高中数学人教A版2第二章推理与证明合情推理与演绎推理 优质课奖

课题《归纳推理》的教学设计（人教A版·数学选修2-2第二章第一节）福建省永安一中一、教学设计前思为什么很多命题不要求证明，而代之以直观感知、操作确认？为什么很多内容不是直抵目标，而是螺旋式上升？这些课堂教学的困惑，需要我们处理好数学的抽象性和学生的理解力之间的矛盾，呼唤我们去认真思考教材的编写意图，了解学生的原有知识储备，确定相应的教学方法和教学策略。笔者根据《归纳推理》的教学设计与反思，谈谈如何跳出教材看教材，在把握教材底蕴的基础上，对教材进行再加工。二、教学设计1内容和内容解析（1）内容：人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书A版·数学选修2-2》第74页，归纳推理。（2）内容解析：本节课的内容无论在已学过的数学知识，或是在现实生活中都存在大量的素材，而且有历史背景支撑，如歌德巴赫猜想，费马猜想等等。许多推理是学生熟悉的，如医生对病人病情的诊断，气象学家对天气的推断等都与推理有关。因此，需要精选既能反映合情推理数学知识本质，又有助于学生理解的素材。本节课的教学的重点是：从理性上认识归纳推理，即了解归纳推理的概念、了解归纳推理的思维过程、理解归纳推理的特点和作用。2目标和目标解析（1）目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能进行归纳推理的简单应用，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。（2）目标解析：本节课的素材较多，很容易设计成习题讲评课的模式，突显归纳推理的技巧，冲淡从理性上认识归纳推理的主题。合情推理第一课时的关键是通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的形成。让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新的结论，培养学生归纳推理的思维方式。体会归纳推理在日常活动和科学发现的作用，养成认真观察事物，善于发现问题以及探求新知识的习惯。3教学问题诊断分析数学的抽象性与学生的理解力是一对矛盾。虽然本节课的素材学生比较熟悉，但理性认识不够，因此，需要通过调动学生有价值的思维活动，突出概念的形成过程，让学生参与知识的建构，对概念进行抽象和概括。本节课的教学的难点：从理性上认识归纳推理，对概念进行抽象和概括。4教学支持条件分析本节课涉及现实生活中的大量感性素材，因此必须借助信息技术手段提前将需要再现的素材准备好，充分利用有限的课堂教学资源。提前做好移动圆环教具，设计好为本节课服务的学案。5教学过程设计与实践引言：今天我们所要探索的知识不仅在数学中的作用无可替代，在今后的生产和生活中可以说是无处不在。请看狄仁杰在江西彭泽县断案的一个片段。设计意图：从现实生活中感受推理的含义。创设问题情境，走进现实生活，让学生产生情感共鸣，激励学生的求知欲望，吸引学生积极参与知识的再创造和自主建构。问题1先看下面的几个推理案例，分析它们的异同点。=1\*GB2⑴铁、铜、铝等金属容易导电由此猜想：所有的金属都容易导电。=2\*GB2⑵吃肥肉、花生、芝麻等高脂肪食品容易发胖。由此猜想：所有吃高脂肪食品的人都容易发胖=3\*GB2⑶1，3，5，7，…，由此猜想出n第个数是2n-1。=4\*GB2⑷地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征，由此猜想：火星上也有生命.=5\*GB2⑸因为所有人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底也会死.设计意图：学生通过对熟悉的数学实例和生活中的实例进行辨析，能对推理的内容做适当的分类，能初步了解合情推理与演绎推理的特点，着重理解归纳推理的含义和特点。活动方式：学生先独立思考，之后小组交流，从中随机选一位学生发表看法。预设结果：学生可以发现案例=1\*GB2⑴、=2\*GB2⑵、=3\*GB2⑶是特殊到一般，案例=4\*GB2⑷是从特殊到特殊，案例=5\*GB2⑸是从一般到特殊。实际情况：学生1：案例=5\*GB2⑸一定是正确的学生2：前3个案例是个别到整体，案例=4\*GB2⑷是一对一的，案例=5\*GB2⑸是从一般到个别。紧接着通过与教科书概念的对比，学生能正确把握归纳推理的概念及特点。问题2归纳推理的模式（即归纳推理的一个算法）设计意图：注重知识的前后联系，将具体的不同的对象进行抽象、概括，统一用字母表示。培养学生抽象、概括的能力。活动方式：师生共同建构，预设结果：学生对题意理解有一定的困难。实际情况：学生不理解题意，教师举例一元二次方程求根公式的本质是“符号化”后，学生才理解题意，教师提出：铁表示成事物S1，容易导电即具有性质P，之后学生很快完成相应的步骤。铁容易导电；铜容易导电；铁容易导电；铜容易导电；铝容易导电。……铁、铜、铝都是金属由此猜想：金属容易导电。事物S2具有性质P,事物S3具有性质P,……S1、S2、S3都是S类事物的对象结论：S类事物具有性质P。问题3（1）根据所探索的归纳推理知识完成练习1和练习2。练习1、请同学们生活中或数学中举出归纳推理的例子。练习2、已知不等式，试归纳出一般性的结论（2）根据练习2所得到的结论思考上述的归纳推理是怎样进行的？(即总结出归纳推理的步骤)设计意图：通过完成练习1帮助学生体会数学知识与现实生活息息相关，引导学生关注身边的数学问题。通过完成练习2，巩固所探究的知识，加深对知识的理解，为后继知识的学习埋下伏笔。活动方式：学生先独立思考，之后小组讨论，接着教师从中选出有代表性（正确的和错误的）的解答，利用展台展示，讲评纠错。预设结果：学生能够举出归纳推理的例子,生活中:如一叶落而知天下秋;瑞雪兆丰年等。数学中：2，4，6，8，…，由此猜想出第n个数是2n。学生能够得出多种一般性结论：或学生能通过发现一般性结论的过程中概括出归纳推理的步骤：实验、观察概括、推广猜测一般性结论检验猜想。实际情况：学生1：绿豆中含有淀粉，黄豆中含有淀粉，红豆中含有淀粉，由此猜想所有豆类都含有淀粉。学生2：我站在站台上发现：第一辆7路车15分钟后到；第二辆7路车15分钟后到；第一三辆7路车15分钟后到；由此猜想7路车每15分钟发车一趟。学生3：2，4，6，8，…，由此猜想出n第个数是2n。学生4：一般性结论：学生4认为归纳推理的步骤是：观察----找规律---概括一般性结论。问题4偶然发现3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24改写为:10＝3＋7，16＝5＋11，24＝11＋13由此，你能发现到什么一般性结论。设计意图：根据总结出归纳推理的步骤，感受哥德巴赫猜想的形成过程，激发学生的求知欲。不盲从权威，只要用心学习，数学家就在我们当中。活动方式：学生先独立思考，完成猜想，教师点评。预设结果：学生不一定想到质数之和，或许是奇数之和，但都是一种猜想实际情况：学生1：偶数=奇数+奇数学生2：偶数=质数+质数学生3：偶数=奇质数+奇质数有学生说这就是哥德巴赫猜想，不难想到。接着教师展示200年来，数学家对哥德巴赫猜想所研究的成果，极大提高了学生的探索欲望。问题5归纳推理的可靠性如何？设计意图：培养学生学会用批判的角度看问题，不盲从权威。通过学生熟悉的例子，感受归纳推理的第二个特点：具有或然性（即不能作为猜测的依据）。活动方式：老师通过生活中的例子和费马猜想，让学生感受归纳推理的特点。预设结果：学生能够体会猜测的一般性结论不一定成立。实际情况：学生1、吃肥肉、花生不一定就会发胖。学生2、火星上不一定有生命。教师再与学生一起探讨费马猜想，达到对知识的建构。问题6归纳推理所得到的结论并不可靠，为什么还要学习归纳推理呢？设计意图：预见并帮助学生解决心理困惑：即推理所得到的结论并不可靠，为什么还要学习归纳推理呢？通过学生熟悉的例子，感受归纳推理的作用活动方式：通过课件展示万有引力定律、元素周期律的发现感受归纳推理的作用。预设结果：学生能够体会到归纳推理可以发现新的事实。实际情况：学生1：归纳推理可以发现新的事实。问题7例1已知数列的首项，且有，试归纳出这个数列的通项公式。设计意图：学会应用归纳推理解题，进一步理解归纳推理得到的结论不一定正确。活动方式：学生先独立思考，之后利用展台展示交流。预设结果：大多数学生能够用归纳推理得到结论，个别学生会利用数列的知识得到结论。实际情况：学生1、，，，，由此猜想：。学生2、两边倒数，可以构造成等差数列。教师再次强调，归纳推理得到的结论不一定正确，并阐述归纳推理得到的结论运用的是不完全归纳法，结论的正确性有待与我们后续知识的进一步研究（完全归纳法），但它的作用是为我们提供了一个新的研究方向。问题8传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.1.每次只能移动1个圆环；2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.请你试着推测：把1个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?圆环个数最少需要移动次数n=1n=2n=3n=4…n=64设计意图：培养学生合作意识，共同探究的能力。活动方式：4个同学组成一个小组，利用圆环教具完成预设结果：当n=4时学生会有不同的结果，但最少的只有15次。通过小组间的合作与交流，学生能够发现结论。实际情况：学生积极参与，当n=4时得到15次的小组不多。有学生提出世界末日是不是很快就来了。教师给出解答见以下内容反思2六、目标检测设计作业：P83习题A组1，2，3。到图书馆借阅《数学与猜想第一卷》看1-3章。设计意图：巩固所学知识的同时体现课堂教学的延伸。二、教学实践心得《归纳推理》的的教学价值的挖掘与思考一、关注学生原有的知识储备与所教学内容的联系。通过本节课的教学实践，笔者体会到教材简单不等于教学简单，要关注学生原有的知识储备，因为学生是根据自己已有的知识经验来建构新的知识体系。在概念的探究中，笔者选用的是学生熟悉的素材，如铁、铜、铝等金属容易导电由此猜想：所有的金属都容易导电。以及课前导入环节的狄仁杰断案也是学生非常兴趣的历史知识。二、对学生可能存在的困惑要有预见性。数学的抽象性与学生的理解力是一对矛盾，当学生的理解力还不能在老师的引导下去发现数学时，就要发挥传统的教学方法优势，启示学生进行模仿和再创造。例如在探索归纳推理的模式时，笔者估计学生对“模式”的理解存在困惑，这时教师通过例举一元二次方程的求根公式，引导学生理解归纳推理的模式就是将推理进行“符号化”。再如学生举不出谚语中归纳推理的例子时，三、要时刻根据课堂情况进行机智性调整。要时刻关注学生的学习行为，关注学生的认识过程，随时修改自己的教学设计，调整教学内容和教学要求，改变教学策略，选择恰当的教学方法实施教学，例如探索哥德巴赫猜想时学生困惑于为什么要对式子“3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24””改写。教师例举，学生通过练习领悟到，适当的改写有助于找规律。再比如通过圆环实验得到的结论，学生充满困惑，感觉世界末日不久就来到，教师通过演算与学生分析，假如一位熟练的僧侶每秒可以移动一片金属片，日以继夜不眠不休地工作，那么大概要花上584,942,417,355年，即约5850亿年的时间，学生的困惑立刻消除。四、要把握教材底蕴，对教材进行再加工。将课本的引例“歌德巴赫”猜想做了两个变化。（1）把数据3＋7=10，7＋13=20，11＋19=30，改为3＋7=10，5＋11=16，11＋13=24。原数据容易把学生引到整十整百数中，甚至探索个位为数之间的关系，浪费了宝贵的课堂资源—时间。因为歌德巴赫是数论的专家，他很自然的会从素数的角度中去考虑问题。（2）把“歌德巴赫”猜想引例的位置放到归纳推理思维过程的探索中，这样既可对之前探索的知识作简单的应用，又可让学生体会成功的喜悦，感觉数学家就在我们身边，进而为渗透数学文化作了铺垫。将课本河内塔游戏做了三个变化。（1）制作圆环教具，让学生小组探究。这样既降低了教学难度，又能提高学生的积极性。做到“寓教育于乐”（2）题目中增加一个表格，学生在数学课中就象做物理实验报告一样。（3）放置第一课时。这样渗透化归思想，又为下节课的类比推理埋下伏笔。五、遵循学生的认知规律，注重设计与生成的结合。本节课内容层次分明，通过“问题链”引发学生探究。把握概念的内涵和外延，处理好学生的认知冲突，既关注知识又关注学生。合理利用宝贵的课堂资源（指时间）让学生独立思考，合作探究。在活动中使学生从接受知识到理解知识。笔者认为，教学设计的作用正如牧羊人一般，牧羊人只要将羊领到草地上，接着让羊自己跑，它们知道哪儿草肥，哪儿草嫰，自己会吃饱、吃足。关键是要把它们带到草地上，要是将它们带到沙漠中，它们就会饿死、干死。三、专家点评（点评教师：唐为民省学科带头人）一、联系实际，渗透文化。首先，创设导入情境，走进现实生活。一开始播放央视热播的《神探狄仁杰》激发学生的求知欲。其次，联系生活实际，搜索现实素材。展示5个推理案例，学生从非常熟悉的推理案例中对合情推理和演绎推理有一个整体的把握。再次，追溯历史背景，突出人文气息。《普通高中数学课程标准（实验）》提出：“体现数学的文化价值”是高中数学新课程的一个基本理