高中数学人教A版第三章不等式 模块综合评价(二)

模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是()A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2解析：eq\f(2b,2a)＝2b－a，eq\f(2c,2b)＝2c－b，因为a，b，c成等差数列，所以c－b＝b－a，所以2b－a＝2c－b，即eq\f(2b,2a)＝eq\f(2c,2b).答案：C2．在△ABC中，A＝135°，C＝30°，c＝20，则边a的长为()A．10eq\r(2)B．20eq\r(2)C．20eq\r(6)\f(20\r(6),3)解析：由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以a＝eq\f(c·sinA,sinC)＝eq\f(20×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝20eq\r(2).答案：B3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6解析：两式相减得，3a3＝a4－a3，a4＝4a所以q＝eq\f(a4,a3)＝4.答案：B4．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为()A．37B．36C．20D．19解析：由am＝a1＋a2＋…＋a9得(m－1)d＝9a5＝36d⇒m答案：A5．不等式x(9－x)＞0的解集是()A．(0，9) B．(9，＋∞)C．(－∞，9) D．(－∞，0)∪(9，＋∞)解析：由x(9－x)＞0，得x(x－9)＜0，所以0＜x＜9.答案：A6．若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段()A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形解析：由余弦定理：设最大角为A，则cosA＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2)＜0，所以A为钝角．答案：C7．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(15,2))) B．[2，8]C．[2，8) D．[2，7]解析：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得eq\f(3,2)＜[x]＜eq\f(15,7)，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.答案：C8．已知数列{an}满足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，则a5的值为()A．0B．－1C．－2D．解析：因为a1＝1，a2＝12－1＝0，a3＝02－1＝－1，a4＝(－1)2－1＝0，a5＝02－1＝－1.答案：B9．若变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤40，,x＋2y≤50，,x≥0，,y≥0.))则z＝3x＋2y的最大值是()A．90B．80C．70D．40解析：作出可行域如图所示．由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2，－eq\f(1,2)，而3x＋2y＝0的斜率为－eq\f(3,2)，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10，20)时，z有最大值，z的最大值为70.答案：C10．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为()A．[2，8]B．(2，8)C．(4，8)D．(1，7)解析：设产销售为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.答案：A11．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0\f(9,8)C．2\f(9,4)解析：因为x2－3xy＋4y2－z＝0，所以z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z为正实数，所以eq\f(z,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1(当且仅当x＝2y时取“＝”)，即x＝2y(y＞0)，所以x＋2y－z＝2y＋2y－(x2－3xy＋4y2)＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.所以x＋2y－z的最大值为2.答案：C12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB\f(1,4)\f(3,4)\f(\r(2),4)\f(\r(2),3)解析：因为b2＝ac且c＝2a由余弦定理：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知0＜x＜6，则(6－x)·x的最大值是________．解析：因为0＜x＜6，所以6－x＞0，所以(6－x)·x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x＋x,2)))eq\s\up12(2)＝9.答案：914．观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为12－22＋32＋…＋(－1)n＋1n2＝________．解析：分n为奇数、偶数两种情况．第n个等式为12－22＋32－42＋(－1)n＋1·n2.当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n－1)＝－eq\f(\f(n,2)·（3＋2n－1）,2)＝－eq\f(n（n＋1）,2).当n为奇数时，第n个等式＝－eq\f(n（n－1）,2)＋n2＝eq\f(n（n＋1）,2).综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n＋1n2＝eq\f(（－1）n＋1,2)n(n＋1)．答案：eq\f(（－1）n＋1,2)n(n＋1)15．2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图所示，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为10eq\r(6)米，则旗杆的高度为________米．解析：由题意可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理，得eq\f(AN,sin45°)＝eq\f(10\r(6),sin30°)，解得AN＝20eq\r(3)米，在Rt△AMN中，MN＝20eq\r(3)sin60°＝30米．故旗杆的高度为30米．答案：3016．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(eq\r(3)a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则∠B的大小为________．解析：由m∥n，所以(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(eq\r(3)a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c(eq\r(3)a＋c)，即a2＋c2－b2＝－eq\r(3)ac，再由余弦定理得cosB＝－eq\f(\r(3),2)，所以∠B＝150°.答案：150°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%.已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)解：设该楼建成x层，则整幢楼每平方米的建筑费用为400＋400(x－5)·5%(元)，又每平方米购地费用为eq\f(100×104,1000x)＝eq\f(1000,x)(元)，故每平方米的平均综合费用y＝eq\f(1000,x)＋400＋400(x－5)·5%＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(50,x)))＋300≥20×2eq\r(x·\f(50,x))＋300＝200eq\r(2)＋300，当且仅当x＝eq\f(50,x)，x2＝50，x≈7时，y最小，所以大楼应建成7层综合费用最低．18．(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmike/h的速度沿南偏东75°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏45°＋α的方向去追，求追上走私船所需的时间和α角的正弦值．解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上(如图所示)．则有AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°，(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，所以x＝2，AB＝28，BC＝20，sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以所需时间为2小时，α角的正弦值为eq\f(5\r(3),14).19．(本小题满分12分)设a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＝an＋1－an，bn＋1＝2bn＋2.(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，所以eq\f(bn＋1＋2,bn＋2)＝2.又因为b1＋2＝a2－a1＋2＝4，所以数列{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知bn＋2＝4·2n－1，则bn＝2n＋1－2，所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－1－2，…，a3－a2＝23－2，a2－a1＝22－2，叠加得an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，所以an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝eq\f(2（2n－1）,2－1)－2n＋2＝2n＋1－2n.20．(本小题满分12分)设f(x)＝eq\f(16x,x2＋8)(x＞0)．(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)＜b2－3b＋eq\f(21,4).(1)解：因为x＞0，所以f(x)＝eq\f(16x,x2＋8)＝eq\f(16,x＋\f(8,x))≤eq\f(16,2\r(x·\f(8,x)))＝eq\f(16,4\r(2))＝2eq\r(2)，当且仅当x＝eq\f(8,x)，即x＝2eq\r(2)时，等号成立．所以当x＝2eq\r(2)时，f(x)max＝2eq\r(2).(2)证明：令g(b)＝b2－3b＋eq\f(21,4)，b∈R，则g(b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋3，所以当b＝eq\f(3,2)时，g(b)min＝3，因为f(x)max＝2eq\r(2)，所以f(x)max＜g(b)min，故对任意实数a，b，恒有f(a)＜b2－3b＋eq\f(21,4).21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，(1)若不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)，求a，b的值；(2)若f(1)＝2，a＞0，b＞0，求eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值．解：(1)因为不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)，所以－1和3是方程f(x)＝0的两实根，从而有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝a－b＋5＝0，,f（3）＝9a＋3（b－2）＋3＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋5＝0，,3a＋b－1＝0，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝4.))(2)由f(1)＝2，a＞0，b＞0得到a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a＋b＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(2,3)))时“＝”成立；所以eq\f(1,a)＋e