高中数学人教A版1直线与圆的位置关系 第2节

第二讲第二节一、选择题(每小题5分，共20分)1．以下各种说法中，正确的是()A．任意三角形可能有1个外接圆，也可能有2个B．在圆内部的四边形叫做圆内接四边形C．菱形一定有外接圆D．圆内接平行四边形一定是矩形解析：A．三角形的外心只有一个，因此三角的外接圆只有1个B．只有顶点在圆上的四边形才叫圆内接四边形．C．只有当对角互补时，菱形才有外接圆又菱形的对角相等，故该菱形是正方形，也就是说只有当菱形是正方形时，才有外接圆．D．圆内接平行四边形对角互补且相等，故对角均为90°，所以为矩形．故D正确．答案：D2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD和∠BCD的度数分别为()A．50°，130° B．30°，130°C．100°，130° D．100°，50°解析：由圆周角定理，得∠BAD＝eq\f(1,2)∠BOD＝50°.根据圆内接四边形的性质定理，得∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝130°，故选A．答案：A3．已知Rt△ABC的斜边BC的两个端点分别在x轴、y轴的正半轴上移动，顶点A与原点分别在BC的两侧，则点A的轨迹是()A．圆 B．线段C．射线 D．一段圆弧解析：如右图，∵∠CAB＝∠COB＝90°，∴四边形ABOC是圆内接四边形，∴∠COA＝∠CBA，并且是定值，∴不管怎样移动Rt△ABC，直线OA的斜率不变．又由题意，可得动点A的轨迹是线段．故选B．答案：B4.如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为()A．4 B．3C．2 D．1解析：利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD．因此共4对．答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若圆内接四边形中3个相邻的内角比是5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为________，最小的内角为________.解析：不妨设该四边形的四个内角分别为∠A＝5α，∠B＝6α，∠C＝4α，∠D＝β，根据圆内接四边形的性质定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＋∠C＝180°，,∠B＋∠D＝180°，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5α＋4α＝180°，,6α＋β＝180°.))解得β＝60°，∴该四边形的最大的内角是∠B＝120°，最小的内角是∠D＝60°.答案：120°60°6．如图，以AB＝4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E、F两点，∠ACB＝60°，则EF＝________.解析：连接AE.∵AB为圆的直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝eq\f(1,2)AC．∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B，∴△CFE∽△CBA．∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(CE,AC)，∵AB＝4，CE＝eq\f(1,2)AC，∴EF＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD、CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°，所以∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°，由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°，又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，所以∠CEF＝30°，故∠CEF＝∠CED＝30°，所以CE平分∠DEF.8．如图，当△ABC内角都小于120°时(使∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P被称为△ABC的费马点)，由△ABC的一边BC向外作正三角形BCD，然后作这个正三角形的外接圆，连接AD交该圆于点Q，求证：点Q是△ABC的费马点．证明：由于△BCD是正三角形，且B、D、C、Q四点共圆，所以∠BQD＝∠BCD＝60°，则∠AQB＝180°－∠BQD＝120°，同理得∠CQA＝120°，又Q点在△ABC的内部，∴点Q就是△ABC的费马点．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC，交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长．解析：连接OD、BD．∵AD＝DC，∴eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(DC,\s\up10(︵))，∠ABC＝eq\f(1,2)eq\o\ac(AC,\s\up10(︵))的度数＝eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))的度数＝∠AOD．∴OD∥BC，有eq\f(OD,BC)＝eq\f(EO,EB)，∵EA＝AO＝BO，BC＝12，∴eq\f(OD,12)＝eq\f(2,3)，OD＝8，AB＝16，EB＝24.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EDA＝∠EBC，又∠DEA＝∠BEC，∴△EDA∽△EBC，∴eq\f(AD,BC)＝eq\f(EA,EC)＝eq\f(ED,EB).设AD＝DC＝x，ED＝y，则有：eq\f(x,12)＝eq\f(8,x＋y)＝eq\f(y,24).解得：x＝4eq\r(2)，∴AD＝4eq\r(2).∵