高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版学业分层测评18

(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①eq\o(AD,\s\up15(→))与eq\o(AB,\s\up15(→))；②eq\o(DA,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))；③eq\o(CA,\s\up15(→))与eq\o(DC,\s\up15(→))；④eq\o(OD,\s\up15(→))与eq\o(OB,\s\up15(→)).其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________.【解析】如图所示，eq\o(AD,\s\up15(→))与eq\o(AB,\s\up15(→))为不共线向量，可以作为基底.eq\o(CA,\s\up15(→))与eq\o(DC,\s\up15(→))为不共线向量，可以作为基底.eq\o(DA,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(OD,\s\up15(→))与eq\o(OB,\s\up15(→))均为共线向量，不能作为基底.【答案】①③2.已知向量a和b不共线，实线x，y满足向量等式(2x－y)a＋4b＝5a＋(x－2y)b，则x＋y【解析】由平面向量基本定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝5，,4＝x－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))∴x＋y＝1.【答案】13.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up15(→))＝2eq\o(DB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋λeq\o(CB,\s\up15(→))，则λ＝________.【解析】∵eq\o(AD,\s\up15(→))＝2eq\o(DB,\s\up15(→))，∴eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up15(→))－eq\o(CA,\s\up15(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up15(→)).又∵eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋λeq\o(CB,\s\up15(→))，∴λ＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)4.若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为________.【解析】易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝6λ，,－4＝kλ，))∴k＝－8.【答案】－85.如图2­3­7所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若eq\o(OP,\s\up15(→))＝aeq\o(OP1,\s\up15(→))＋beq\o(OP2,\s\up15(→))，且点P落在第Ⅰ部分，则a________0，b________0.(填“＞”或“＜”)图2­3­7【解析】由向量的分解可知，a＜0，b＞0.【答案】＜＞6.设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则eq\f(n,m)＝________.【解析】由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，∴eq\f(n,m)＝2.【答案】27.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(CA,\s\up15(→))＝4，eq\o(BF,\s\up15(→))·eq\o(CF,\s\up15(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up15(→))·eq\o(CE,\s\up15(→))的值是________.【导学号：48582093】图2­3­8【解析】由题意，得eq\o(BF,\s\up15(→))·eq\o(CF,\s\up15(→))＝(eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→)))·(eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→)))＝(eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→)))·(－eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→)))＝eq\o(DF,\s\up15(→))2－eq\o(BD,\s\up15(→))2＝|eq\o(DF,\s\up15(→))|2－|eq\o(BD,\s\up15(→))|2＝－1，①eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(CA,\s\up15(→))＝(eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→)))·(eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→)))＝(eq\o(BD,\s\up15(→))＋3eq\o(DF,\s\up15(→)))·(－eq\o(BD,\s\up15(→))＋3eq\o(DF,\s\up15(→)))＝9eq\o(DF,\s\up15(→))2－eq\o(BD,\s\up15(→))2＝9|eq\o(DF,\s\up15(→))|2－|eq\o(BD,\s\up15(→))|2＝4.②由①②得|eq\o(DF,\s\up15(→))|2＝eq\f(5,8)，|eq\o(BD,\s\up15(→))|2＝eq\f(13,8).∴eq\o(BE,\s\up15(→))·eq\o(CE,\s\up15(→))＝(eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DE,\s\up15(→)))·(eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DE,\s\up15(→)))＝(eq\o(BD,\s\up15(→))＋2eq\o(DF,\s\up15(→)))·(－eq\o(BD,\s\up15(→))＋2eq\o(DF,\s\up15(→)))＝4eq\o(DF,\s\up15(→))2－eq\o(BD,\s\up15(→))2＝4|eq\o(DF,\s\up15(→))|2－|eq\o(BD,\s\up15(→))|2＝4×eq\f(5,8)－eq\f(13,8)＝eq\f(7,8).【答案】eq\f(7,8)8.如图2­3­9，在△ABC中，eq\o(BC,\s\up15(→))＝a，eq\o(CA,\s\up15(→))＝b，eq\o(AB,\s\up15(→))＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(BE,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→))＝________.图2­3­9【解析】原式＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→)))＝0.【答案】0二、解答题9.如图2­3­9，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使eq\o(DG,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up15(→))，试以a，b为基底表示向量eq\o(AF,\s\up15(→))与eq\o(EG,\s\up15(→)).图2­3­10【解】eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BF,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＝a＋eq\f(1,2)b.eq\o(EG,\s\up15(→))＝eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DG,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,3)a＝－eq\f(1,6)a＋b.10.设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.【导学号：48582094】【解】设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ1－3λ2＝－1，,2λ1＋12λ2＝3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－\f(1,18)，,λ2＝\f(7,27)，))∴a＝－eq\f(1,18)b＋eq\f(7,27)c.[能力提升]1.如图2­3­11，已知eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，eq\o(BD,\s\up15(→))＝3eq\o(DC,\s\up15(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up15(→))，则eq\o(AD,\s\up15(→))＝________.图2­3­11【解析】∵eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)b＋eq\f(1,4)a.【答案】eq\f(3,4)b＋eq\f(1,4)a2.如图2­3­12，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up15(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up15(→))＝meq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up15(→))，则实数m的值为________.图2­3­12【解析】设eq\o(NP,\s\up15(→))＝λeq\o(NB,\s\up15(→))，eq\o(NP,\s\up15(→))＝eq\o(AP,\s\up15(→))－eq\o(AN,\s\up15(→))＝meq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up15(→))＝meq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(1,36)eq\o(AC,\s\up15(→))，λeq\o(NB,\s\up15(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AN,\s\up15(→)))＝＝λeq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(λ,4)eq\o(AC,\s\up15(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λ，,－\f(1,36)＝－\f(λ,4)，))∴m＝λ＝eq\f(1,9).【答案】eq\f(1,9)3.点M是△ABC所在平面内的一点，且满足eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up15(→))，则△ABM与△ABC的面积之比为________.【解析】如图，分别在eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))上取点E，F，使eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up15(→))，在eq\o(BC,\s\up15(→))上取点G，使eq\o(BG,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up15(→))，则EG∥AC，FG∥AE，∴eq\o(AG,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))，∴M与G重合，∴eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(BM,BC)＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)4.如图2­3­13，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若eq\o(AM,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AN,\s\up15(→))＝yeq\o(AC,\s\up15(→))，试问：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)是否为定值？【导学号：48582095】图2­3­13【解】设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→)