高中数学北师大版2第二章变化率与导数 学业分层测评9

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列结论正确的是()A.若y＝cosx，则y′＝sinxB.若y＝sinx，则y′＝－cosxC.若y＝eq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x2)D.若y＝eq\r(x)，则y′＝eq\f(\r(x),2)【解析】∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正确；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正确；∵(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴D不正确.【答案】C2.(2023·济南高二检测)在曲线f(x)＝eq\f(1,x)上切线的倾斜角为eq\f(3,4)π的点的坐标为()A.(1，1) B.(－1，－1)C.(－1，1) D.(1，1)或(－1，－1)【解析】切线的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1).故选D.【答案】D3.对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()(x)＝x3 (x)＝x4－2(x)＝x3＋1 (x)＝x4－1【解析】由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.【答案】B4.(2023·北京高二检测)已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝() B.－4 D.－28【解析】∵y′＝3x2，∴点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.【答案】C5.若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，则下列α的值中满足条件的是()【导学号：94210042】\f(π,3) \f(π,6)\f(2,3)π \f(5,6)π【解析】∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，∴α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z).当k＝0时，α＝eq\f(π,3).【答案】A二、填空题6.(2023·菏泽高二检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去).故x＝1.【答案】17.直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线f(x)＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴f′(x0)＝eq\f(1,x0)，由题意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.【答案】ln2－18.(2023·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】依题意知，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.【答案】3三、解答题9.求下列函数的导数.(1)y＝xeq\r(x)；(2)y＝eq\r(5,x3)；(3)y＝log2x2－log2x；(4)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4))).【解】(4)∵y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))＝2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)－1))＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.10.若曲线y＝xeq\s\up12(-\f(1,2))在点(a，aeq\s\up12(-\f(1,2)))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值.【解】y′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up12(-\f(3,2))，所以曲线y＝xeq\s\up12(-\f(1,2))在点(a，aeq\s\up12(-\f(1,2)))处的切线方程为y－aeq\s\up12(-\f(1,2))＝－eq\f(1,2)aeq\s\up12(-\f(3,2))(x－a).由x＝0得y＝eq\f(3,2)aeq\s\up12(-\f(1,2))，由y＝0得x＝3a，所以eq\f(1,2)·eq\f(3,2)aeq\s\up12(-\f(1,2))·3a＝18，解得a＝64.[能力提升]1.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2016(x)＝()x B.－sinxx D.－cosx【解析】f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2016(x)＝f0(x)＝sinx.【答案】A2.已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()【导学号：94210043】\f(1,e) B.－eq\f(1,e)C.－e 【解析】y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝kx\s\do2(0)，,y0＝ex\s\do2(0)，,k＝ex\s\do2(0)，))∴exeq\s\do2(0)＝exeq\s\do2(0)·x0，∴x0＝1，∴k＝e.【答案】D3.(2023·潍坊高二检测)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________.【解析】与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直线y＝x－1的距离最短.∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),8).【答案】eq\f(3\r(2),8)4.求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.【证明】由xy＝1，得y＝eq\f(1,x)，所以y′＝－eq\f(1,x2).在曲线xy＝1上任取一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，则过点P的切线的斜率k＝－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))，切线方程为y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))(x－x0)，即y＝－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))x＋eq\f(2,x0).设该切线与x轴，y轴分别相交