【数学】上海交大附中2021-2022学年高一上学期期末考试试题(解析版)

2023年最新整理——考试真题资料2023年最新整理——考试真题资料2023年最新整理——考试真题资料上海交大附中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题1．函数T＝．一、填空题（第1-6题每题4分，第7-121．函数T＝．3．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}3．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}A∩B＝．5．设函数f﹣1（10）＝．4．方程lg（2x+1）5．设函数f﹣1（10）＝．6．若集合A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}，B＝{y|y2＝1，y∈R}，则A∩B＝．y＝xαα上它们的图象是一族美丽的曲线（图．设点（100，连接，线段B恰好被其中的两个幂函数＝＝βBM＝MN＝NAαβ＝．9．已知函数f（x）＝asinx+cosx在上的最小值为﹣2，则实数a的值为．f＝ax﹣9．已知函数f（x）＝asinx+cosx在上的最小值为﹣2，则实数a的值为．10．给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是α，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；①存在实数αα，使；③是偶函数；④是函数的一条对称轴方程；⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．某同学向王老师请教一题：若不等式x﹣4ex﹣alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学“≥1恒成立，当且仅当＝0时取等号，且）﹣4lx在1∞）有零点．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范是 ．f（1）≤2，则+的取值范围为．设二次函数（）2﹣+nnR，若函数）f（1）≤2，则+的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度A．2 B．3 C．4 D．5对于函数（）a+b+（，∈，选取，c的一组值计算1）和（﹣，所得出的正确结果一定不可能是（ ）15．设函数f（x）＝ ，g（x）＝ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y＝f（x）的图象与15．设函数f（x）＝ ，g（x）＝ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y＝f（x）的图象与y＝1 1 2 2 1 图象有且仅有两个不同的公共点xyx1 1 2 2 1 1．设函数（）2x+，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：2 1 2 1 A．当a＜1．设函数（）2x+，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：2 1 2 1

B．当a＜0时，x1+x＞0，y+y＜0D．当a＞0时，x1+x＞0，y+y＞02 1 12命题p：a+b≥0；p2 1 12命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（ ）1 2 A．p、p中仅1 2 1 C．p、p都不是1 1（15分）已知函数的定义域为集合A1（15分）已知函数的定义域为集合A，集合＝，1，且B A．

B．p、p中仅p是q的充分条件1 1 2 1 1 2 a的取值范围；y＝f（x）是奇函数但不是偶函数．115分20cmO为圆心铝皮上截取一块矩形材料，、BD在圆周上．请你在下列两个小题中选择一题作答即可：＝，矩形D的面积为＝（，求（）的表达式，并写出θ的范围．②设＝，矩形D的面积为＝f（x，求f（x）的表达式，并写出x的范围．ABCD的面积最大？并求最大面积．1（15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：1（15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：（e＝2.71828．类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式，并明；t∈[0，ln2]xsinh（t）+cosh（x）＝aa的取值范围．（1）对于M[1，4]的值；（2）已知，且y＝f（x）偶函数，b﹣a的最大值；2（1）对于M[1，4]的值；（2）已知，且y＝f（x）偶函数，b﹣a的最大值；[0a] [a已知若有且仅有一个正数a使得M [0a] [a， ，范围．2（16分）定义域为R的函数＝（，对于给定的非空集合AA R，若对于A中的意元素a，都有（a）（）成立，则称函数＝）是“集合A上的﹣函数．给定集合A＝﹣1，函数（）是“集合A上的Z﹣＝f（x）是周期函数；给定集合A＝，（x）＝ax+bx+c，若函数y＝g（x）是“集合A上的Z﹣ab、c所满足的条件；给定集合A＝[1，函数＝（）是“集合A上的Z﹣＝）是＝（）【参考答案】一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．π函数y函数y＝ sin2x的最小正周期为T＝＝π，故答案为：π．2．0【解析】由奇函数定义有（﹣）＝，则（1）a2＝﹣1）＝﹣，解得．【解析】∵集合＝xx|＜2【解析】∵集合＝xx|＜2＝（，2，＝|＞0＝（+∞，∴A∩B＝（﹣1，2）＝{x|﹣1＜x＜2}，故答案为：{x|﹣1＜x＜2}.4．{2}∴，解得：x＝2．故答案为：{2}．（2）g＝（（2∴，解得：x＝2．故答案为：{2}．5．3【解析】令（）10，则1（1，当＜0有2105，不合，t≥0t2+1＝10⇒t＝﹣3（舍去）t＝3，那么f﹣1（10）＝3，故答案为：3．6．{1}【解析】函数y＝3cos2πx与y＝3x的图象如图，所以A＝{x|3cos2πx＝3x，x∈R}＝{x1，x2，1}，B＝{y|y2＝1，y∈R}＝{﹣1，1}，所以A∩B＝{x1，x2，1}∩{﹣1，1}＝{1}．故答案为{1}．M＝M＝M，点（0B，，所以M，N，分别代入y＝xα，y＝xβ，，，故答案为：1.8．[2，+∞）f（x）＝ax+1﹣2（a＞0a≠1）中，x+1＝0x＝﹣1f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，即（）的图象过定点（1，；由f（x）解得≥，所以a[+∞．[+∞．【解析】∵函数f（x【解析】∵函数f（x）＝asinx+cosx在上的最小值为﹣2，a＜0y＝asinxy＝cosx均在上单调递减，∴f（x）＝asinx+cosxa＜0y＝asinxy＝cosx均在上单调递减，∴f（x）＝asinx+cosx在上单调递减，∴f（x）min＝f（）＝a＝﹣2，符合题意，故答案为：﹣2．10．③④对于②，由，得sin（α+）＝ ，矛盾；②错误．对于③，＝sin（﹣2x）＝对于②，由，得sin（α+）＝ ，矛盾；②错误．对于③，＝sin（﹣2x）＝cos2x，是偶函数；③正确．代入到+＝﹣1，是函数的图象的一条对称轴方程．④正确．β＝60°，α＝390°，α＞βsinα＜sinβ．∴⑤不正确．故③④正确，故答案为：③④．4﹣4﹣a≥，即﹣alnx≥x+1，f（x）＝﹣a﹣﹣（＞，则h（x0）＝x0﹣4lnx0＝0x0＝则h（x0）＝x0﹣4lnx0＝0x0＝4lnx0，则＝，h′（x）＝1﹣ ＝，令h′（x）＞0，解得：x＞4，令h′（x）＜0，解得：1＜x＜4，故h（x）在（1，4）递减，在（4，+∞）递增，f（x0）＝﹣alnx﹣x﹣1＝0 0﹣alnx﹣4lnx﹣1f（x0）＝﹣alnx﹣x﹣1＝0 0﹣alnx﹣4lnx﹣1＝﹣（a+4）lnx≥0，00000∵lnx＞0，∴a+4≤0，故a≤﹣4，故a的取值范围是（﹣∞，﹣4]，故答案为：（﹣∞，﹣4]．012．[1，13]【解析】二次函数（）x﹣+（，∈R，又f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝ ，则m+ ≤4，∴+＝+＝＝＝m2+﹣1，而由m+ 又f（1）＝m﹣2+n≤2，n＝ ，则m+ ≤4，∴+＝+＝＝＝m2+﹣1，而由m+ ≤4，m＞0，得2≤m2+≤14，m2+﹣1[1，13]，即+的取值范围是[1，13]，故答案为：[1，13]．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．Arlrl，则，解得r＝1，l＝2，所以圆心角为 ＝2．14．D【解析】f（1）＝asin1+b+c①，f（﹣1）＝﹣asin1﹣b+c②，①+②得：f（1）+f（﹣1）＝2c，∵c∈Z，∴f（1）+f（﹣1）是偶数，故选：D．15．B【解析】当a＜0时，作出两个函数的图象，因为函数f（x）＝ 是奇函数，所以A与A′关于原点对称，若y＝f（因为函数f（x）＝ 是奇函数，所以A与A′关于原点对称，2 1 1 2 1 2 1 显然x＞﹣x＞0，即x+2 1 1 2 1 2 1 2 1 同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x＜0，y+y＞2 1 【解析】令（【解析】令（）+（）﹣x（）＝，g（x）是奇函数，在R（）是偶函数，在（﹣∞0）单调增，在0∞）单调减，且h）0，a+b）≥0 （）≥（b，即ga+ha）≥b）﹣（b，即g（a）+h（a）≥g（﹣b）+[﹣h（b）]，①当+≥0时，≥b，故ga）g（b，又（）0，故a）＞（b，②当a﹣b2≥0时，则有：a≥0，，，（i）②当a﹣b2≥0时，则有：a≥0，，，（i）a≥1时，a≥，则≤，故ga）g（b；此时，h（a）＞0，﹣h（b）＜0，h（）＞（b，∴（a+（）0成立；（ii）当a＝0时，b＝0，f（0）+f（0）＝6≥0成立，即f（a）+f（b）≥0成立；（iii）∵g（x）在R上单调递增，h（x）在（﹣∞，0）单调递增，∴f（x）＝g（x）+h（x）在（﹣∞，0）单调递增，∵f（﹣1）＝0，∴f（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立；又∵x≥0时，g（x）≥0，h（x）＞0，0＜a＜1＜1，﹣1＜﹣，∴f（x）＞0在0＜a＜1＜1，﹣1＜﹣，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴f（a）+f（b）≥0成立．1（）由＞0得﹣1＜x＜1，∴函数的定义域＝（，1；综上所述，a﹣b2≥01（）由＞0得﹣1＜x＜1，∴函数的定义域＝（，1；∴，解得﹣1≤a≤0，即a∈[﹣1，0]；（∴，解得﹣1≤a≤0，即a∈[﹣1，0]；（2）证明：∵f（x）+f（﹣x）＝lg+lg＝lg（•）＝lg1＝0，（﹣）＝（，（）（，∴函数y＝f（x）是奇函数但不是偶函数．18．解：如图所示，BC＝20sinθ，OB＝20cosθ（0BC＝20sinθ，OB＝20cosθ（0＜θ＜；θ＝时，S400BC＝10；BC＝10ABCD400cm2θ＝时，S400BC＝10；BC＝10ABCD400cm2．OCBC＝xABCDSAB＝2（其中0＜2，∴S＝2x＝2≤x2+（400﹣x2）＝400，当且仅当x2＝400﹣x∴S＝2x＝2≤x2+（400﹣x2）＝400，当且仅当x2＝400﹣x2，即x＝10时，S400；BC＝10cmABCD400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC＝CABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．整理得（ex）2﹣4ex+1＝0，解得：x＝ln（2±．理由：左边＝sinh（x+y）＝，右边×+×＝理由：左边＝sinh（x+y）＝，右边×+×＝× +＝，（3）t∈[0，ln2]1≤et≤2a＝sinh（t）+cosh（3）t∈[0，ln2]1≤et≤2a＝sinh（t）+cosh（x）＝+，a﹣＝≥＝1，当且仅当x＝0时取等号，a≥+1有解，g（t）＝+1在[0，ln2]上为增函数，因为函数y＝et，g（t）＝+1在[0，ln2]上为增函数，

＝（）＝，g g 0 故实数a[，∞．由，2（）对任意x1，2∈[，2，且＜2由，由，所以在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增；又，所以M[1，4] 5；＝由，所以在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增；又，所以M[1，4] 5；＝1 2 1 （2）由于y＝f（x）是偶函数，所以，则，解得a＝2；则，因为 ，所以，故b﹣a的最大值为 ．3 M M 0 k 1 M（）①当3 M M 0 k 1 M[0，a] [a，2a] [0，a] [a，2a][0a] 若 时，有M ＝sina，M ＝[0a] ， ，所以sina＝2ksinacosa，得 ；若 时，有若 时，有若 时有若 时，有因为

，此时a无解；，此时a有一解；，此时a无解；，所以sina＝k，若 时，此时a无解；若 时，此时a无解；若 时，此时a有一解；k M M 1 M②当≥ k M M 1 M[0，a] [a，2a] [0，a] [a，2a]有 ，则 ，若1，则a2a]＝1得或等，若，则或，在上，a必有两解．综上所述：，即k的取值范围是（ ，．2若1，则a2a]＝1得或等，若，则或，在上，a必有两解．综上所述：，即k的取值范围是（ ，．对任意的R，（）（，∴（）（，∴函数y＝f（x）是周期函数．∴2ax+a+b≥0对任意的x∈R恒成立，∴，∴a＝0，b≥0，c∈R．解：由题意可知，对任意的g（）g∴2ax+a+b≥0对任意的x∈R恒成立，∴，∴a＝0，b≥0，c∈R．证明：若函数＝）是周期函数，设其周期为TT0，∵函数y＝h（x）是集合Ah的Z﹣函数，1 1 则存在a∈01N，使得a≤≤（1 1 1 1 ∴0≤T﹣ka≤a≤1，0≤（k+1）a﹣T≤1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 对任意的x∈R，h（x）≤h（x+a）≤•≤h（0 0 0 1 0 1