高中数学人教B版第二章平面解析几何初步 第2章

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2023·淄博高一检测)下列说法正确的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示【解析】当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x－x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示．故选B.【答案】B2．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0【解析】kAB＝eq\f(1－3,－5－1)＝eq\f(1,3)，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.【答案】B3．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则()A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0【解析】直线经过第一、二、三象限，则由y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b)可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)>0，－\f(c,b)>0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab<0，bc<0，))选D.【答案】D4．两条直线l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝1和l2：eq\f(x,b)－eq\f(y,a)＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()【解析】化为截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,－b)＝1，eq\f(x,b)＋eq\f(y,－a)＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．【答案】A5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x【导学号：60870064】A．1 B．2C．－eq\f(1,2) D．2或－eq\f(1,2)【解析】当2m2＋m－3≠0时，在x轴上的截距为eq\f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－eq\f(1,2).【答案】D二、填空题6．直线y＝ax－3a＋2(a∈R【解析】将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3,2)．【答案】(3,2)7．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．【解析】直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．【答案】y－1＝－(x－2)8．已知光线经过点A(4,6)，经x轴上的B(2,0)反射照到y轴上，则光线照在y轴上的点的坐标为________．【解析】点A(4,6)关于x轴的对称点A1(4，－6)，则直线A1B即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为：3x＋y－6＝0，令x＝0，得y＝6，所以反射光线经过y轴上的点的坐标为(0,6)．【答案】(0,6)三、解答题9．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2(1)求实数m的范围；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．【解】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋2＝0，m－2＝0，))解得m＝2，若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠(2)由－eq\f(m2－3m＋2,m－2)＝1，解得m＝0.10．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．【解析】法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴eq\f(4,a)＋eq\f(－3,b)＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.法二设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝eq\f(4k＋3,k).又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k－3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋3,k)))，解得k＝1或k＝－1或k＝－eq\f(3,4).∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.[能力提升]1．直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为()A．x－y－1＝0 B．x－y－2＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0【解析】令y＝0，则x＝－1，令x＝0，则y＝1，∴直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，由直线的截距式方程可知，x＋y＝1，即x＋y－1＝0.【答案】C2．(2023·潍坊高一检测)已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图2­2­4所示，则()图2­2­4A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>cC．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<c【解析】由题图可知直线l1、l2的斜率都大于0，即k1＝－eq\f(1,a)>0，k2＝－eq\f(1,c)>0且k1>k2，∴a<0，c<0且a>c.又l1的纵截距－eq\f(b,a)<0，l2的纵截距－eq\f(d,c)>0，∴b<0，d>0，故选C.【答案】C3．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．【解析】直线AB的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，设P(x，y)，则x＝3－eq\f(3,4)y，∴xy＝3y－eq\f(3,4)y2＝eq\f(3,4)(－y2＋4y)＝eq\f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.【答案】34．直线过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【导学号：60870065】【解】设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，若满足条件(1)，则a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝12.①又∵直线过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))，∴eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)＝1.②由①②可得5a2－32解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，b＝\f(9,2)，))∴所求直线的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1或eq\f(5x,12)＋eq\f(2y,9)＝1，即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.若满足条件(2)，则ab＝12，③由题意得：eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)＝1，④由③④整理得a2－6a解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs