高中物理高考一轮复习一轮复习 2023届高三专题复习十八 带电粒子在匀强磁场中运动

专题十八带电粒子在匀强磁场中运动一、考点分析一、考点分析1．本知识点是高考的重点，近几年主要是结合几何知识考查带电粒子在有界匀强磁场及复合场、组合场中的运动。2．注意“运动语言”与“几何语言”间的翻译，如：速度对应圆周半径，时间对应圆心角或弧长或弦长等。二、考题再现二、考题再现典例1.(2023·全国I卷·24)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求(1)带电粒子的比荷；(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。【解析】(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有qU＝eq\f(1,2)mv2 ①设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qvB＝meq\f(v2,r) ②由几何关系知d＝eq\r(2)r ③联立①②③式得eq\f(q,m)＝eq\f(4U,B2d2)。 ④(2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s＝eq\f(πr,2)＋rtan30° ⑤带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t＝eq\f(s,v) ⑥联立②④⑤⑥式得t＝eq\f(Bd2,4U)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(\r(3),3)))。典例2.(2023·全国Ⅱ卷·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为()A．eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBlB．eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC．eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBlD．eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl【解析】电子从a点射出时，其轨迹半径为ra＝eq\f(l,4)，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝，又eq\f(e,m)＝k，解得va＝eq\f(kBl,4)；电子从d点射出时，由几何关系有req\o\al(2,d)＝l2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(rd－\f(l,2)))eq\s\up12(2)，解得轨迹半径为rd＝eq\f(5l,4)，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝，又eq\f(e,m)＝k，解得vd＝eq\f(5kBl,4)，选项B正确。【答案】B三、对点速练三、对点速练1．如图所示，在纸面内存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，一水平固定绝缘杆上套有带电小球P，P的质量为m、电荷量为－q，P与杆间的动摩擦因数为μ。小球由静止开始滑动，设电场、磁场区域足够大，杆足够长，在运动过程中小球的最大加速度为a0，最大速度为v0，则下列判断正确的是()A．小球先加速后减速，加速度先增大后减小B．当v＝eq\f(1,2)v0时，小球的加速度最大C．当v＝eq\f(1,2)v0时，小球一定处于加速度减小阶段D．当a＝eq\f(1,2)a0时，eq\f(v,v0)＞eq\f(1,2)【答案】C【解析】开始运动阶段qvB<mg，加速度a1＝eq\f(qE－μ（mg－qv1B）,m)，小球做加速度越来越大的加速运动；当qvB＝mg之后，小球受到的支持力垂直杆向下，小球的加速度a2＝eq\f(qE－μ（qv2B－mg）,m)，小球做加速度减小的加速运动，加速度减小到0后做匀速运动，则可知小球一直加速最后匀速，加速度先增大后减小为0不变，选项A错误；作出小球的加速度随速度的变化规律图象如图所示，两阶段的图线斜率大小相等，有v1<eq\f(1,2)v0，则v＝eq\f(1,2)v0时一定处于加速度减小阶段，选项B错误，C正确；a＝eq\f(1,2)a0可能出现在加速度增大阶段或加速度减小阶段，选项D错误。2．(多选)直角坐标系xOy内，有一无界匀强磁场垂直纸面，一质量为m，电荷量为q的正电荷从原点沿着y轴正方向以初速度v0出发，不计重力。要使该电荷通过第四象限的P点，P点坐标为(a，－b)，则()A．磁场方向垂直纸面向外B．磁场方向垂直纸面向内C．D．【答案】AC【解析】粒子向右偏转，根据左手定则，磁场方向垂直纸面向外，故A正确，B错误；根据洛伦兹力提供向心力：，根据几何关系：，联立解得：，故C正确，D错误。3．现代技术常用磁场来控制带电粒子的运动。如图，在竖直平面内有一边长为L的正方形abcd，该区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。某时刻从ab边中点p沿对角线ac方向射出一束比荷eq\f(q,m)相同、初速度大小不同的带正电的粒子。不计粒子重力及粒子间的相互作用力。则()A．粒子不可能从c点射出B．粒子不可能从cd边中点射出C．粒子能从ad边射出区域的长度为eq\f(1,2)LD．粒子在abcd区域内运动的最长时间为【答案】D【解析】由左手定则可得粒子做逆时针运动，其运动轨迹可能如图所示，故选项A、B错误；根据粒子做逆时针运动，作出放缩圆可知，粒子能从ad边上任意一点射出，故选项C错误；粒子在abcd区域内运动，当粒子从ap上离开磁场区域时转过的中心角最大，为270°，粒子在磁场中的运动周期T＝2πRv＝2πmqB；故粒子在abcd4．(多选)如图所示，圆形区域内以直线AB为分界线，上半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。下半圆内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小未知，圆的半径为R。在磁场左侧有一粒子水平加速器，质量为m，电量大小为q的粒子在极板M右侧附近，由静止释放，在电场力的作用下加速，以一定的速度沿直线CD射入磁场，直线CD与直径AB距离为。粒子在AB上方磁场中偏转后，恰能垂直直径AB进入下面的磁场，之后在AB下方磁场中偏转后恰好从O点进入AB上方的磁场。带电粒子的重力不计。则()A．带电粒子带负电B．加速电场的电压为C．粒子进入AB下方磁场时的运动半径为D．AB下方磁场的磁感应强度为上方磁场的6倍【答案】ACD【解析】从C点入射的粒子向下做匀速圆周运动，即受到洛仑兹力向下，由左手定则知道粒子带负电，所以选项A正确；由题意知，粒子在AB上方磁场中做匀速圆周运动的半径r1＝，在电场中加速有：，在AB上方磁场中：，联立得：，所以选项B错误；粒子在AB下方磁场中做匀速圆周运动，由几何关系：，解得r2＝，所以选项C正确；由洛仑兹力提供向心力得到半径：，由于r1＝6r2，所以B2＝6B1，所以选项D正确。5．如图所示，矩形区域以对角线abcd为边界分为上、下两个区域，对角线上方区域存在竖直向下的匀强电场，对角线下方区域存在垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m、带电量为+q的粒子以速度v0从a点沿边界ab进入电场，恰好从对角线ac的中点O进入磁场，并恰好未从边界cd射出。已知ab边长为2L，bc边长为eq\r(3)L，粒子重力不计，求：(1)电场强度E的大小；(2)磁感应强度B的大小。【解析】(1)从a点入射的粒子在电场区域内做类平拋运动，则有：，，联立解得：(2)设粒子进入磁场时速度大小为v，速度方向与水平方向成β角，则有：，粒子进入磁场后恰好不从边界cd射出，其轨迹恰与边界cd相切，如图所示，设圆周运动的半径为R，由几何关系可得：由牛顿第二定律得：联立解得：。6．如图所示，在足够长的绝缘板MN上方存在方向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场（图中未标出），在绝缘板上方距离为d的P点有一个粒子发射源，能够在纸面内向各个方向发射速度大小相等，比荷eq\f(q,m)＝k的带正电粒子，已知粒子在磁场中运动的轨道半径R＝d，不计粒子间的相互作用和粒子的重力，试求：(1)粒子源所发射粒子的速度大小v0；(2)能够到达绝缘板上的带电粒子在板上留下痕迹的最大长度Lm；(3)同时射出的粒子打到板上的最大时间差Δtm。【解析】(1)带电粒子在磁场中运动时qv0B＝meq\f(v02,R)解得(2)画出粒子运动轨迹的示意图如图所示，设粒子能打中绝缘板上最左端和最右端的点分别为C、D，粒子在C点与绝缘板相切，PD为粒子轨迹圆的直径。根据几何关系可得带电粒子在板上留下痕迹的最大长度：(3)同时射出的粒子中最先和最后打中绝缘板的粒子运动情况如图所示，根据几何关系可知，最先打中绝缘板的粒子转过的圆心角：最后打中绝缘板的粒子转过的圆心角：粒子在磁场中运动的周期：同时射出的粒子打到板上的最大时间差：所以最大时间差。7．如图所示，在边长为L的正方形顶点a有一质量为m、电荷量为q的离子源，持续不断地在单位时间内向正方形区域发射n个速率均为v的离子，这些离子沿角度均匀分布。在正方形区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，使得所有离子均能垂直cd边射出，且沿边长ab发射的离子恰好从c点水平射出。在正方形右侧平行于cd放置一接地金属板M，其上有一沿y轴可移动的、长度为eq\f(1,2)L的窗口，允许离子通过。在极板M右侧存在边长也为L的正方形区域，设置一匀强磁场，其方向与左侧磁场相同，使通过窗口的离子都汇集到位于边长中点S的收集器中，不计重力和离子间相互作用。(1)判断离子带电量的正负；(2)求左右两区域磁感应强度的大小及磁场区域的最小面积；(3)单位时间内收集器中离子收集率与窗口中心位置坐标y之间的关系。【解析】(1)由离子的偏转方向和左手定则，可判断离子带负电。(2)沿边长ab发射的离子恰好从c点水平射出可知，离子在磁场中运动的半径R1＝L，根据牛顿第二定律qvB1＝m左侧区域磁感应强度的大小左侧磁场区域的最小面积离子在右侧区域的运动半径R2＝，右侧区域磁感应强度的大小右侧磁场区域的最小面积(3)离子出射区间宽度为L/2，需要分段讨论：当yL，，η＝0当时，，当时，，当时，。8．如图1所示为平面坐标系xOy，在第一象限内的虚曲线和y轴之间存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在第二象限内的虚直线(x＝－6eq\r(3)a)和y轴之间存在着如图2所示的交变磁场（以垂直纸面向外为磁场的正方向）。在A(2a，0)点的放射源发出质量为m、带电量为+q的粒子，粒子速度大小为v0＝，速度方向与x轴负方向的夹角为θ(0＜θ＜90°)，所有粒子都能垂直穿过y轴后进入第二象限。不计粒子重力和粒子间相互作用。(1)求夹角θ＝45°的粒子经过y轴时的坐标；(2)求第一象限内虚曲线的曲线方程y(x)；(3)假设交变磁场在0时刻，某粒子刚好经过y轴上的B(0，a)点，则：①要求该粒子不回到第一象限，交变磁场的变化周期T应满足什么条件？②要求该粒子在C(－6eq\r(3)a，a)点垂直虚直线水平射出磁场，求粒子在交变磁场中运动时间t与磁场变化周期T的比值k的最小值，并求出在这种情况下粒子在交变磁场中的运动时间。【解析】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径为r，则：qv0B0＝mv0解得：r＝a如图1所示，当入射角为45°时，根据几何关系可得：y轴坐标y＝（2a－22a）+（a－22a）＝（3－(2)如图2所示，入射角为任意角θ，进入磁场入射点坐标为（x，y），根据几何关系可得：tanθ＝y2a-xtanθ＝x得y＝x2a-xa2-x2（(3)①粒子不回到第一象限，临界情况为轨迹与y轴相切，如图3所示；设粒子在磁场中运动的周期为T0，两圆心连线与y轴夹角为β，则：T0＝2πmqsinβ＝1所以β＝30°且满足T得T＝10πm要求该粒子不回到第一象限，交变磁场的变化周期T应满足T≤10πm3q②粒子在交变磁场中运动的时间t与磁场变化的周期T的比值为k，即tT＝如图4所示，根据几何关系可得：4rsinβ×k＝LBC．sinβ＝3由于sinβ≤1所以k最小等于3，即sinβ＝3当β＝60°，如图4所示，粒子运动时间t1＝4×60°360∘×3×当β＝120°时，如图5所示，粒子运动时间t2＝4×120°360∘×3×如图甲所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图象如图乙所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向，t＝0时刻，带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量，图乙中eq\f(E0,B0)＝eq\f(8v0,π2)，在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2v0t0,π)，\f(2v0t0,π)))。求：(1)粒子P的比荷；(2)t＝2t0时刻粒子P的位置；(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。【解析】(1)0～t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过eq