高中数学人教A版第二章数列等比数列 课时提升作业(十三)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十三)等比数列的性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2023·龙岩高二检测)已知等比数列{an}中，a3a13=16，则a8的值等于 B.8 C.±4 D.±8【解析】选C.因为数列{an}是等比数列，所以a82=a3a13=16，所以a【补偿训练】公比为32的等比数列{an}的各项都是正数，且a5a9=16，则log2a B.5 【解析】选B.因为a5a9=a72又公比为32，所以a16=a7×(32)9=32=2所以log2a16=log2252.在等比数列{an}中，a1<0，若对正整数n都有an<an+1，那么公比q的取值范围是()>1 <q<1 <0 <1【解析】选B.因为对正整数n都有an<an+1，所以数列{an}是递增数列，又因为a1<0，所以0<q<1.3.(2023·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=14，a3a5=4(a4-1)，则a2 B.1 C.12 【解析】选C.因为a3a5=a42=4(a4-1)，所以a4=2，则q3=a4a1=8，解得q=2，故a4.已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=3，前三项的和为21，则a3+a4+a5=() B.72 【解析】选C.设等比数列的公比为q(q>0)在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，故3+3q+3q2=21，解得q=2，因此a3+a4+a5=21×22=84.5.已知数列{an}为公比q>1的等比数列，若a2023和a2023是方程4x2-8x+3=0的两根，则a2023+a2023的值是() B.19 【解题指南】首先计算a2023，a2023，然后计算公比，最后根据a2023+a2023=(a2023+a2023)q2计算a2023+a2023.【解析】选A.由题意得a2023+a2023=2，a2023·a2023=34所以a2023=12，a2023=32或a2023=32，a2023又因为公比q>1，所以a2023=12，a2023=3所以q=a2014所以a2023+a2023=(a2023+a2023)q2=2×32=18.二、填空题(每小题5分，共15分)6.在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为【解析】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，设插入的三个数依次为a，b，c，所构成等比数列的公比为q，则b2=ac=83×272=36，所以b=±6，又因为b=83×q2答案：216【延伸探究】将“三个”改为“五个”，其他条件不变，结果又如何？【解析】设插入的五个数为a，b，c，d，e，则c2=ae=bd=83×272=36.解得c=±6，因此插入的五个数的乘积为abcde=c5=±67.(2023·濮阳高二检测)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则a3+【解析】因为a1，12a3，2a2所以a3=a1+2a2，又数列{an}为等比数列，所以a1q2=a1+2a1q，因为等比数列{an}中，各项都是正数，所以a1>0，q>0，所以q2-2q-1=0，解得：q=2±222所以q=1+2，q=1-2(舍去)，则a3+=q2=(1+2)2=3+22.答案：3+228.等比数列{an}是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13=4T9，则a8·a15=________.【解析】因为数列{an}是递减数列，则a1>0，0<q<1或a1<0，q>1，即q必为正值，所以数列{an}的各项都同号，又因为T13=4T9，所以a10a11a12a13=4=(a8·a15)2，所以答案：2【补偿训练】已知数列{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3【解析】a2a4=a32，a4a所以a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+即(a3+a5)2=25，又因为an>0，所以a3+a5=5.答案：5三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2023·邯郸高二检测)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列1bn(n≥2，n∈N*)的【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a32=9a2a6=9a42，所以q因为an>0，所以q>0，所以q=13因为2a1+3a2=2a1+3a1q=1，所以3a1=1，a1=13所以an=13(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3=log3(a1·a2·…·an)=log31=-n(n+1)设数列1bn的前n项和为S则Sn=-21=-21=-21=-2n【补偿训练】已知等比数列{an}满足an>0，n=1，2，…，且a5·a2n-5=22n(n≥3)，计算log2a1+log2a3+…+log2【解析】因为a5·a2n-5=an2=22n且a所以an=2n，所以a2n-1=22n-1，所以log2a2n-1所以log2a1+log2a3+…+log=1+3+5+…+(2n-1)=n2.10.在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1=1，且a1=b1，a2=b2，a8=b3.(1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q.(2)是否存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an=logabn+b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由.【解析】(1)由已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，得1解得q=6,d=5,或q(2)假设存在常数a，b使得an=logabn+b成立，即有1+5(n-1)=loga6n-1+b.整理，得(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.因为an=logabn+b对一切正整数n恒成立，所以5所以a=56，b=1.所以存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an=logabn+b成立，且此时a=5(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·宁波高一检测)已知各项均不为0的等差数列{an}满足2a3-a72+2a11=0，数列{bn}为等比数列，且b7=a7，则b1b13 B.8 【解析】选A.根据等差数列的性质得，a3+a11=2a7，所以2a3-a72+2a11=0变为4a7-解得a7=4或a7=0(舍去)，因为数列{bn}为等比数列，且b7=a7，所以b1b13=b72=4【延伸探究】本题中“2a3-a72+2a11=0”改为“a3-2a62+3a7=0”，“b7=a7”改为“b6=a6”，其他条件不变，计算b【解析】根据等差数列的性质得，a3+a7=2a5，所以a3-2a62+3a7=0变为2a5+2a7-2又因为a5+a7=2a6，所以2a6=a6解得a6=2或a6=0(舍去)，因为数列{bn}为等比数列，且b6=a6，所以b1b7b10=b2b6b10=b62.(2023·四平高一检测)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*)，且a2+a4+a6=9，则log

1313(a5+a715 B.-5 【解析】选B.因为log3an+1=log3an+1，所以log3an+1-log3an=1，log3an+1所以an+1an所以数列{an}是公比为3的等比数列，a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=9×33=35，所以log13(a5+a7+a9)=log

二、填空题(每小题5分，共10分)3.对于数列{cn}，如果存在各项均为正整数的等差数列{an}和各项均为正整数的等比数列{bn}，使得cn=an+bn，则称数列{cn}为“DQ数列”.已知数列{en}是“DQ数列”，其前5项分别是：3，6，11，20，37，则en=________.【解析】由题意设等差数列{an}和等比数列{bn}的公差和公比分别为d，q，由题意可得a1+b1=3，a1+d+b1q=6，a1+2d+b1q2=11，a1+3d+b1q3=20，a1+4d+b1q4=37，结合数列的各项均为正整数可解得a1=1，b1=2，d=1，q=2，所以en=an+bn=1+(n-1)×1+2×2n-1=n+2n.答案：n+2n4.在等比数列{an}中，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，则a3·a6·a9·…·a30=________.【解题指南】由数列是等比数列，可知a1·a4·a7·…·a28，a2·a5·a8·…·a29，a3·a6·a9·…·a30成公比为q10的等比数列，进而用整体思想根据a1·a2·a3·…·a30=230求出a3·a6·a9·…·a30.【解析】因为等比数列{an}的公比q=2，a2·a5·所以a2·a5·a8·…·a29=a3a1·a4·a7·…·a28=a3又因为a1·a2·a3·…·a30=230，所以(a3·a6·a9·…·a30)3×1230=2所以a3·a6·a9·…·a30=220.答案：220三、解答题(每小题10分，共20分)5.学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择.调查表明，凡是在这个星期一选A菜的，下星期一会有15改选B菜；而选B菜的，下星期一会有310改选A菜.用an，b(1)试用an-1(n∈N*，n≥2)表示an，判断数列{an-300}是否成等比数列并说明理由.(2)若第1个星期一选A种菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人？【解析】(1)由题知，对n∈N*有bn=500-an，所以当n∈N*且n≥2时，an=45an-1+310(500-an-1)，即an=12所以an-300=12(an-1所以当a1=300时，{an-300}不是等比数列，当a1≠300时，{an-300}是以a1-300为首项，12(2)当a1=200时，an-300=12n-1(a即an=300-1002n-1，所以a10=300-所以第10个星期一选A种菜的大约有300人.6.(2023·江西高考)已知数列an的前n项和Sn=3n2-n(1)求数列an(2)证明：对任意的