高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系单元测试 优质课奖

立体几何初步综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的）1.一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为（）A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台2.一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（）图图1C．圆柱 D．圆台3.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）A．α∥β B．α与β相交C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交4.如图2所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点 图图2D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形5.如图3所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A． B． 图3图3D．16.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）A．2cm B．cm C．4cm D．8cm7.空间中四点可确定的平面有（）A．1个 B．3个C．4个 D．1个或4个或无数个8.下列命题错误的是（）.A.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C.如果平面平面，平面平面，那么平面D.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面图49.如图4，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）图4A．2+ B．1+ C．1+ D．10.如图5，在长方体中，，，，由在表面到达的最短行程为（）图5A．12B．图5C．D．ABCD图611.如图6，四面体A-BCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面ABDABCD图6 A．B．C．D．12.已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，AB与面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共206分.把答案填在题中的横线上）13.一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100，则其侧棱长为．14.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是.15.四面体S-ABC中,各个侧面都是边长为的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于.16.设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：（1）；（2）（3）；（4），其中假命题有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）图717．（本小题满分10分）如图7所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2图7eq\r(7)m，制造这个塔顶需要多少铁板？18.（本小题满分12分）如图8，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．（1）说明该几何体是由哪些简单的几何体组成；（2）求该几何体的表面积与体积．图8图819.（本小题满分12分）如图9，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．图图920.（本小题满分12分）调去年第18题21.（本小题满分12分）如图10，在三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，⑴求证：MD∥平面APC；⑵求证：平面ABC⊥平面APC．图图1022.（本小题满分12分）如图11，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．⑴当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；⑵设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A﹣CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．图图11参考答案一、1.C2.D3.D4.D7.D8.A9.A10.B11.C12.D提示： 2.由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选D．3.由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．故为D.4.该几何体有8个面，并且各面均为三角形，故D错.图155.根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC．则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积V=SABC·PA=××1=，故选A．图156.因为铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，所以铜质的五棱柱的体积V=16×4=64cm3，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，则a3=64解得a=4cm,故选C.7.当其中三点在同一条直线上，另一点不在直线上时，确定1个平面，当其中三点确定一个平面，另一点在平面外时确定4个平面，当四点都在一条直线上时有无数个平面，故选D.8.如果平面平面，那么平面内有些直线垂直于平面，有些直线与平面平行，有些直线与平面相交不垂直等，故A错.9.根据题设可知这个平面图形的下底长为1×+1+1×=1+，所以这个平面图形的面积是（1+1+）×2=2+，故选A.10.将长方体沿A1B1展开，则在表面到达的最短行程为=，选B.11.因为平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD,所以CD⊥平面ABD,所以AB⊥CD,因为AB=AD=1，BD=，,所以AB⊥AD,所以AB⊥平面ACD,所以∠BAC=90°,易得BC=，设BC中点为O,则：OA=OB=OC=OD=,即点O是四面体A-BCD外接球的球心，所以该球的体积为：，故选C.12.过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连接BF，因为正三角形ABC，所以E为BC中点，

因为BC⊥AE，SA⊥BC，所以BC⊥平面SAE.因为AF平面SAE,所以BC⊥AF.因为AF⊥SE,所以AF⊥平面SBC.

因为∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，所以AE=，AS=3，所以SE=2.在Rt△SAE中，由面积等值法得AF=，

所以sin∠ABF=；二、14.①②15.45°16.（2）（4）提示：13.由于一共有10个顶点，所以共有5条侧棱，故其侧棱长为100÷5=20.SCBAEFG图1715.取AC中点G，连接EG，GF，FC，设棱长为2，则CF=，而CE=1,E为等腰△SFC的中点，所以EF=，GE=1，GF=1，而GE∥SA，所以∠GEF为异面直线EF与SA所成的角，因为EF=，GE=1，GF=1，SCBAEFG图1716.（1）若α∥β，α∥γ，则β∥γ，根据面面平行的性质定理和判定定理可证得，故正确（2）若m∥α，α⊥β则m∥β或m与β相交，故不正确（3）因为m∥β，所以β内有一直线l与m平行，而m⊥α，则l⊥α，l⊂β，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确（4）m∥n，n⊂α则m⊂α或m∥α，故不正确故答案为（2）（4）.三、解答题17.解:如图18所示，连接AC和BD交于O，连接SO.作SP⊥AB，连接OP.图图18在Rt△SOP中，SO＝eq\r(7)m，OP＝eq\f(1,2)BC＝1m，所以SP＝2eq\r(2)m，则△SAB的面积是eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)m2．所以四棱锥的侧面积是4×2eq\r(2)＝8eq\r(2)m2，即制造这个塔顶需要8eq\r(2)m2铁板．18.解：（1）由三视图知，该三视图对应的几何体为一个底面直径为2,母线长为2的圆锥与一个长宽都为2高为1的长方体组成的组合体.（2）此几何体的表面积，此几何体的体积.19.解：取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD，AC的中点，EF∥CD，所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角（或其补角）．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，所以BE＝eq\f(\r(5),2).图19在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，所以EF＝eq\f(\r(2),2).图19在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，所以BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰△EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).20.调去年18题21.证明：⑴因为M为AB中点，D为PB中点，所以MD∥AP，又MD平面APC，所以MD∥平面APC．⑵因为△PMB为正三角形，且D为PB中点，所以MD⊥PB．又由⑴知MD∥AP，所以AP⊥PB．已知AP⊥PC，PB∩PC=P，所以AP⊥平面PBC，而BCPBC，所以AP⊥BC，又AC⊥BC，而AP∩AC=A，所以BC⊥平面APC，又BC平面ABC图21，所以平面ABC⊥平面PAC图2122.解：⑴若存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=：证明：当λ=，此时=，过P作MP∥FD，与AF交M，则=，又FD=5，故MP=3，因为EC=3，MP∥FD∥EC，