高中数学人教A版2本册总复习总复习 公开课

2．演绎推理1．结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．2．通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．演绎推理．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．演绎推理的一般模式——“三段论”，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(自)eq\x(测)1．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是(B)A．①B．②C．③D．①②解析：此推理的小前提是“三角形不是平行四边形”．故选B.2．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提是(B)A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形解析：易知此推理的大前提是矩形都是对角线相等的四边形．故选B.3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(D)A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段式”，但大前提错误D．使用了“三段式”，但小前提错误解析：此推理使用了“三段式”，但小前提错误．故选D.4．在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.①证明：在△ABC中，∵CD⊥AB，AC＞BC；②∴AD＞BD；③∴∠ACD＞∠BCD.则在上面证明过程中错误的是③(只填序号)．解析：AD，BD不在同一个三角形中，③错误．eq\a\vs4\al(（一）“三段论”的表示形式)(1)符号表示．大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.(2)集合表示．若集合M的所有元素都具有性质P，集合S是集合M的一个子集，那么S中所有元素也具有性质P.由此可见，应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．有时为了叙述简洁，如果大前提或小前提是显然的，那么可以省略．(二)合情推理与演绎推理的区别与联系区别：从推理形式和推理所得的结论上讲，二者有差异．合情推理演绎推理归纳推理合情推理推理形式由部分到整体或由个别到一般的过程由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理结论的正确性结论不一定正确，有待进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确1．在推理证明中，证明命题的正确性采用演绎推理，而合情推理不能用作证明．2．在证明中，演绎推理的基本规则是：(1)在证明过程中，论题应当始终同一，不得中途变更．违反这条规则的常见错误是偷换论题．(2)论据不能靠论题来证明．论题的真实性是靠论据来证明的，如果论据的真实性又要靠论题来证明，那么结果什么也没有证明．违反这条规则的逻辑错误叫做循环论证．(3)论据要真实，论据是确定论题真实性的理由．如果论据是假的，那就不能确定论题的真实性．违反这条规则的逻辑错误叫做虚假论据．(4)论据必须能推出论题．证明是特殊的推理，因而证明过程应该合乎推理形式，遵守推理规则．论据必须是推出论题的充足理由，否则，论据就推不出论题．违反这条规则的逻辑错误，叫做不能推出．3．应用“三段论”来证明问题时，首先应明确什么是大前提和小前提．若题干中没有，则应先补出大前提，然后再利用“三段论”证明．1．三段论“①已有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中“小前提”是(B)A．①B．②C．①②D．③2．下列三段可以组成一个“三段论”，则小前提是(D)①因为指数函数y＝ax(a＞1)是增函数；②所以y＝2x是增函数；③而y＝2x是指数函数．A．①B．②C．①②D．③解析：根据“三段论”的原理，可知选D.3．设a＝(x，4)，b＝(3，2)，若a∥b，则x的值是(D)A．－6\f(8,3)C．－eq\f(8,3)D．6解析：∵a∥b，∴eq\f(x,3)＝eq\f(4,2)，∴x＝6.4．因为中国的大学分布在全国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在全国各地．结论(1)上面的推理正确吗？为什么？(2)推理的结论正确吗？为什么？解析：(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中的M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理的结论错误．(2)由于推理形式错误，故推理结论错误．1．下面说法正确的有(C)①演绎推理是由一般推理到特殊推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①③④正确，②错误的原因是：演绎推理的结论要为真，必须前提和推理形式都为真．2．△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(A)A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB解析：易知该推理是一个正确的三段论，所以选C.3．“由于所有能被6整除的数都能被3整除，18是能被6整除的数，所以18能被3整除．”这个推理是(C)A．大前提错误B．结论错误C．正确的D．小前提错误解析：易知该推理是一个正确的三段论，所以选C.4．下列推理是演绎推理的是(A)A．M，N是平面内两定点，动点P满足|PM|＋|PN|＝2a＞|MN|，得点PB．由a1＝1，an＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积为πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：B是归纳推理，C、D是类似推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．5．在不等边三角形中，a边最大，要想的到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是(C)A．a2＜b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2＞b2＋c2D．a2≤b2＋c26．(2023·吉安二模)对于任意实数a，b，c，定义Γ(a，b，c)满足Γ(a，b，c)＝Γ(b，c，a)＝Γ(c，a，b)关系式，则称Γ(a，b，c)具有轮换对称关系．给出如下四个式子：①Γ(a，b，c)＝a＋b＋c；②Γ(a，b，c)＝a2－b2＋c2；③Γ(x，y，z)＝x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)；④Γ(A，B，C)＝2sinCcos(A－B)＋sin2C(A，B，C是△ABC其中具有轮换对称关系的个数是(C)A．1B．2C．3D．4解析：C因为a＋b＋c＝b＋c＋a＝c＋a＋b，故①具有轮换对称关系；因为a2－b2＋c2＝b2－c2＋a2未必成立，故②不具有轮换对称关系；因为x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)＝y2(z－x)＋z2(x－y)＋x2(y－z)＝z2(x－y)＋x2(y－z)＋y2(z－x)，故③具有轮换对称关系；因为2sinCcos(A－B)＋sin2C＝2sinC[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝4sinAsinBsinC，故④具有轮换对称关系，故选7．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35奇数．”把此演绎推理写成“三段论”的形式．大前提：________________________，小前提：________________________，结论：__________________________．答案：不能被2整除的整数是奇数35不能被2整除35是奇数8．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系是________．解析：当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax为减函数，∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0，1)，∴函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))eq\s\up12(x)为减函数．故由f(m)＞f(n)，得m＜n.答案：m＜n9．关于函数f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝(x≠0)，有下列命题：①其图像关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值是lg2；④当－1＜x＜0，或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确．当x＞0时，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))).∵g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，∴③正确，④也正确，⑤不正确．答案：①③④10．将下列演绎推理写成“三段论”的形式．(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)菱形对角线互相平分；(3)函数f(x)＝x2－cosx是偶函数．解析：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，大前提海王星是太阳系中的大行星，小前提海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．结论(2)平行四边形对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形对角线互相平分．结论(3)若对函数f(x)定义域中的x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，大前提对于函数f(x)＝x2－cosx，当x∈R时，有f(－x)＝f(x)，小前提所以函数f(x)＝x2－cosx是偶函数．结论11．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．证明：∵|x|≤1时，|f(x)|≤1.x＝0满足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1.证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1.►品味高考1．(2023·山东高考)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则f(x)为准偶数函数．下列函数中是准偶数函数的是(DA．f(x)＝eq\r(x)B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)解析：由f(x)＝f(2a－x)知f(x)的图像关于x＝a对称，且a≠0，A，C中两函数无对称轴，B中函数图像的对称轴只有x＝0，而D中当a＝kπ－1(k∈Z)时，x＝a都是y＝cos(x＋1)的图像的对称轴．故选2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是(C)A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：对于指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，则有f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)·f(y)．3．对于n∈N*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，ai＝1，当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0.(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；(2)记cn为数列{bn}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是________________________________________________________________________．解析：(1)2＝1×21＋0×20，∴b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，∴b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，∴b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，∴b8＝1.∴b2＋b4＋b6＋b8＝3.(2)设{bn}中第m个为0的项为bt(t∈N*)，即bt＝0，将t写成二进制数，则有两种情形：①t的二进制数表达式为：，则t＋1的二进制数表达式中“1