高中数学人教A版第一章解三角形应用举例 第一章2

学习目标1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．知识点一测量仰角(或俯角)求高度问题思考如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)答案解题思路是：在△ACD中，eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(m,sinα－β.)所以AC＝eq\f(msinβ,sinα－β)，在Rt△AEC中，AE＝ACsinα，AB＝AE＋h.梳理问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的长，所得结果再加上h.知识点二测量方位角求高度思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?答案先在△ABC中，用正弦定理求BC＝eq\f(5sin15°,sin10°)，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.梳理问题本质是：如图，已知三棱锥D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的长．类型一测量仰角(或俯角)求高度问题命题角度1仰角例1如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m答案D解析方法一设AB＝xm，则BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(x,10＋x)＝eq\f(\r(3),3).解得x＝5(eq\r(3)＋1)m.所以A点离地面的高AB等于5(eq\r(3)＋1)m.方法二∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CD,sin∠CAD)·sin∠ADC＝eq\f(10,sin15°)·sin30°＝eq\f(20,\r(6)－\r(2)).∴AB＝ACsin45°＝5(eq\r(3)＋1)m.反思与感悟(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．跟踪训练1某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________m．(精确到1m)答案811解析如图，过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得AB＝eq\f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝eq\f(1000×sin135°,sin30°)＝1000eq\r(2)(m)．在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811(m)．所以山的高度约为811m.命题角度2俯角例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为m，求出山高CD.(精确到1m)解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.根据正弦定理，eq\f(BC,sinα－β)＝eq\f(AB,sin90°＋β)，所以AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β)＝eq\f(BCcosβ,sinα－β).解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCcosβsinα,sinα－β).将测量数据代入上式，得BD＝eq\f50°1′sin54°40′,sin54°40′－50°1′)＝eq\f50°1′sin54°40′,sin4°39′)≈(m)．CD＝BD－BC≈－≈149(m)．答山的高度约为149m.反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____m.答案30解析设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AC＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)，BC＝eq\f(30,tan45°)＝30(m)，C＝30°，AB2＝(30eq\r(3))2＋302－2×30eq\r(3)×30×cos30°＝900，所以AB＝30(m)．类型二测量方位角求高度问题例3如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度为800(eq\r(3)＋1)m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A．10m B．10eq\r(2)mC．10eq\r(3)m D．10eq\r(6)m答案D解析在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，BC＝eq\f(10sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(m)．在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BC×tan60°＝10eq\r(6)(m)．1．一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m．(精确到m)答案5解析宽＝eq\f(8000,tan30°)－eq\f(8000,tan45°)＝5(m)．2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案20eq\r(3)米、eq\f(40,3)eq\r(3)米解析甲楼的高为20tan60°＝20×eq\r(3)＝20eq\r(3)(米)，乙楼的高为20eq\r(3)－20tan30°＝20eq\r(3)－20×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)(米)．3．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解在△ABT中，∠ATB＝°－°＝°，∠ABT＝90°＋°，AB＝15(m)．根据正弦定理，eq\f(15,sin°)＝eq\f(AT,cos°)，AT＝eq\f(15×cos°,sin°).塔的高度为AT×sin°＝eq\f(15×cos°,sin°)×sin°≈(m)．1．在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．40分钟课时作业一、选择题1．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高为()A．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m B．201＋eq\f(\r(3),2)mC．20(1＋eq\r(3))m D．30m答案A解析塔的高度为20tan30°＋20tan45°＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))(m)，故选A.2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200eq\r(3)m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200mB．300mC．400mD．100eq\r(3)m答案B解析方法一如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600m，BC＝DC＝200eq\r(3)m.在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋200\r(3)2－200\r(3)2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BCsin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故选B.方法二由于△BCD是等腰三角形，eq\f(1,2)BD＝DCcos2θ，即300＝200eq\r(3)cos2θ.cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，0°＜2θ＜90°，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，故选B.3．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°答案B解析如图，因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为()A．2h米\r(2)h米\r(3)h米D．2eq\r(2)h米答案A解析如图所示，BC＝eq\r(3)h，AC＝h，∴AB＝eq\r(3h2＋h2)＝2h(米)．5．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15m B．5mC．10m D．12m答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝eq\r(3)h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．即塔高为10m.6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500m答案D解析由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝eq\r(3)h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC×CD×cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h×500，解得h＝500(m)(负值舍去)．故选D.二、填空题7.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3mm，BC＝2eq\r(2)mm，AB＝eq\r(29)mm，则∠ACB＝________.答案eq\f(3π,4)解析在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB＝eq\f(32＋2\r(2)2－\r(29)2,2×3×2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝eq\f(3π,4).8.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________米．答案15eq\r(6)解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以BC＝eq\f(30sin30°,sin135°)＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×tan60°＝15eq\r(6)(米)．9．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝km.若AB＝BD，则B、D间的距离为________km.答案eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)解析在△ABC中，∠BCA＝60°，∠ABC＝75°－60°＝15°，AC＝km，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以AB＝eq\f60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)(km)，又因为BD＝AB，所以BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)(km)．三、解答题10．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求证：山高h＝eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α).证明在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP中，根据正弦定理，eq\f(AP,sin∠ABP)＝eq\f(AB,sin∠APB)，即eq\f(AP,sin180°－γ＋β)＝eq\f(a,sinγ－α)，AP＝eq\f(a×sinγ－β,sinγ－α)，所以山高h＝APsinα＝eq\f(asinαsinγ－β,sinγ－α).11．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°行走40m到达C处，即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.在△ABC中，eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，即eq\f(AC,sin30°)＝eq\f(40,sin135°)，∴AC＝20eq\r(2).过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大，在△ABC中，由面积公式知eq\f(1,2)×BC×AG＝eq\f(1,2)×BC×AC×sin∠AC