高中数学人教A版2第一章导数及其应用 第一章生活中的优生问题举例

第一章导数及其应用生活中的优生问题举例A级基础巩固一、选择题1．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝4时面积的变化率是()A．8B．12C．8πD．12π解析：因为S′＝2πr，所以S′(4)＝2π·4＝8π.答案：C2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为()A．2B．4C．8D．以上都不对解析：设矩形的长为x，则宽为eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以矩形面积为S＝x(4－x)＝－x2＋4x，所以S′＝－2x＋4，令S′＝0，得x＝2，所以矩形的最大面积为S＝2(4－2)＝4.答案：B3．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8\f(20,3)C．－1D．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()\r(3,V)\r(3,2V)\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)解析：设底面边长为x，则表面积S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)(x＞0)，S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)．令S′＝0，得唯一极值点x＝eq\r(3,4V).答案：C5．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为\f(\r(3),3)cm \f(10\r(3),3)cm\f(16\r(3),3)cm \f(20\r(3),3)cm解析：设圆锥的高为x，则底面半径为eq\r(202－x2)，其体积为V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)，0<x<20，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3).当0<x<eq\f(20\r(3),3)时，V′＞0；当eq\f(20\r(3),3)<x<20时，V′<0，所以当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取最大值．答案：D二、填空题6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____________．解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．则总利润L＝－＋2(15－x)＝－＋3．06x＋30(x≥0)．令L′＝－＋＝0，得x＝.所以当x＝10时，L有最大值.答案：万元7．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为________．解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，所以r2＝2Rh－h2，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0，得h＝eq\f(4,3)R.当0<h<eq\f(4,3)R时，V′＞0；当eq\f(4R,3)<h<2R时，V′<0.因此当h＝eq\f(4,3)R时，圆锥体积最大．答案：eq\f(4,3)R8．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，解析：设长方体的宽为x，则长为2x，高为eq\f(9,2)－3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2)))，故体积为V＝2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，因为0<x<eq\f(3,2)，所以x＝1.所以该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m答案：3三、解答题9.如图所示，用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积为100，为使所用材料最省，矩形底宽应为多少？解：设圆的半径为r，矩形的宽为b，铁丝长为l，则100＝eq\f(πr2,2)＋2br，所以b＝eq\f(100－\f(πr2,2),2r).所以l＝πr＋2r＋2b＝πr＋2r＋eq\f(100,r)－eq\f(πr,2).所以l′＝π＋2－eq\f(100,r2)－eq\f(π,2).令l′＝0，得π＋2－eq\f(100,r2)－eq\f(π,2)＝0，所以100＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r2.解得r＝10eq\r(\f(2,4＋π)).则底宽为20eq\r(\f(2,4＋π))时用料最省．10.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图)．问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时解：设OO1为xm(1＜x＜4)，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为eq\r(32－（x－1）2)＝eq\r(82＋2x－x2)(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，所以帐篷的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x－1）＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)(m3)，求导数，得V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.当1<x<2时，V′＞0；当2<x<4时，V′<0.所以当x＝2时，V最大．即当OO1为2m时，B级能力提升1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋eq\f(71,3)，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．3万件B．1万件C．2万件D．7万件解析：因为x>0，y′＝－x2＋4＝(2－x)(2＋x)，令y′＝0，解得x＝2，所以x∈(0，2)时，y′>0，x∈(2，＋∞)时，y′<0，y先增后减．所以x＝2时函数取最大值．答案：C2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为______元．解析：设每件商品定价x元，依题意可得利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因为在(0，200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．答案：853．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解：(1)因为x＝4时，y＝21，代入关系式y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)＝(x－2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4（x－6）2))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))上