高中数学人教A版2第三章数系的扩充与复数的引入单元测试 全国一等奖

3．1数系的扩充和复数的概念3．复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．2．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．3．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0),它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．想一想：实轴与虚轴的交点是原点，对吗？解析：对，原点既在实轴上，又在虚轴上，但虚轴上的点，除了原点，都表示纯虚数．2．复数的几何意义想一想：复数z＝1－2i所对应的点在第__________象限．解析：因为复数z＝1－2i所对应的点是Z(1，－2)，所以复数z＝1－2i所对应的点在第四象限．答案：43．复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|且|z|＝eq\r(a2＋b2)．想一想：已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)的模|z|＝1，则复数z所对应的的轨迹是________．解析：因为|z|＝1，即eq\r(x2＋y2)＝1，所以x2＋y2＝1，所以复数z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆．答案：以原点为圆心，半径为1的圆eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．向量a＝(1，－2)所对应的复数是(B)A．z＝1＋2iB．z＝1－2iC．z＝－1＋2iD．z＝－2＋i解析：∵a＝(1，－2)，∴复平面内对应的点Z(1，－2)，∴a对应的复数为Z＝1－2i.2．已知复数z＝a＋eq\r(3)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(A)A．－1＋eq\r(3)iB．1＋eq\r(3)iC．－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)iD．－2＋eq\r(3)i解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，eq\r(a2＋（\r(3)）2)＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋eq\r(3)i.3．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为(A)A．a＝－c，b＝dB．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－dD．a≠0，b≠d解析：z1＝a＋bi的对应点P1(a，b)，z2＝c＋di的对应点P2(c，d)，因为P1与P2关于y轴对称，所以a＝－c，b＝d.故选A.eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．过原点和eq\r(3)－i对应点的直线的倾斜角是(D)\f(π,6)B．－eq\f(π,6)\f(2π,3)\f(5π,6)解析：∵eq\r(3)－i在复平面上的对应点是(eq\r(3)，－1)，∴tanα＝eq\f(－1－0,\r(3)－0)＝－eq\f(\r(3),3)(0≤α<π)，∴α＝eq\f(5,6)π.2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(C)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，所以A(6，5)，B(－2，3)，又C为线段AB的中点，所以C(2，4)，所以点C对应的复数是2＋4i.3．当eq\f(2,3)<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵eq\f(2,3)<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．4．若复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a＝5．eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：设z＝5＋bi(b∈R)，则|z|＝eq\r(25＋b2)，又|4－3i|＝eq\r(42＋（－3）2)＝5，∴eq\r(25＋b2)＝5，∴b＝0，故选A.6．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(C)A．复数z对应的点在第一象限B．复数z一定不是纯虚数C．复数z对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数解析：∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，排除D.又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确．7．已知复数z＝x＋2＋(y－1)i的模为2eq\r(3)，则点(x，y)的轨迹方程(x，y∈R)是__________．解析：由题意可得|z|＝2eq\r(3)，即eq\r(（x＋2）2＋（y－1）2)＝2eq\r(3)，化简得(x＋2)2＋(y－1)2＝12，所以点(x，y)的轨迹方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝12.答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝128．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为________．解析：|z|＝eq\r(（1＋cosα）2＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(4cos2\f(α,2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))).∵π<α<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<π，coseq\f(α,2)<0，∴|z|＝－coseq\f(α,2).答案：－coseq\f(α,2)9．实数m分别取何值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)(1)在x轴上方？(2)在直线x＋y＋5＝0上？解析：(1)由题意得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.(2)由题意得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m解得m＝eq\f(－3±\r(41),4).10