高中数学人教A版第三章三角恒等变换 课时提升作业(三十)(二)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十)简单的三角恒等变换(二)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.设π2<θ<π，且|cosθ|=15，那么sinθA.105 105 155【解析】选D.因为π2<θ<π，所以cosθ<0，所以cosθ=-1因为π4<θ2<π2又cosθ=1-2sin2θ2，所以sin2θ2=1-cosθ所以sinθ2=152.(2023·浏阳高一检测)若函数f(x)=sin2x-2sin2x·sin2x，则f(x)是()A.最小正周期为π2B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数【解析】选(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2x·cos2x=12最小正周期T=2π4=且f(-x)=12sin4(-x)=-1【补偿训练】函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间π4, B.1+32 C.32【解析】选(x)=1-cos2x2+=sin2x-π6又x∈π4所以2x-π6∈π所以f(x)max=1+12=33.(2023·安徽高考)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.π8 B.π4 C.3π【解析】选C.将函数f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+π4所得函数为f(x)=2sin2=2sin2x+所以π4-2φ=π所以φ的最小正值是3π4.(2023·黄冈高一检测)已知α，β∈0,π2，tanαA.π6 B.π4 C.π3 【解析】选A.由tanα21-tan2因为α∈0,π2所以2sinβ=sinπ3+β=32所以tanβ=33，所以β=π5.函数y=1-cosxsinxA.kπ2,0C.kπ+π4【解析】选=1-cosxsinx=2sin由x2=k其图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z).【误区警示】解答本题容易将正切函数y=tanx的对称中心误认为只有(kπ，0)(k∈Z)而导致错误.二、填空题(每小题5分，共15分)6.若α∈π2,π，且3cos2α=sin【解析】cos2α=sinπ2-2α=2sinπ4-αcos代入原式，得6sinπ4-αcosπ4因为α∈π2,π，所以cosπ4所以sin2α=cosπ=2cos2π4-α-1=-答案：-177.若tanx=2，则2co【解析】原式=cosx-sinxcosx+sinx=1=(1-2)答案：22-38.如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=________来截.【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则a2b2=32，又a=GC+CF=bsinx+bcosx，所以sinx+cosx=62，所以sinx+π因为0<x<π2，π4<x+π4所以x+π4=π3或2π3，x=答案：π12或【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围，而导致解三角方程时产生漏解.三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2023·秦皇岛高一检测)已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈π2,3π2.若AC【解析】AC→=(cosα-3，sinα)，由AC→·所以sinα+cosα=23，2sinα·cosα=-5又2sin=2sinαcosα=-59故所求的值为-5910.(2023·天津高考)已知函数fx=sin2x-sin2(x-π6(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间-π【解析】(1)由已知，有f(x)=1-cos2x2=1212=34sin2x-14cos2x=12所以f(x)的最小正周期T=2π2=(2)因为f(x)在区间-π3,-π6上是减函数，在区间-πf-π6=-12，fπ4=34.所以，f(x)在区间-【补偿训练】1.(2023·承德高一检测)已知函数f(x)=4cosxsin(x+π6(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间-π【解析】(1)因为f(x)=4cosxsinx+=4cosx32=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin2x+所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x≤π4，所以-π6≤2x+π于是，当2x+π6=π2，即x=f(x)取得最大值2；当2x+π6=-π6，即x=-2.(2023·成都高一检测)已知函数f(x)=cosx·cos(x-π3(1)求f2π(2)求使f(x)<14【解析】(1)f2π3=cos2=-cosπ3·cosπ3=-12(2)f(x)=cosx·cosx=cosx·1=12cos2x+3=14(1+cos2x)+3=12cos2x-πf(x)<14等价于12cos2x-π3即cos2x-于是2kπ+π2<2x-π3<2kπ+解得kπ+5π12<x<kπ+故使f(x)<14xkπ+(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·兰州高一检测)在斜三角形ABC中，sinA=-2cosB·cosC，且tanB·tanC=1-2，则角A的值为()A.π4 B.π3 C.π2【解析】选A.由题意知，sinA=-2cosB·cosC=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC，在等式-2cosB·cosC=sinB·cosC+cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB+tanC=-2，又tan(B+C)=tanB+tanC即tanA=1，所以A=π42.已知函数f(x)=sin2x-23sin2x+3+1，那么f(x)的单调递增区间是()A.kπ-B.kπ+C.2kπ-D.2kπ-【解析】选A.因为f(x)=sin2x+3(1-2sin2x)+1=sin2x+3cos2x+1=2sin2x+由正弦函数的性质知，当2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+即kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)时，函数y=2sin(2x+π【延伸探究】本题中，若x∈-π【解析】因为x∈-π所以2x+π3∈0所以sin2x+所以f(x)=2sin2x+所以f(x)的值域为[1，3].二、填空题(每小题5分，共10分)3.在△ABC中，sin(C-A)=1，sinB=13【解题指南】首先根据题目条件求角C-A，再根据三角形内角和定理分析角A和角B的关系，最后先求sin2A【解析】由C-A=π2所以A=π4-B所以sinA=sinπ4-B所以sin2A=12(1-sinB)=又sinA>0，所以sinA=33答案：34.(2023·太原高一检测)点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT=1，∠PAB=α，则四边形ABTP的面积最大时α=________.【解析】如图，连接PB.因为AB为直径，所以∠APB=90°.因为∠PAB=α，AB=1，所以PB=sinα，PA=cosα.又PT切圆于P点，则∠TPB=∠PAB=α.所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=12PA·PB+12PT·PB·sinα=12cosα·sinα+1=14sin2α+14(1-cos2=24sin2α-π因为0<α<π2，-π4<2α-π4所以当2α-π4=π2，即α=答案：38三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2023·衡水高一检测)设函数f(x)=cos2x+π3(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=13fC2=-1【解析】(1)f(x)=cos2xcosπ3-sin2xsinπ3=12cos2x-32sin2x+12=12-3所以，当2x=-π2+2kπ，k∈Z，即x=-π4+kπ(k∈Z)f(x)取得最大值，f(x)max=1+f(x)的最小正周期T=2π2=故函数f(x)的最大值为1+(2)由fC2=-14，即12-3解得sinC=32，又C为锐角，所以C=π由cosB=13求得sinB=2因此sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=223×12+=226.如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC.(1)设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积.(2)求剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值.【解析】(1)由题意知OM=12AD=12BC=所以MN=OMsin∠MOD+CD=OMsin∠MOD+AB=1×sin30°+1=32BN=OA+OMcos∠MOD=1+1×cos30°=1+32=2所以S△PMN=12MN·BN=12×32×2+3(2)设∠MOD=x，则0<x≤π，因为BP=12MN≤1所以点P在线段AB上.MN=OMsinx+CD=sinx+