高中数学北师大版第一章统计单元测试 第1章分层抽样与系统抽样

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②.那么()A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样【解析】对于①，因为每隔30分钟抽取一袋，是等间距抽样，故①为系统抽样；对于②，总体数量少，样本容量也小，故②为简单随机抽样，故选A.【答案】A2．(2023·四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A．抽签法 B．系统抽样法C．分层抽样法 D．随机数法【解析】根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．【答案】C3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，…，960，则抽到的32人中，编号落入区间[1,480]的人数为()A．10 B．14C．15 D．16【解析】由系统抽样的定义，960人中抽取32人，共需均分成32组，每组eq\f(960,32)＝30(人)，区间[1,480]恰好含eq\f(480,30)＝16(组)，故抽到的32人中，编号落入区间[1,480]的人数为16人．【答案】D4．(2023·潍坊高一检测)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按eq\f(1,100)的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为()A．8 B．11C．16 D．10【解析】若设高三学生数为x，则高一学生数为eq\f(x,2)，高二学生数为eq\f(x,2)＋300，所以有x＋eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋300＝3500.解得x＝1600，故高一学生数为800.因此应抽取高一学生数为eq\f(800,100)＝8.【答案】A5．为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求()A．每层不等可能抽样B．每层抽取的个体数相等C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝neq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)个个体．(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制【解析】A不正确．B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确．C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确．D不正确．【答案】C二、填空题6．(2023·福建高考)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．【解析】设男生抽取x人，则有eq\f(45,900)＝eq\f(x,900－400)，解得x＝25.【答案】257．已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．【解析】分段间隔为eq\f(3000,150)＝20，故抽到的号码为(k－1)×20＋11.则第61组抽出号码为11＋(61－1)×20＝1211.【答案】12118．(2023·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．【解析】分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品总数为1800件．【答案】1800三、解答题9．某学校有30个班级，每班50名学生，上级要到学校进行体育达标验收．需要抽取10%的学生进行体育项目的测验．请你制定一个简便易行的抽样方案(写出实施步骤)．【解】该校共有1500名学生，需抽取容量为1500×10%＝150的样本．抽样的实施步骤：可将每个班的学生按学号分成5段，每段10名学生．用简单随机抽样的方法在1～10中抽取一个起始号码l(则每个班的l,10＋l,20＋l,30＋l,40＋l)(如果l＝6，即6,16,26,36,46)号学生入样，即组成一个容量为150的样本．10．某公司共有职工302名，其中老年职工30名，中年职工150名，青年职工122名．为了调查他们对工资改革的看法，从中抽取一个60人的样本．请写出抽样过程．【解】由题知，需用分层抽样法，由eq\f(302,60)得5余2，故需从青年职工中随机剔除两名．其中，老年职工应抽取30×eq\f(1,5)＝6名，中年职工抽取150×eq\f(1,5)＝30名，青年职工抽取120×eq\f(1,5)＝24名，具体方法为：(1)在老年职工30人中，分别编号为01,02，…，30，(2)分成6段，每段5人，即01,02，…，05；06,07，…，10；…；26,27，…，30；(3)从第一段中用随机法抽取一个数，如2，则取出的所有数依次为2,7,12,17,22,27.中年职工和青年职工中抽取方法同此，即可抽出一个60人的样本．[能力提升]1．(2023·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为()A．90 B．100C．180 D．300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300【解析】设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得eq\f(x,900)＝eq\f(320,1600)，故x＝180.【答案】C2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7 B．9C．10 D．15【解析】系统抽样的分段间隔为eq\f(960,32)＝30，第n个抽到的编号为9＋(n－1)×30＝30n－21，由题意得451≤30n－21≤750，解之得15eq\f(11,15)≤n≤25eq\f(7,10)，又∵n∈Z，∴满足条件的n共有10个．故选C.【答案】C3．一个总体中有100个个体，随机编号为00,01,02，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1,2,3，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．【解析】由题意知第7组的数为“60～69”10个数．由题意知m＝6，k＝7.故m＋k＝13，其个位数字为3，即第7组中抽取的号码的个位数是3，综上知第7组中抽取的数为63.【答案】634．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中的一组．在参加活动的职工中，青年人占%，中年人占%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的eq\f(1,4)，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．(1)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．【解】(1)设登山组人数为x，在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有eq\f(x×40%＋3xb,4x)＝%，eq\f(x×10%＋3