高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版学业分层测评15

学业分层测评(十五)向量的加法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.若a与b是互为相反向量，则a＋b＝________.【解析】由题意可知，a＋b＝0.【答案】02.下列等式不成立的是________.①0+a＝a；②a＋b＝b＋a；③eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＝2eq\o(AB,\s\up13(→))；④eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→)).【解析】∵eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(BA,\s\up13(→))是互为相反向量，∴eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＝0，故③错误.【答案】③3.在▱ABCD中，|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up13(→))|＝4，则：(1)|eq\o(AC,\s\up13(→))|________7(填“＞”“＜”或“≥”“≤”)；(2)若|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝5，则此四边形为________.【解析】(1)三角形两边之和大于第三边；(2)由|eq\o(AB,\s\up13(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up13(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|2，可知△ABC为直角三角形，所以应填“矩形”.【答案】(1)＜(2)矩形4.如图2­2­6所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是________.图2­2­6①eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))，eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))；②eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\o(DA,\s\up13(→))；③eq\o(AO,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))；④eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(DA,\s\up13(→)).【解析】因为eq\o(AO,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))，eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))，所以eq\o(AO,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)).【答案】③5.设E是平行四边形ABCD外一点，如图2­2­7所示，化简下列各式：图2­2­7(1)eq\o(DE,\s\up13(→))＋eq\o(EA,\s\up13(→))＝________；(2)eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(EA,\s\up13(→))＝________；(3)eq\o(DE,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(EC,\s\up13(→))＝________；(4)eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＋eq\o(EC,\s\up13(→))＋eq\o(AE,\s\up13(→))＝________.【解析】(1)eq\o(DE,\s\up13(→))＋eq\o(EA,\s\up13(→))＝eq\o(DA,\s\up13(→))；(2)eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(EA,\s\up13(→))＝eq\o(EA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＝eq\o(EB,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＝0；(3)eq\o(DE,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(EC,\s\up13(→))＝eq\o(DE,\s\up13(→))＋eq\o(EC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→))；(4)eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＋eq\o(EC,\s\up13(→))＋eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(AE,\s\up13(→))＋eq\o(EC,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(DC,\s\up13(→)).【答案】(1)eq\o(DA,\s\up13(→))(2)0(3)eq\o(DB,\s\up13(→))(4)eq\o(DC,\s\up13(→))6.某人在静水中游泳，速度为4eq\r(3)km/h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，他实际沿________方向前进，速度为________.【解析】如图所示，∵OB＝4eq\r(3)，OA＝4，∴OC＝8，∴∠COA＝60°.【答案】与水流方向成60°8km/h(答案不唯一)7.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝1，则|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))|＝________.【导学号：48582078】【解析】在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABD是等边三角形，则BD＝1，则|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))|＝|eq\o(BD,\s\up13(→))|＝1.【答案】18.已知△ABC是正三角形，给出下列等式：①|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))|；②|eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))|＝|eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))|；③|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→))|；④|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))|.其中正确的有________.(写出所有正确等式的序号)【解析】eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))，eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝eq\o(BA,\s\up13(→))，而|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(BA,\s\up13(→))|，故①正确；|eq\o(AB,\s\up13(→))|≠|eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))|，故②不正确；画图(图略)可知③，④正确.【答案】①③④二、解答题9.如图2­2­8所示，两个力F1和F2同时作用在一个质点O上，且F1的大小为3N，F2的大小为4N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小.图2­2­8【解】如图所示，eq\o(OA,\s\up13(→))表示力F1，eq\o(OB,\s\up13(→))表示力F2，以OA，OB为邻边作▱OACB，则eq\o(OC,\s\up13(→))是力F1和F2的合力.在△OAC中，|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝4，且OA⊥AC，则|eq\o(OC,\s\up13(→))|＝eq\r(|\o(OA，\s\up13(→))|2＋|\o(AC,\s\up13(→))|2)＝5，即合力的大小为5N.10.已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点.求证：eq\o(EF,\s\up13(→))＋eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(DC,\s\up13(→)).【导学号：48582079】【证明】如图所示，在四边形CDEF中，eq\o(EF,\s\up13(→))＋eq\o(FC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(DE,\s\up13(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up13(→))＝－eq\o(FC,\s\up13(→))－eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(DE,\s\up13(→))＝eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(DC,\s\up13(→))＋eq\o(ED,\s\up13(→)).①在四边形ABFE中，eq\o(EF,\s\up13(→))＋eq\o(FB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(AE,\s\up13(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(BF,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(EA,\s\up13(→)).②①＋②得eq\o(EF,\s\up13(→))＋eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(DC,\s\up13(→))＋eq\o(ED,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(EA,\s\up13(→))＝(eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→)))＋(eq\o(ED,\s\up13(→))＋eq\o(EA,\s\up13(→)))＋(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(DC,\s\up13(→))).∵E，F分别是AD，BC的中点，∴eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→))＝0，eq\o(ED,\s\up13(→))＋eq\o(EA,\s\up13(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up13(→))＋eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(DC,\s\up13(→)).[能力提升]1.下列命题中正确命题的个数为________.①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝0；③若eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等.【解析】①假命题，当a＋b＝0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝0；④假命题，只有当a与b同向时才相等.【答案】12.若|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围是________.【解析】当a与b同向时，|a＋b|取最大值13；当a与b反向时，|a＋b|取最小值3.【答案】[3，13]3.设a＝(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)))＋(eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(DA,\s\up13(→)))，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号是________.①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.【导学号：48582080】【解析】∵a＝(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)))＋(eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(DA,\s\up13(→)))＝(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→)))＋(eq\o(CD,\s\up13(→))＋e