高中物理粤教版第四章机械能和能源 第4章第3节

第3节向心力的实例分析学习目标知识脉络1.通过向心力的实例分析，会分析向心力来源，体会匀速圆周运动在生活、生产中的应用．(重点)2．能应用向心力和向心加速度公式求解竖直面内圆周运动的最高点和最低点的向心力及向心加速度．(重点、难点)3．熟练掌握应用牛顿第二定律和向心力知识分析两类竖直面内圆周运动模型的步骤和方法．(重点、难点)转弯时的向心力实例分析eq\a\vs4\al([先填空])1．汽车在水平路面转弯：汽车eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(向心力来源：受到的静摩擦力提供.,向心力方程：f＝m\f(v2,r).,最大速度：v＝\r(\f(fr,m))，受最大静摩擦力的制约.))2．汽车、火车在内低外高的路面上的转弯：eq\a\vs4\al(汽车,火车)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(向心力来源：重力和支持力的合力提供.,向心力方程：mgtanθ＝m\f(v2,r).,临界速度：v＝\r(grtanθ)，取决于转弯半径,和倾角.))eq\a\vs4\al([再判断])1．汽车、火车转弯时需要的向心力都是由重力提供的．(×)2．汽车在水平道路上行驶时，最大车速受地面最大静摩擦力的制约．(√)3．火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小．(×)eq\a\vs4\al([后思考])如图4－3－1所示，下雨天路面比较湿滑，行驶的汽车如果速度过快，转弯时容易发生侧滑，这是为什么？图4－3－1【提示】汽车转弯时需要的向心力是由地面静摩擦力提供的，下雨天路面湿滑，最大静摩擦力减小，故高速转弯时易发生侧滑．eq\a\vs4\al([合作探讨])火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图4－3－2所示，请思考：图4－3－2探讨1：火车转弯处的铁轨有什么特点？【提示】转弯处铁轨外高内低．探讨2：火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？【提示】车速过大，对外轨产生挤压．车速过小，对内轨产生挤压．eq\a\vs4\al([核心点击])1．轨道分析火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．2．向心力的来源分析(如图4－3－3所示)图4－3－3火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtanθ.3．规定速度分析若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力．则mgtanθ＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，可得v0＝eq\r(gRtanθ).(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．4．轨道压力分析1．赛车在倾斜的轨道上转弯如图4－3－4所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)()图4－3－4\r(grsinθ)\r(grcosθ)\r(grtanθ)\r(grcotθ)【解析】设赛车的质量为m，赛车受力分析如图所示，可见：F合＝mgtanθ，而F合＝meq\f(v2,r)，故v＝eq\r(grtanθ).【答案】C2．火车在某个弯道按规定运行速度40m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，则下列说法中正确的是()【导学号：01360132】A．仅内轨对车轮有侧压力B．仅外轨对车轮有侧压力C．内、外轨对车轮都有侧压力D．内、外轨对车轮均无侧压力【解析】火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车需要的向心力，火车将做近心运动，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A正确．【答案】A3．某游乐场里的赛车场为圆形，半径为100m，一赛车和乘客的总质量为100kg，车轮与地面间的最大静摩擦力为600N．(g取10m/s2)(1)若赛车的速度达到72km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧移？(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，并假设车轮和地面之间的最大静摩擦力不变，为保证赛车的行驶安全，赛车最大行驶速度应为多大？【解析】(1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，如图甲所示．赛车做圆周运动所需的向心力为F＝eq\f(mv2,r)＝400N＜600N，所以赛车在运动过程中不会发生侧移．甲乙(2)若将场地建成外高内低的圆形，则赛车做匀速圆周运动的向心力由重力mg、支持力N和静摩擦力的合力来提供，如图乙所示为赛车做圆周运动的后视图(赛车正垂直纸面向里运动)．赛车以最大速度行驶时，地面对赛车的摩擦力为最大静摩擦力．由牛顿第二定律得水平方向：Nsinθ＋fmaxcosθ＝meq\f(v\o\al(2,max),r)竖直方向：Ncosθ－fmaxsinθ－mg＝0代入数据解得vmax＝eq\r(\f(fmax＋mgsinθr,mcosθ))≈m/s.【答案】(1)不会(2)m/s火车转弯问题的解题策略(1)对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心．(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供．竖直平面内的圆周运动实例分析eq\a\vs4\al([先填空])1．汽车过拱形桥项目汽车过凸形桥汽车过凹形桥向心力支持力与重力合力做向心力支持力与重力合力做向心力方程mg－N＝meq\f(v2,r)N－mg＝meq\f(v2,r)支持力N＝mg－meq\f(v2,r)支持力<重力，当v＝eq\r(gr)时N＝0N＝mg＋meq\f(v2,r)支持力>重力2.过山车(在最高点和最低点)(1)向心力来源：受力如图4－3－5，重力和支持力的合力提供向心力．图4－3－5(2)向心力方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(在最高点：N＋mg＝m\f(v2,r)，v越小，,N越小，当N＝0时vmin＝\r(gr),在最低点：N－mg＝m\f(v2,r)))eq\a\vs4\al([再判断])1．过山车在运动时，做的是匀速圆周运动．(×)2．汽车在凸形桥上行驶时，速度较小时，对桥面的压力大于车重，速度较大时，对桥面的压力小于车重．(×)3．汽车过凹形桥时，对桥面的压力一定大于车重．(√)eq\a\vs4\al([后思考])过山车和乘客在轨道上的运动是圆周运动(如图4－3－6甲、乙所示)．那么甲乙图4－3－6过山车驶至轨道的顶部，车与乘客都在轨道的下方，为什么不会掉下来？【提示】过山车驶至轨道的顶部时，车所受的轨道的压力和所受的重力的合力提供车做圆周运动的向心力，只改变速度方向，而不使物体做自由落体运动．eq\a\vs4\al([合作探讨])小球分别在轻绳(如图4－3－7甲)和轻杆(如图4－3－7乙)的一端绕另一端在竖直平面内运动，请思考：图4－3－7探讨1：小球要在竖直平面内完成圆周运动，经过最高点时的最小速度能为零吗？【提示】轻绳上的小球最小速度不能为零．轻杆上的小球最小速度可以为零．探讨2：小球经过最高点时，与绳(或杆)之间的作用力可以为零吗？【提示】小球轻过最高点时与绳或杆的作用力可以为零．eq\a\vs4\al([核心点击])1．汽车过桥问题的分析：(1)汽车过凸形桥．汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图4－3－8甲所示．图4－3－8由牛顿第二定律得：G－N＝meq\f(v2,r)，则N＝G－meq\f(v2,r).汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即N′＝N＝G－meq\f(v2,r)，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．①当0≤v＜eq\r(gr)时，0＜N≤G.②当v＝eq\r(gr)时，N＝0，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．③当v＞eq\r(gr)时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．(2)汽车过凹形桥．如图4－3－8乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则N－G＝meq\f(v2,r)，故N＝G＋meq\f(v2,r).由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力N′＝G＋meq\f(v2,r)，大于汽车的重力，而且车速越大，车对桥面的压力越大．2．过山车问题分析：如图4－3－9所示，设过山车与坐在上面的人的质量为m，轨道半径为r，过山车经过顶部时的速度为v，以人和车作为一个整体，在顶部时所受向心力是由重力和轨道对车的弹力的合力提供的。由牛顿第二定律得mg＋N＝meq\f(v2,r).人和车要不从顶部掉下来，必须满足的条件是：N≥0.当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部的速度为临界速度，此时重力恰好提供过山车做圆周运动的向心力，即mg＝meq\f(v2,r)，临界速度为v临界＝eq\r(gr)，过山车能通过最高点的条件是v≥eq\r(gr).图4－3－93．轻绳模型：如图4－3－10所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr).图4－3－10在最高点时：(1)v＝eq\r(gr)时，拉力或压力为零．(2)v＞eq\r(gr)时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．(3)v＜eq\r(gr)时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝eq\r(gr).4．轻杆模型：如图4－3－11所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：图4－3－11(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg.(2)0＜v＜eq\r(gr)时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小．(3)v＝eq\r(gr)时，小球只受重力．(4)v＞eq\r(gr)时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.图4－3－124．(多选)如图4－3－12所示，汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，关于汽车受力的说法中正确的是()A．汽车的向心力就是它所受的重力B．汽车的向心力是它所受的重力与支持力的合力，方向指向圆心C．汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用D．汽车受到的支持力比重力小【解析】汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，汽车受重力、支持力、牵引力和摩擦力，重力与支持力的合力提供向心力，方向指向圆心，A、C错误，B正确；汽车受到的支持力比重力小，D正确．【答案】BD5．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是()【导学号：01360133】A．球过最高点时，速度为零B．球过最高点时，绳的拉力为mgC．开始运动时，绳的拉力为meq\f(v\o\al(2,0),L)D．球过最高点时，速度大小为eq\r(Lg)【解析】开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即F－mg＝meq\f(v\o\al(2,0),L)，F＝meq\f(v\o\al(2,0),L)＋mg，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，mg＝meq\f(v2,L)，v＝eq\r(Lg)，A、B不正确．故选D.【答案】D6．游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图4－3－13所示模型．弧形轨道的下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开．试分析A点离地面高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力)．图4－3－13【解析】小球恰好通过圆轨道的最高点时，轨道对小球的作用力为零．小球从A点到达圆轨道最高点的过程中，由机械能守恒定律得：mgh＝mg·2R＋eq\f(1,2)mv2，在圆轨道最高处：mg＝meq\f(v2,R)，解得h＝eq\f(5,2)R.【答案】eq\f(5,2)R“二明、一分、一用”解竖直平面内圆周运动问题学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．在水平面上转弯的汽车，向心力是()【导学号：01360134】A．重力和支持力的合力B．静摩擦力C．滑动摩擦力D．重力、支持力和牵引力的合力【解析】水平面上转弯的汽车，重力和地面对汽车的支持力相平衡，向心力由指向圆心的静摩擦力提供，故B正确，A、C、D错误．【答案】B2．(2023·玉溪高一检测)某高速公路弯道处设计为内侧低外侧高的圆弧弯道，使路面与水平面有一倾角α，弯道半径为R.当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯的速度v为()A．v＝eq\r(gRtanα)B．v＝eq\r(gRcotα)C．v＝eq\r(gR)D．安全速度与汽车的质量有关【解析】当汽车在该弯道处沿侧向的摩擦力恰为零时，汽车转弯所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtanα＝meq\f(v2,R)，则汽车的转弯速度为v＝eq\r(gRtanα)，选项A正确．【答案】A3．如图4－3－14所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法错误的是()图4－3－14A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力C．在竖直方向汽车可能只受重力D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力【解析】一般情况下汽车受重力和支持力作用，且mg－N＝meq\f(v2,r)，故支持力N＝mg－meq\f(v2,r)，即支持力小于重力，A错，B、D对；当汽车的速度v＝eq\r(gr)时，汽车所受支持力为零，C正确．【答案】A4．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度应为()【导学号：01360135】A．v＝keq\r(gR) B．v≤eq\r(kgR)C．v≥eq\r(kgR) D．v≤eq\r(\f(gR,k))【解析】当处于临界状态时，有kmg＝meq\f(v2,R)，得临界速度v＝eq\r(kgR).故安全速度v≤eq\r(kgR).【答案】B5.如图4－3－15所示，用轻绳一端拴一小球，绕另一端O在竖直平面内做圆周运动．若绳子不够牢，则运动过程中绳子最易断的位置是小球运动到()图4－3－15A．最高点B．最低点C．两侧与圆心等高处D．无法确定【解析】在最低点位置时，小球的速率最大，向心力方向又向上，拉力F＝mg＋meq\f(v2,r)，此处绳子受到的拉力最大，故最易断．选项B正确．【答案】B6．长为L的细线一端拴一质量为m的小球，小球绕细线另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为v1和v2，细线所受拉力分别为F1、F2，则()【导学号：01360136】A．v1＝eq\r(5gL) B．v2＝0C．F1＝5mg D．F2＝mg【解析】小球恰能通过最高点，细线拉力F2＝0，由mg＝meq\f(v\o\al(2,2),L)，得v2＝eq\r(gL)；由机械能守恒定律得：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mg·2L＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，解得：v1＝eq\r(5gL)；通过最低点时，由F1－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),L)，解得F1＝6mg.故选A.【答案】A7．质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为()A．v≥eq\r(2gL) B．v≥eq\r(3gL)C．v≥2eq\r(gL) D．v≥eq\r(5gL)【解析】小球到最高点时速度v1≥0，由机械能守恒定律得：eq\f(1,2)mv2＝mg·2L＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，解得：v≥2eq\r(gL).故选C.【答案】C8．(2023·成都高一检测)质量为103kg的小汽车驶过一座半径为50m的圆形拱桥，到达桥顶时的速度为(1)汽车在桥顶时对桥的压力；(2)如果要求汽车到达桥顶时对桥的压力为零，且车不脱离桥面，到达桥顶时的速度应是多大？【解析】(1)汽车在最高点时重力与支持力的合力提供向心力．mg－N＝meq\f(v2,R)N＝mg－meq\f(v2,R)＝9500N由牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力N′＝9500N(竖直向下)．(2)当汽车对桥面压力恰好为0时，有：mg＝meq\f(v2,R)v＝eq\r(gR)＝10eq\r(5)m/s.【答案】(1)9500N竖直向下(2)10eq\r(5)m/s[能力提升]9．(多选)如图4－3－16所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是()【导学号：01360137】图4－3－16A．小球通过最高点时的最小速度是eq\r(gR)B．小球通过最高点时的最小速度为零C．小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力【解析】小球在光滑的圆形管道内运动到最高点时的最小速度为零，A错误、B正确；小球通过最低点时N－mg＝meq\f(v2,R)，得N＝mg＋meq\f(v2,R)，故小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球不一定有作用力，D错误．【答案】BC10．(多选)(2023·全国卷丙)如图4－3－17所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面，在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则()图4－3－17A．a＝eq\f(2mgR－W,mR) B．a＝eq\f(2mgR－W,mR)C．N＝eq\f(3mgR－2W,R) D．N＝eq\f(2mgR－W,R)【解析】质点P下滑到最低点的过程中，由动能定理得mgR－W＝eq\f(1,2)mv2，则速度v＝eq\r(\f(2mgR－W,m))，最低点的向心加速度a＝eq\f(v2,R)＝eq\f(2mgR－W,mR)，选项A正确，选项B错误；在最低点时，由牛顿第二定律得N