高中数学北师大版3第二章概率正态分布 第2章连续型随机变量正态分布

*§6正态分布连续型随机变量正态分布1．了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数．(难点)2．认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(重点)[基础·初探]教材整理正态分布阅读教材P63～P65，完成下列问题．1．正态分布(1)在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的__________，这条曲线对应的函数称为X的__________．(2)若随机变量X的分布密度函数为f(x)＝______，其中μ与σ分别是随机变量X的________与________，则称X服从参数μ和σ2的正态分布，记作X～N(μ，σ2)．【答案】(1)分布密度曲线分布密度函数(2)eq\f(1,σ\r(2π))·均值标准差2．正态曲线的性质(1)函数图像关于直线________对称；(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的________；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝________；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝________；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝________.【答案】(1)x＝μ(2)胖、瘦(3)%%%1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．()(3)正态曲线是一条钟形曲线．()(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．()【解析】(1)×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√因为离散型随机变量最多取可列个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．(3)√由正态分布曲线的形状可知该说法正确．(4)×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2．若X～N(1,，则P(X＞1)＝________.【解析】由X～N(1,知，正态曲线关于直线x＝1对称，故P(X＞1)＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]正态曲线及其性质(1)如图2­6­1，曲线C1：f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ1)(x∈R)，曲线C2：φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ2)(x∈R)，则()图2­6­1A．μ1＜μ2B．曲线C1与x轴相交C．σ1＞σ2D．曲线C1，C2分别与x轴所夹的面积相等(2)如图2­6­2是三个正态分布X～N(0,，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应的曲线分别是图中的______，______，______.(填写序号)图2­6­2(3)如图2­6­3所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布密度曲线的函数解析式，则总体随机变量的均值为________，方差为________．图2­6­3【精彩点拨】着眼点：(1)方差的大小；(2)正态曲线的特征及意义；(3)参数的几何意义．【自主解答】(1)由曲线C1，C2对称轴的位置知，μ1＞μ2，由曲线C1瘦于C2知σ1＜σ2，由f(x)＞0知，曲线C1在x轴上方，故选D.(2)由＜1＜4，得X，Y，Z对应的曲线分别是图中的①②③.(3)从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是，正态分布密度曲线的函数解析式为：φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))·，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.【答案】(1)D(2)①②③(3)202利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：1正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图像求μ；2正态曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此性质结合图像可求σ.[再练一题]1．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(6π))，则()【导学号：62690047】A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)【解析】由f(x)＝eq\f(1,\r(2π)·\r(3))，得μ＝2，σ＝eq\r(3).【答案】C服从正态分布变量的概率问题(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)＝()A． B．C． D．(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．【精彩点拨】(1)根据正态曲线的对称性性质进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．【自主解答】(1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝，∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝，∴P(0<ξ<4)＝，∴P(0<ξ<2)＝.故选C.【答案】C(2)由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝eq\f(1,2)P(－1＜X＜3)＝5.1．求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．2．常用结论有：(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．[再练一题]2．若η～N(5,1)，求P(5<η<7)．【解】∵η～N(5,1)，∴正态分布密度函数的两个参数为μ＝5，σ＝1.∵该正态曲线关于x＝5对称，∴P(5<η<7)＝eq\f(1,2)×P(3<η<7)＝eq\f(1,2)×＝.[探究共研型]正态分布的实际应用探究1若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝.探究2某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,，若零件的外直径在,]内的为一等品．试问1000件这种零件中约有多少件一等品？【提示】P<ε≤＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0，所以1000件产品中大约有1000×0＝683(件)一等品．探究3某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,在区间(4－3×,4＋3×，即,之外取值的概率只有，而∈,．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数．【精彩点拨】要求及格的人数，即要求出P(90≤X≤150)，而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．【自主解答】∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20，P(110－20<X<110＋20)＝.∴X>130的概率为：eq\f(1,2)×(1－＝5；X≥90的概率为：＋5＝5.∴及格的人数为54×5≈45人，130分以上的人数为54×5≈9人．解此类问题一定要灵活把握Pμ－σ＜ξ≤μ＋σ，Pμ－2σ＜ξ≤μ＋2σ，Pμ－3σ＜ξ≤μ＋3σ进行转化，然后利用特定值求出相应概率.同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质.[再练一题]3．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少．(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人．【解】∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100，由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×＝1366(人)．[构建·体系]1．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是()A．0和8 B．0和4C．0和2 D．0和eq\r(2)【解析】由条件可知μ＝0，σ＝2.【答案】C2.如图2­6­4是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()图2­6­4A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3【解析】当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝eq\f(1,\r(2π)).在x＝0时，取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.【答案】D3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.【解析】由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P(X≤μ)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝，则P(X≤0)＝________.【导学号：62690048】【解析】由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－＝.【答案】5．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10000,4