－S1＝3x－eq\f(1,6)－x＋eq\f(1,6)＝2x，a3＝S3－S2＝9x－eq\f(1,6)－3x＋eq\f(1,6)＝6x，∵{an}为等比数列，∴aeq\o\al(2,2)＝a1a3，∴4x2＝6xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,6)))，解得x＝eq\f(1,2).10．在等比数列{an}中，a1＝1，则其前3项的和S3的取值范围是eq\x(导学号27542552)(C)A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．[eq\f(3,4)，＋∞) D．[3，＋∞)[解析]设等比数列的公比为q，则S3＝1＋q＋q2＝(q＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4).∴S3的取值范围是[eq\f(3,4)，＋∞)．11．把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵，设aij(i，j∈N*)是这个三角形数阵中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8，若aij＝2015，则i与j的和为eq\x(导学号27542553)(B)124357681012911131517141618202224……A．109 B．110C．111 D．112[解析]由数阵知第一行有1个奇数，第3行有3个奇数，第5行有5个奇数，……，第61行有61个奇数，故前61行共有1＋3＋5…＋61＝eq\f(1＋61×31,2)＝961个奇数．而2015是数阵中的第1008个奇数，故2015应是第63行中的第47个数，则i＋j＝63＋47＝110.12．定义运算“*”，对任意a、b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；③(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项公式an＝(n*eq\f(1,n))*0，则数列{an}为eq\x(导学号27542554)(C)A．等差数列 B．等比数列C．递增数列 D．递减数列[解析]由题意，知an＝(n*eq\f(1,n))*0＝0]1,n))＋(n*0)＋(0]1,n))＝1＋n＋eq\f(1,n)，显然数列{an}既不是等差数列也不是等比数列．又函数y＝x＋eq\f(1,x)在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{an}为递增数列．故选C．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于eq\f(21,8).eq\x(导学号27542555)[解析]∵{an}为等比数列，∴a8＝a5q3，∴q3＝eq\f(16,－2)＝－8，∴q＝－2.又a5＝a1q4，∴a1＝eq\f(－2,16)＝－eq\f(1,8)，∴S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(－\f(1,8)[1－－26],1＋2)＝eq\f(21,8).14．一种游戏软件的租金，第一天6元，第二天12元，以后每天比前一天多3元，那么第n(n≥2)天的租金an＝3n＋6(单位：元).eq\x(导学号27542556)[解析]由题意可知，从第二天开始，游戏软件的租金构成等差数列，公差为3，∴an＝12＋3(n－2)＝3n＋6(n≥2)．15．在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0,则当n＝8时，Sn最大.eq\x(导学号27542557)[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S16＝\f(16a1＋a16,2)＝8a8＋a9＞0,S17＝\f(17a1＋a17,2)＝17a9＜0))，∴a8＞0而a1＞0，∴数列{an}是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n＝8时，Sn最大．16．数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(x∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝\x(导学号27542558)[解析]由题意得xn＋1＝10xn，即数列{xn}是公比为10的等比数列，所以x101＋x102＋…＋x200＝(x1＋x2＋…＋x100)·10100＝10102，故lg(x101＋x102＋…＋x200)＝102.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，\x(导学号27542559)(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若b1＋b2＋…＋bk＝85，求正整数k的值．[解析](1)设数列{an}的公差为d，∵a1，a2，a6成等比数列，∴aeq\o\al(2,2)＝a1·a6，∴(1＋d)2＝1×(1＋5d)，∴d2＝3d，∵d≠0，∴d＝3，∴an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.(2)数列{bn}的首项为1，公比为q＝eq\f(a2,a1)＝4.∵b1＋b2＋…＋bk＝eq\f(1－4k,1－4)＝eq\f(4k－1,3)，∴eq\f(4k－1,3)＝85，∴4k＝256，∴k＝4，∴正整数k的值为4.18．(本题满分12分)(2023·福建文，17)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝\x(导学号27542560)(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝4,a1＋3d＋a1＋6d＝15))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝1)).所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n.所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝eq\f(21－210,1－2)＋eq\f(1＋10×10,2)＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.19．(本题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝eq\f(1,3)Sn，n≥1，n∈N＋.eq\x(导学号27542561)求：(1)数列{an}的通项公式；(2)a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．[解析](1)∵an＋1＝eq\f(1,3)Sn(n∈N＋)，∴an＝eq\f(1,3)Sn－1(n≥2，n∈N＋)，∴两式相减，得an＋1－an＝eq\f(1,3)an.即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(4,3)(n≥2)．a2＝eq\f(1,3)S1＝eq\f(1,3)a1＝eq\f(1,3)，eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,3)≠eq\f(4,3).∴数列{an}是从第2项起公比为eq\f(4,3)的等比数列，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n＝1,\f(1,3)·\f(4,3)n－2n≥2)).(2)由(1)知，数列a2，a4，a6，…，a2n是首项为eq\f(1,3)，公比为eq\f(16,9)的等比数列，∴a2＋a4＋…＋a2n＝eq\f(\f(1,3)[1－\f(16,9)n],1－\f(16,9))＝eq\f(3,7)[(eq\f(16,9))n－1]．20．(本题满分12分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝\x(导学号27542562)(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常数c.[解析](1){an}为等差数列，∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．又公差d>0，∴a3<a4，∴a3＝9，a4＝13.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9,a1＋3d＝13))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,d＝4))，∴an＝4n－3.(2)由(1)知，Sn＝n·1＋eq\f(nn－1,2)·4＝2n2－n，∴bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c)，∴b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c)，∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，∴c＝－eq\f(1,2)(c＝0舍去)．21．(本题满分12分)(2023·天津文，18)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝\x(导学号27542563)(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．[解析](1)设{an}的公比为q，{bn}的公差为d.由题意q>0，由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2q2－3d＝2,q4－3d＝10))，消去d，得q4－2q2－8＝0.又因为q>0，解得q＝2，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*，{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)有cn＝(2n－1)2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3.所以Sn＝(2n－3)2n＋3，n∈N*.22．(本题满分14分)已知函数f(x)＝eq\f(2x＋3,3x)，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(eq\f(1,an))，n∈N*.eq\x(导学号27542564)(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝eq\f(1,an－1an)(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<eq\f