高中数学北师大版第二章平面向量 省赛获奖

15平面向量的坐标时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2)，则eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－2)B．(2,2)C．(1,1)D．(－1，－1)答案：D解析：eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，则eq\o(DA,\s\up6(→))＝()A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)答案：C解析：eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1,1)．3．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥eq\o(AB,\s\up6(→))，则实数λ的值为()A．－eq\f(2,3)\f(3,2)\f(2,3)D．－eq\f(3,2)答案：C解析：根据A，B两点的坐标，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，∵a∥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝eq\f(2,3)，故选C.4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c可用a，b表示为()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b\f(1,2)a－eq\f(3,2)b\f(3,2)a－eq\f(1,2)bD．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案：B解析：设c＝xa＋yb，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－1，,x－y＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\f(3,2).))故选B.5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，则顶点D的坐标为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2)D．(1,3)答案：A解析：设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝4,2n－4＝3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2,n＝\f(7,2)))，即点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))，故选A.6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为()\f(π,6)\f(π,3)\f(π,2)\f(2π,3)答案：B解析：由sinB＝1，得B＝eq\f(π,2)，所以在△ABC中，cosC＝eq\f(a,b).又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q，得2a－b＝0，a＝eq\f(b,2)，故cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．若向量a＝(1,2)，b＝(－1,0)，则2a－b＝答案：(3,4)解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,48．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))，若a－2b与c共线，则k＝________.答案：1解析：a－2b＝(eq\r(3)，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝eq\r(3)×eq\r(3)，解得k＝1.9.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐标为________．答案：(2－sin2,1－cos2)解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧eq\o(PA,\s\up6(⌒))长为2，∠ABP＝eq\f(2,1)＝2.设P(x，y)，则x＝2－1×cos(2－eq\f(π,2))＝2－sin2，y＝1＋1×sin(2－eq\f(π,2))＝1－cos2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))的坐标为(2－sin2,1－cos2)．三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，连接DC延长至E，使|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,4)|eq\o(ED,\s\up6(→))|.求点E的坐标．解析：设C(x，y)，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，得(x＋2，y－1)＝eq\f(1,2)(x－1，y－4)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝\f(1,2)x－1，,y－1＝\f(1,2)y－4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.))即C(－5，－2)．又E在DC的延长线上，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DE,\s\up6(→))，设E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝eq\f(1,4)(a－4，b＋3)解得a＝－8，b＝－eq\f(5,3).∴E(－8，－eq\f(5,3))．11．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，求点D的坐标；(2)设向量a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．解：(1)设D(x，y)．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4＝1,y＋1＝－5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝－6)).所以点D的坐标为(5，－6)．(2)因为a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，所以k＝－eq\f(1,3).12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解析：eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若P在第二象限，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0,2＋3t>0))，解得－eq\f(