高中数学苏教版第二章平面向量 第2章向量的应用

第2章平面向量向量的应用A级基础巩固1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1，2) D．(1，2)解析：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，所以F4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)．答案：D2．在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝0，eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(BD,\s\up13(→))＝0，则四边形为()A．平行四边形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形解析：由题意可知，eq\o(AB,\s\up13(→))∥eq\o(CD,\s\up13(→))，|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(CD,\s\up13(→))|，且eq\o(AC,\s\up13(→))⊥eq\o(BD,\s\up13(→))，所以四边形ABCD为菱形．答案：D3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛顿，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为()A．100焦耳 B．50焦耳C．50eq\r(3)焦耳 D．200焦耳解析：设小车位移为s，则|s|＝10米．WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×eq\f(1,2)＝50(焦耳)．答案：B4．在△ABC中，若(eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→)))·(eq\o(CA,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→)))＝0，则△ABC为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．形状无法确定解析：因为(eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→)))·(eq\o(CA,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→)))＝0，所以eq\o(CA2,\s\up13(→))－eq\o(CB2,\s\up13(→))＝0，eq\o(CA2,\s\up13(→))＝eq\o(CB2,\s\up13(→)).所以CA＝CB，△ABC为等腰三角形．答案：C5．O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(eq\o(PB,\s\up13(→))－eq\o(PC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝(eq\o(PC,\s\up13(→))－eq\o(PA,\s\up13(→)))·(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，则O为△ABC的()A．内心 B．外心C．重心 D．垂心解析：因为(eq\o(PB,\s\up13(→))－eq\o(PC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，则(eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，所以eq\o(OB,\s\up13(→))2－eq\o(OC,\s\up13(→))2＝0，所以|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|.同理可得|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|，即|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|.所以O为△ABC的外心．答案：B6．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.解析：如图所示，船速|v1|＝5(km/h)，水速为v2，实际速度|v|＝10(km/h)，所以|v2|＝eq\r(100－25)＝eq\r(75)＝5eq\r(3)(km/h)．答案：5eq\r(3)7．在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝4，且eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))＝8，则这个三角形的形状是__________________．解析：因为eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))＝4×4×cosA＝8，所以cosA＝eq\f(1,2).所以∠A＝eq\f(π,3).所以△ABC是正三角形．答案：正三角形8．过点A(2015，2016)且垂直于向量a＝(－1，1)的直线方程为______________．解析：在直线上任取一点P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up13(→))＝(x－2015，y－2016)，依题意eq\o(AP,\s\up13(→))·a＝0，所以－(x－2015)＋y－2016＝0，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝09．两个粒子a，b从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4，3)，vb＝(2，10)．(1)写出此时粒子b相对粒子a的位移v；(2)计算v在va方向上的投影．解：(1)v＝vb－va＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．(2)|v|·cos〈v，va〉＝eq\f(v·va,|va|)＝eq\f(（－2，7）·（4，3）,\r(32＋42))＝eq\f(－8＋21,5)＝eq\f(13,5).10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解：设eq\o(AD,\s\up13(→))＝a，eq\o(AB,\s\up13(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up13(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up13(→))＝a－b，由已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则(a－b)2＝|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4则1－2a·b＋4＝4，所以a·b＝eq\f(1,2).所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,2)＋4＝6，所以|a＋b|＝eq\r(6).故对角线AC的长为eq\r(6).B级能力提升11．在△ABC所在的平面内有一点P，满足eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(PB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))，则△PBC与△ABC的面积之比是()\f(1,3)\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)解析：由eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(PB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))，得eq\o(PA,\s\up13(→))＋eq\o(PB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→))＝0，即eq\o(PC,\s\up13(→))＝2eq\o(AP,\s\up13(→))，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(|PC|,|AC|)＝eq\f(2,3).答案：C12．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝1，则eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝________．解析：因为圆x2＋y2＝1的半径为1，AB＝1，所以△AOB为正三角形．所以eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝1×1·cos60°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1，1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且eq\o(MA,\s\up13(→))＝2eq\o(AN,\s\up13(→))，求点