高中数学高考一轮复习一轮复习 第三节 直线平面平行的判定与性质

课时作业(四十)直线、平面平行的判定与性质1．(多选)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β平行的条件有()A．存在平面γ，使得α，β都平行于γB．存在平面γ，使得α，β都垂直于γC．α内有不共线的三点到β的距离相等D．存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥βAD[若存在平面γ，使得α，β都平行于γ；两个平面平行，所以A正确．存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能α与β不平行．B不正确．C不能判定α与β平行．如α面内不共线的三点不在β面的同一侧时，此时α与β相交；D可以判定α与β平行．∵可在α面内作l′∥l，m′∥m，则l′与m′必相交．又∵l∥β，m∥β，∴l′∥β，m′∥β，∴α∥β.故选AD.]2.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是()A．OM∥PDB．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBAABC[对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故A正确；对于B，由于OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故B正确；对于C，由于OM∥PD，OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则OM∥平面PAD，故C正确；对于D，由于M∈平面PAB，故D错误．故选ABC.]3.(2023·湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能B[在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC，因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.故选B项．]4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25D[∵平面α∥平面ABC，∴AB∥平面α.又∵平面α∩平面PAB＝A′B′，∴A′B′∥AB.∵PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴A′B′＝AB＝2∶5，∴eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝(eq\f(A′B′,AB))2＝eq\f(4,25).故选D.]5.如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq\f(PF,FC)＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)D[如图，连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E为AD的中点，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).]6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形7．(开放型)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号).解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM∥PB，分别交AB，BC于点N，M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，FM＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89．在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系？并证明你的结论．解析：(1)过点P作B′C′的平行线，分别交A′B′，C′D′于点E，F，连接BE，CF.如图所示．(2)EF∥平面ABCD.理由如下：因为BC∥平面A′B′C′D′.又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′.所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC.又因为EF⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD.所以EF∥平面ABCD.10．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC的边长AB＝1，侧棱长为eq\f(\r(3),2)，P是A1B1的中点，E，F，G分别是AC，BC，PC的中点．(1)求异面直线FG与BB1所成角的大小；(2)求证：平面EFG∥平面ABB1A．解析：(1)连接PB.∵G，F分别是PC，BC的中点，∴GF∥BP，∴直线PB与BB1所成角即异面直线FG与BB1所成角．在Rt△PB1B中，由PB1＝eq\f(1,2)，BB1＝eq\f(\r(3),2)，可得tan∠PBB1＝eq\f(PB1,BB1)＝eq\f(\r(3),3)，∴异面直线FG与BB1所成角的大小为30°.(2)证明：由(1)易得，直线FG∥平面ABB1A1，∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB.又AB⊂平面ABB1A1，EF⊄平面ABB1A1，∴EF∥平面ABB1A1.∵EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG.∴平面EFG∥平面ABB1A1.11．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D1AC[∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1故C正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．故选AC.]12．(开放型)在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.解析：如图所示，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA．连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故点Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q为CC1的中点13．如图，四边形ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.解析：(1)如图，连接AE.则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.14．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD.点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F­DCE的体积．解析：(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD.又AB∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DC＝AE＝eq\f(1,2)AB.即点E是AB的中点．因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又点E是AB的中点，所以点F是PB的中点，综上，E，F分别是AB，PB的中点．(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF­DEC＝eq\f(1,2)，VP­DEC＝eq\f(1,6)S△DEC×PE＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(2,3).15．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法正确的是()A．没有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGH所在四边形的面积为定值C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行D．当容器倾斜如图所示位置时，BE·BF是定值ACD[由题图，显然A项正确，B项错误；对于C项，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C项正确；因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即D项正确，故选ACD项．]16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2))) D．[eq\r(2)，eq\r(3)]B[取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．因为A1M＝A1N＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以当点P位于M，N点时，A1P最大，