高中数学人教A版5证明不等式的基本方法三反证法与放缩法

三反证法与放缩法1．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理1反证法阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】C教材整理2放缩法阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题．证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是()【导学号：32750039】A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2hC．|a－b|＜h D.|a－b|＞h【解析】|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.【答案】A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用反证法证“至多”“至少”型命题已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．[再练一题]1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．【证明】a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数．即a，b，c，d中至多有三个是非负数.利用放缩法证明不等式已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).【精彩点拨】针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．【自主解答】∵当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n2)＜eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)·eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜1＋eq\f(1,2)eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn－1)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n)＜eq\f(3,2)，即eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．[再练一题]2．求证：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜2－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N＋)．【证明】∵k2＞k(k－1)，∴eq\f(1,k2)＜eq\f(1,kk－1)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)(k∈N＋，且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得eq\f(1,22)＜eq\f(1,1·2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,32)＜eq\f(1,2·3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，…，eq\f(1,n2)＜eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n).因此1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝1＋1－eq\f(1,n)＝2－eq\f(1,n).故不等式1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜2－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N＋)．[探究共研型]利用反证法证明不等式探究1反证法的一般步骤是什么？【提示】证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．探究2反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的？【提示】常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：常见词语至少有一个至多有一个唯一一个是有或存在全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上不是不存在不全不都是已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.【精彩点拨】本题中的条件是三边间的关系eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．【自主解答】∵a，b，c的倒数成等差数列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c).假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b＞a＞0，b＞c＞0，∴eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)，eq\f(1,b)＜eq\f(1,c)，∴eq\f(2,b)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，这与eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)相矛盾．∴假设不成立，故∠B＜90°成立．1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．[再练一题]3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.【导学号：32750040】【证明】法一假设a＋b>2，a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))eq\s\up10(2)＋eq\f(3,4)b2≥0，故取等号的条件为a＝b＝0，显然不成立，∴a2－ab＋b2>0.则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1，∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而ab<1，∴a2＋b2<1＋ab<2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4，∴a＋b<2.这与假设矛盾，故a＋b≤2.法二假设a＋b>2，则a>2－b，故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，这显然不成立，从而a＋b≤2.法三假设a＋b>2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8.由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2.又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)，∴a2－ab＋b2<ab，即(a－b)2<0.这显然不成立，故a＋b≤2.[构建·体系]反证法与放缩法—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(反证法与放缩法的定义),—\x(反证法的一般步骤),—\x(证明不等式),—\x(放缩的技巧)))1．实数a，b，c不全为0的等价条件为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.【答案】D2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为()A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0C．a，b，c不全是正数 ＜0【解析】a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.【答案】C3．要证明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，下列证明方法中，最为合理的是()A．综合法 B．放缩法C．分析法 D.反证法【解析】由分析法的证明过程可知选C.【答案】C4．A＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))与eq\r(n)(n∈N＋)的大小关系是________.【导学号：32750041】【解析】A＝eq\f(1,\r(1))＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))≥＝eq\f(n,\r(n))＝eq\r(n).【答案】A≥eq\r(n)5．若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．【证明】假设eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，则有eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，因此eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．我还有这些不足