高中数学苏教版1第3章空间向量与立体几何3．2空间向量的应用第3章

3.2.2空间线面关系的判定1．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)2．向量法证明空间平行与垂直．(重点、难点)3．向量法证明线面平行．(易错点)[基础·初探]教材整理向量法判定线面关系阅读教材P101例1以上的部分，完成下列问题．设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：平行垂直l1与l2e1∥e2e1⊥e2l1与α1e1⊥n1e1∥n1α1与α2n1∥n2n1⊥n21．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.()(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．()【答案】(1)√(2)√(3)√(4)×2．设直线l1的方向向量为a＝(3,1，－2)，l2的方向向量为b＝(－1,3,0)，则直线l1与l2的位置关系是________．【解析】∵a·b＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.【答案】垂直3．若直线l的方向向量为a＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________．【解析】∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α.【答案】垂直4．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3，－1))，n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，－1，\f(1,3)))，则平面α与β的位置关系是________.【导学号：09390083】【解析】∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故α∥β.【答案】平行[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]向量法证明平行问题在正方体ABCD­A1B1C1D1中(如图3­2­7)，设O，O1分别为AC，A1C图3­2­7(1)BO1∥OD1；(2)BO1∥平面ACD1；(3)平面A1BC1∥平面ACD1.【精彩点拨】eq\x(画图)→eq\x(建系)→eq\x(求相关点坐标)→eq\x(求相关向量坐标)→eq\x(判断向量关系)→eq\x(确定线面关系)【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2，2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，O1(1,1,2)，O(1,1,0)．(1)由上可知eq\o(BO1,\s\up8(→))＝(－1，－1,2)，eq\o(OD1,\s\up8(→))＝(－1，－1,2)，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))＝eq\o(OD1,\s\up8(→))，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))∥eq\o(OD1,\s\up8(→))，又直线BO1与OD1无公共点，∴BO1∥OD1.(2)法一：由上可知，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2,2,0)，eq\o(AD1,\s\up8(→))＝(－2,0,2)，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AD1,\s\up8(→))，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD1,\s\up8(→))共面，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))∥平面ACD1，又BO1⊄平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.法二：设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up8(→))＝0，,n·\o(AD1,\s\up8(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋2y＝0，,－2x＋2＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴n＝(1,1,1)．∴eq\o(BO1,\s\up8(→))·n＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0，∴eq\o(BO1,\s\up8(→))⊥n.又∵BO1⊄平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.(3)法一：∵eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(－2,0,2)，eq\o(AD1,\s\up8(→))＝(－2,0,2)，∴eq\o(BC1,\s\up8(→))∥eq\o(AD1,\s\up8(→))，又BC1与AD1不重合，∴BC1∥AD1，又BC1⊄平面ACD1，∴BC1∥平面ACD1.又由(1)知，BO1∥平面ACD1.∵BC1，BO1⊂平面A1BC1，且BC1∩BO1＝B，∴平面A1BC1∥平面ACD1.法二：设平面A1BC1的一个法向量为n′＝(x，y,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n′·\o(A1B,\s\up8(→))＝0，,n′·\o(BC1,\s\up8(→))＝0，))可求得n′＝(1,1,1)，∴n′＝n，∴平面ACD1∥平面A1BC1.1．证明线面平行常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面．(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行．(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．2．证明面面平行常用的方法(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面．(2)证明两个平面的法向量平行．(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．[再练一题]1．如图3­2­8所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN∥平面A图3­2­8【证明】法一：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(DA1,\s\up8(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB,\s\up8(→))＝(1,1,0)．设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up8(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up8(→))＝0，))从而可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0，,x＋y＝0，))令x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，∴eq\o(MN,\s\up8(→))·n＝0，∴eq\o(MN,\s\up8(→))⊥n.∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法二：∵eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(C1N,\s\up8(→))－eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up8(→))－eq\o(D1D,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))∥eq\o(DA1,\s\up8(→)).∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.法三：∵eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(C1N,\s\up8(→))－eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(D1D,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(D1A1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up8(→))＋0·eq\o(DB,\s\up8(→))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))可用eq\o(DA1,\s\up8(→))与eq\o(DB,\s\up8(→))线性表示，故eq\o(MN,\s\up8(→))与eq\o(DA1,\s\up8(→))和eq\o(DB,\s\up8(→))是共面向量，∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.向量法证明垂直问题如图3­2­9所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝图3­2­9AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.【精彩点拨】eq\x(建系)→eq\x(\a\al(求相关点,的坐标))→eq\x(\a\al(求相关向,量的坐标))→eq\x(\a\al(判断向量,的关系))→eq\x(\a\al(确定线线、,线面关系))【自主解答】AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝0，即y＝eq\f(2\r(3),3)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))，∴eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6)，0)).又eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),6)×eq\f(\r(3),4)＝0，∴eq\o(AE,\s\up8(→))⊥eq\o(CD,\s\up8(→))，即AE⊥CD.(2)法一：∵P(0,0,1)，∴eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1)).又eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(1,2)×(－1)＝0，∴eq\o(PD,\s\up8(→))⊥eq\o(AE,\s\up8(→))，即PD⊥AE.∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(PD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0.∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.法二：eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,0,0)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,\f(1,4)x＋\f(\r(3),4)y＋\f(1,2)z＝0，))令y＝2，则z＝－eq\r(3)，∴n＝(0,2，－eq\r(3))．∵eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，显然eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\f(\r(3),3)n.∴eq\o(PD,\s\up8(→))∥n，∴eq\o(PD,\s\up8(→))⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直．2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．3．证明面面垂直常用的方法(1)转化为线线垂直、线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直．[再练一题]2．在例2中，平面ABE与平面PDC是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．【解】由例2，可知eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6)，0))，eq\o(PD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，设平面PDC的法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(CD,\s\up8(→))＝－\f(1,2)x＋\f(\r(3),6)y＝0，,m·\o(PD,\s\up8(→))＝\f(2\r(3),3)y－z＝0，))令y＝eq\r(3)，则x＝1，z＝2，即m＝(1，eq\r(3)，2)，由例2知，平面ABE的法向量为n＝(0,2，－eq\r(3))，∴m·n＝0＋2eq\r(3)－2eq\r(3)＝0，∴m⊥n.所以平面ABE⊥平面PDC.[探究共研型]利用向量法证明平行、垂直关系探究1向量法判定线面关系与传统法比较，向量法有何优点？【提示】向量法判定线面关系与传统法比较起来，优点在于：以算代证，用定量计算代替了定性分析，避免了繁琐的逻辑论证过程，对视图能力、空间想象能力要求稍低，降低了解决问题的难度．探究2用向量方法证明平行、垂直问题的一般步骤是什么？【提示】(1)建立空间图形与空间向量的联系；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．探究3向量方法如何解决与平行、垂直有关的探究问题？【提示】在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题．这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，通过对代数式的运算就可得出相应的结论．这样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻．如图3­2­10所示，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．图3­2­10(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．【精彩点拨】根据条件建立空间直角坐标系，把空间线面的位置关系问题转化为向量间的关系问题，通过向量的计算得出结论．【自主解答】(1)证明：连结BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OS,\s\up8(→))分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设底面边长为a，则高SO＝eq\f(\r(6),2)a，于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(SD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a))，则eq\o(OC,\s\up8(→))·eq\o(SD,\s\up8(→))＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知eq\o(DS,\s\up8(→))是平面PAC的一个法向量，且eq\o(DS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，\f(\r(6),2)a))，eq\o(CS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),2)a，\f(\r(6),2)a))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0))，设eq\o(CE,\s\up8(→))＝teq\o(CS,\s\up8(→))，则eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋teq\o(CS,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a1－t，\f(\r(6),2)at))，而eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(DS,\s\up8(→))＝0，∴－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,2)a2t＝0，∴t＝eq\f(1,3).即当SE∶EC＝2∶1时，eq\o(BE,\s\up8(→))⊥eq\o(DS,\s\up8(→)).而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.[再练一题]3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC图3­2­11【解】假设在线段AB上存在一点M，使直线DE∥平面A1MC，建立如图所示的空间直角坐标系．设AC＝a，BC＝b，AA1＝c，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(c,2)))，A(a,0,0)，A1(a,0，c)，B(0，b,0)．设M(x0，y0,0)，且0≤x0≤a,0≤y0≤b，则eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(b,2)，\f(c,2)))，eq\o(CA1,\s\up8(→))＝(a,0，c)，eq\o(CM,\s\up8(→))＝(x0，y0,0)，设平面A1MC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA1,\s\up8(→))＝ax＋cz＝0，,n·\o(CM,\s\up8(→))＝x0x＋y0y＝0，))令x＝1，则z＝－eq\f(a,c)，y＝－eq\f(x0,y0)，∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(x0,y0)，－\f(a,c))).若DE∥平面A1MC，则n·eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\f(bx0,2y0)－eq\f(a,2)＝0，即bx0－ay0＝0.①又eq\o(AM,\s\up8(→))＝λeq\o(MB,\s\up8(→))，即(x0－a，y0,0)＝λ(－x0，b－y0,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－a＝λ－x0，,y0＝λb－y0，))解得bx0＋ay0－ab＝0.②由①②解得x0＝eq\f(a,2)，y0＝eq\f(b,2)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)，0))，所以存在点M为线段AB的中点时，使DE∥平面A1MC.[构建·体系]1．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是________(填序号)．①n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)；②n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)；③n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)；④n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)．【解析】两个平面垂直时，其法向量也垂直，只有①中的两个向量垂直．【答案】①2．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________.【解析】由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y－12＝0，,x－4－4z＝0，,－1－2y＋3z＝0，))解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.【答案】(－64，－26，－17)3．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是________．【解析】∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，又l1与l2不重合，∴l1∥l2.【答案】平行4．下列命题中，正确的是________(填序号)．①若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的一个法向量，a与平面α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．【解析】②③④一定正确，①中两平面有可能重合．【答案】②③④5．如图3­2­12,在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.图3­2­12【证明】以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).∴eq\o(PB,\s\up8(→))＝(1,1，－1)，eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up8(→))＝e