2021-2022学年广东省肇庆市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023年最新整理——考试真题资料2023年最新整理——考试真题资料2023年最新整理——考试真题资料第第22页（共19页）2021-2022学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，，，，，，

4 3 8 2𝑛 7 ），…中，是它的（3 2 5 𝑛1 4，…中，是它的（A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项，𝑏=2．已知向→=，−√) ，𝑏=

，→ → （ ）1𝑎⋅𝑏=A．﹣1 B．0 C．1 D．21𝑎⋅𝑏=设等差数的前n项和为Sn，若S7＝7，则a4＝（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1F1，F2x2﹣y2＝2P

|2=8|𝐹

|，则|PF1|＝（ ）A．6√2

2 12C．2√2 4 D．2√2 25𝑎=”是“直线a﹣＝0与直线1）﹣a10平行”的（ ）2C．充要条件

必要不充分条件D6[x]x的通项公式为==𝑎 ](𝑛∈

∗)，前n项和为Sn，则满足不等式Sn≤93的n的最大值为（ ）𝑛 5A．32

B．33 C．34 D．35𝐴𝐵7S﹣ABCD→𝐴𝐵

=→

，−→

，则四棱锥的高为𝐴𝐷=𝐴𝑆=10)（ 𝐴𝐷=𝐴𝑆=10)√11A．11

2√11 3B． C．B11 5

D．√28𝑥28．椭圆

𝑦2+

=FPF⊥PFPF𝑎2

𝑏2

1 2 1 2 1与y轴相交于点Q，若→ →，则椭圆的离心率为（ ）𝑃𝐹1

=3𝑃𝑄A．2−√3

1 √3−1B． C．B

D．√3−13 24520520分．对于直线l：x+y﹣1＝0，下列说法正确的有（ ）直线l过点（0，1） B．直线l与直线y＝x垂直C．直线l的一个方向向量为D．直线l的倾斜角为45°如图，在三棱柱ABC﹣ABC

＝90°，AB＝AC＝AA＝1，设→

=，→ →，11 1

1

𝐴𝐶=𝑏→ → → →𝐴𝐴1

=𝑐，且向与𝑐的夹角为45°，则（ ）A．A1B＝BC＝2B．BA1与AC所成的角为60°C．→ → → →𝐵𝐶1

=𝑎+𝑏+𝑐D．当

→ → →

BA的体积为定值𝐴𝑃=𝑏+𝜆𝑐(𝜆∈𝑅) 1设A（，0，圆2+2＝B为圆心P为圆B上任意一点，线段P的中点为，过QAPBPRPBQC1R的C2，则下列说法正确的有（）

的方程为x2+y2＝1

QB

1的横坐标为4曲线C2为双曲线的一支 D．C1与C2有两个公共点12．已知数列{an}满足a1＝8，a2＝1，𝑎

−𝑎={

，𝑛为偶数，

Tn为数列{an}的前n项和，则下列说法正确的有（ ）

𝑛+2

𝑎 为奇数，𝑛A．n为偶数时，𝑎𝑛

𝑛−2=(−1)2

B．𝑇2𝑛

=−𝑛2+9𝑛C．T99＝﹣2049 D．Tn20三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．√6+2与√6−2的等比中项为 ．沙丘（如图1）是横向沙丘的一种，其边缘曲线可看成顶点为原点、焦点为的抛物线的一部分（如图2，若两个翼角，B到焦点的距离都为5米，则两翼的长为 米．已知圆O：x2+y2＝4、圆P：x2+y2+√3x+y﹣6＝0相交于A，B两点，则．ABCD﹣A1B1C1D1BE+BF＝2，P是线段B1F上一动点，当三棱锥B1﹣EBF的体积最大时，直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（10分）na＝，＝．{an}的通项公式；{an}nSn的最大值．18（12分）已知圆C40√，且圆心在x轴上．C的方程；l：mx﹣y+1＝0CA，BMA⊥MBm的值．119（12分）如图，在直三棱柱A111

=√3，CA＝CB＝3，𝐴𝐵=2√3，点D为棱BC上一点，且AD⊥BC1，E为BC1的中点．ADEABC1；AA1C1CADE夹角的余弦值．n20（12分）a𝑔𝑎n2𝑛

−𝑙𝑜𝑔2

𝑎𝑛−1

1(𝑛𝑛𝑁∗)，且𝑎𝑎12

⋅⋯⋅𝑎10

=255．{an}的通项公式；anbn＝2﹣nn能否构成等差数列？k，m的值；若不能，请说明理由．21（12分）(1，直线l𝑥=−1

𝑥211

𝑦2−

=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的右焦点为F，双曲线2（2，，双曲线的两条渐近线与直线l

2 𝑎2√3

𝑏2求双曲线的方程；

围成的三角形的面积为 ．4mF1A，BFByC，D两点，证明：|＝O为坐标原点．22（12分）𝐶：2+2=的右焦点为F（，0，左、右顶点分别为AB直线＝𝑎2 𝑏2m（m≠2）CM，NAMC的方程；

1的斜率之积为．2PMFCFNPHH必在一定圆上，并求出该圆的方程．20212022 学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，，，，，，

4 3 8 2𝑛 7 ），…中，是它的（5，…中，是它的（

3 2

𝑛16项

4第7项 D．第8项解：由2𝑛 𝑛1故选：C．

7，解得4

n＝7．，𝑏=2．已知向→=，−√) ，𝑏=

，→ → （ ）1𝑎⋅𝑏=A．﹣11𝑎⋅𝑏=

B．0

C．1 D．2，𝑏=解：根据题意，向→=，−√) ，𝑏=

，，√3)，则→1→则→1𝑎⋅𝑏=1×1 2×1 (−√3)×√3=0，故选：B．设等差数的前n项和为Sn，若S7＝7，则a4＝（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1解：法一：设等差数列{an}的公差为d．∵𝑆7

=7𝑎1

7×6𝑑=7，2∴a1+3d＝1，即a4＝1．2法二：因为S7=7(𝑎1𝑎 7)=7a4＝7，2∴a4＝1．故选：D．F1，F2x2﹣y2＝2P

|2=8|𝐹

|，则2 12|PF1|＝（ ）A．6√2 C．2√2 4 D．2√2 2解：在双曲线x2﹣y2＝2中，𝑎=√2，𝑏=√2，c＝2．2∵|PF2|2＝8|F1F2|＝8×4＝32，∴|𝑃𝐹2

|=4√2，又|𝑃𝐹1

|−|𝑃𝐹2

|=2𝑎=2√2，∴|𝑃𝐹1

|=2 2 |𝑃𝐹√2√

|=6√2．故选：A．5𝑎=”是“直线a﹣＝0与直线1）﹣a10平行”的（ ）2C．充要条件

必要不充分条件Dx+2ay﹣1＝0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1＝0解得a＝0或𝑎=1，2

1×(−𝑎)=2𝑎⋅(𝑎−1)，1×(−1)≠(−1)⋅(𝑎−1)，所以当𝑎=1时，直线x+2ay﹣1＝0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行，2当直线x+2ay﹣1＝0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行时，a＝0或𝑎=1，2故选：A．6[x]x的通项公式为==𝑎 ](𝑛∈

∗)，前n项和为Sn，则满足不等式Sn≤93的n的最大值为（ ）𝑛 5A．32

B．33 C．34 D．35]=[𝑛−1，所以当1≤n≤5，n∈N*时，an＝0；]𝑛 5当6≤n≤10，n∈N*时，an＝1；当11≤n≤15，n∈N*时，an＝2；当16≤n≤20，n∈N*时，an＝3；当21≤n≤25，n∈N*时，an＝4；当26≤n≤30，n∈N*时，an＝5；当31≤n≤35，n∈N*时，an＝6．𝐴𝐷=𝐴𝑆=10)又因为5×（0+1+2+3+5）+3×6＝93，所以nmax＝33，故选：𝐴𝐷=𝐴𝑆=10)𝐴𝐵7S﹣ABCD→𝐴𝐵

=→

，−→

，则四棱锥的高为（ ）√11A．11

2√11 3B． C．B11 5

D．√2解：设平面D𝑛=𝑥，→→→则𝑛⋅𝐴𝐵=−2𝑥+2𝑦=0 ，{→→→𝑛⋅𝐴𝐷=−2𝑥−4𝑦+2𝑧=0取→=11，四棱锥S﹣ABCD的高即为点S到平面ABCD的距离，→→|𝐴𝑆⋅𝑛|

2 2√11为 →|𝑛|

= = ．√11 11故选：B．8𝑥28．椭圆

𝑦2+

=FPF⊥PFPF𝑎2

𝑏2

1 2 1 2 1与y轴相交于点Q，若→ →，则椭圆的离心率为（ ）𝑃𝐹1

=3𝑃𝑄A．2−√3

1 √3−1B． C．B

D．√3−1QF，由→

3 2→，知|QF|＝2|PQ|，2𝑃𝐹21

=3𝑃𝑄 1设|PQ|＝x，|QF1|＝|QF2|＝2x，2Rt△PQF中，|𝑃𝐹22

|=√3𝑥，∴2𝑎=3𝑥+√3𝑥=(3+√3)𝑥，2𝑐=√9𝑥2+3𝑥2=2√3𝑥，∴𝑒=

2𝑐=2𝑎

2√3𝑥 =√3−1．(3+√3)𝑥故选：D．4520520分．对于直线l：x+y﹣1＝0，下列说法正确的有（ ）直线l过点（0，1） B．直线l与直线y＝x垂直C．直线l的一个方向向量为D．直线l的倾斜角为45°l：x+y﹣1＝0y＝﹣x+1x＝0时，y＝1A对；l的斜率为135D错；由于直线＝x的斜率为（﹣）×＝，故直线l与直线x垂直，故B对；由于直线l的一个方向向量为，1，故C错，故选：AB．如图，在三棱柱ABC﹣ABC

＝90°，AB＝AC＝AA＝1，设→

=𝑎，→ →，11 1

1

𝐴𝐶=𝑏→ → → →𝐴𝐴1

=𝑐，且向𝑏与𝑐的夹角为45°，则（ ）A．A1B＝BC＝2B．BA1与AC所成的角为60°C．→ → → →𝐵𝐶1

=𝑎+𝑏+𝑐D．当

→ → →

BA的体积为定值𝐴𝑃=𝑏+𝜆𝑐(𝜆∈𝑅) 11解：∵∠BAC＝∠BAA1＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，∴𝐴1

𝐵=𝐵𝐶=√2，A错；由题可知，

→ → →， → √，→

，→ → ．𝐵𝐴1

=𝑐−

|𝐵𝐴|= 1

|𝐴𝐶|=1

𝑎⋅𝑏=0∵→ → → → → → → → → → → √2𝐵𝐴1

⋅𝐴𝐶=(𝑐−𝑎)⋅𝑏=𝑐⋅𝑏−𝑎⋅𝑏=𝑐⋅𝑏=1×1×𝑐𝑜𝑠45°=2，→ →∴𝑐𝑜𝑠＜→

，→＞=𝐵𝐴1⋅𝐴𝐶= 𝐵𝐴1

𝐴𝐶

√2×1 2∴BA1与AC所成的角为60°，B对；→ → → → → → → → →𝐵𝐶1

=𝐵𝐶+𝐶𝐶1

=𝐴𝐶−𝐴𝐵+𝐴𝐴1

=𝑏−𝑎+𝑐，C错；→ → →P

CCABA，𝐴𝑃=𝑏+𝜆𝑐

I 1 1∴直线CC1上的点到平面A1BA的距离相等，又△A1BA的面积为定值，∴三棱锥P﹣A1BA的体积为定值，D对．故选：BD．设A（，0，圆2+2＝B为圆心P为圆B上任意一点，线段P的中点为，过QAPBPRPBQC1RC2，则下列说法正确的有（）

的方程为x2+y2＝1

QB

1的横坐标为4C2为双曲线的一支12OQ．

D．C1与C2有两个公共点因为点Q为线段AP的中点为线段AB的中点，所以 1 ，|𝑂𝑄|=2|𝐵𝑃|=11QO为圆心，lC1x2+y2＝1A正确；QBBC𝑥=1B正确；14连接AR，由于直线QR为线段AP的中垂线，所以|RA|＝|RP|，所以||RA|﹣|RB||＝||RP|﹣|RB||＝|BP|＝2，所以点R的轨迹为双曲线，故C错误；

𝑥2𝑦21CCD正确．2故选：ABD．

3 1 212．已知数列{an}满足a1＝8，a2＝1，𝑎

−𝑎={

，𝑛为偶数，

Tn为数列{an}的前n项和，则下列说法正确的有（ ）

𝑛2

𝑎 为奇数，𝑛A．n为偶数时，𝑎𝑛

𝑛−2=(−1)2

B．𝑇2𝑛

=9𝑛C．T99＝﹣2049 D．Tn20

−𝑎={

，𝑛为偶数，，𝑛2

𝑎 为奇数𝑛n

=8 (𝑛−1 ，𝑛

)×(−2)=9−𝑛当n为偶数时，𝑎𝑛

=(−1)

𝑛−22A对；𝑇2𝑛

为偶数，{ B错；9𝑛 为奇数，𝑇 =𝑇99

−𝑎100

=9×50−

2

=−2049，故C对；Tn的最大值为T7＝21，故D错．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．√6 2与√6−2的等比中项为 ±√2 ．解：设等比中项为G，则𝐺2=(√6+2)(√6−2)=2，∴𝐺=±√2．故答案为：±√2．14沙丘（如图1）是横向沙丘的一种，其边缘曲线可看成顶点为原点、焦点为的抛物线的一部分（如图，若两个翼角AB到焦点的距离都为5的长为8米．解：∵抛物线的焦点坐标为（1，，∴抛物线方程为2A，Bx轴对称，设，0，根据抛物线的定义可知，0＝0＝，代入抛物线方程得𝑦0

2=16，∴|AB|＝2|y0|＝8，故答案为：8．15．已知圆O：x2+y2＝4、圆P：x2+y2+√3x+y﹣6＝0相交于A，B两点，则120° 解：两圆方程相减得直线AB的方程√3𝑥+𝑦−2=∴点O到直线B的距离为312°（𝐵=．3故答案为：120°．ABCD﹣A1B1C1D1BE+BF＝2，P是线段B1F上一动点，当三棱锥B1﹣EBF的体积最大时，直线D1P与平面B1EC所成角的正弦值的取值范围为 [√15，√6] ．5 3) 解：当三棱锥B1﹣EBF的体积最大时的面积取最大值=1⋅𝐵𝐸⋅𝐵𝐹≤1⋅(𝐵𝐸+𝐵𝐹2) △𝐸𝐵𝐹 2 2 21，2当且仅当BE＝BF＝1时，等号成立，此时，E为AB的中点，F与C重合．如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D01B（210，→

=→

，， ．1 1 𝐸𝐶

𝐸𝐵1

=

1 1)

C→

=

−𝑥+𝑦=0，

1→

=−1)．1 { 可取𝑦+𝑧=0，设→ →

，， ，[1，（λ，λ，∴→

，， ．𝐶𝑃=𝜆𝐶𝐵1

=

0 𝜆)

𝐷𝑃=1

2 𝜆−1)设直线D1P与平面B1EC所成的角为θ，∴𝜃=→，→ 3 = √3 ． 𝐷𝑃〉|=1

√3×√𝜆2+4+(𝜆−1)2

√2𝜆2−2𝜆+5∵λ∈[0，1]，∴当𝜆=1时，sinθ

√6的最大值为 ；当λ＝0或1时

√15的最小值为 ，2 3 5DPBEC[√15√6．1 1 5 3]故答案为：[√15√6．5 3]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（10分）na＝，＝．{an}的通项公式；{an}nSn（）an的公差为，首项为a，𝑎 +4𝑑=1， 𝑎 =9，a5＝1，a7＝﹣3{1

解得{1𝑎 +6𝑑=−3， 𝑑=−2，1∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n．（2）𝑆𝑛

=𝑛(9+11−2𝑛)=−𝑛2+10𝑛=−(𝑛−5)2+25．2∴当n＝5时，Sn最大，最大值为25．18（12分）已知圆C40，且圆心在x轴上．C的方程；l：mx﹣y+1＝0CA，BMA⊥MBm的值．（）设圆C的半径为，圆心（0，𝑟2=(𝑎+4)2+(√5)2， 𝑎=由题意{ 解{𝑟2=𝑎2+(√5)2， 𝑟=3，∴圆C的方程为（x+2）2+y2＝9．（2）∵点M在圆上，且MA⊥MB，∴直线l过圆心C（2，∴m0+＝𝑚=．2119（12分）如图，在直三棱柱A111

=√3，CA＝CB＝3，𝐴𝐵=2√3，点D为棱BC上一点，且AD⊥BC1，E为BC1的中点．ADEABC1；AA1C1CADE夹角的余弦值．为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．又∵BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC．∵𝐶𝐶1

=𝐴𝐴1

= √1√

=2 𝐴𝐶√1√

=2√3，∴△ABC1BC1的中点，∴AE⊥BC1．又∵AD⊥BC1，AD∩AE＝A，∴BC1ADE．∵BC1⊂平面ABC1，∴平面ADE⊥平面ABC1．ABC，AD⊂ABC，∴CC1⊥AD．又AD⊥BC1，CC1∩BC1＝C1，∴AD⊥平面C1CB．又BC⊂平面C1CB，∴AD⊥BC．如图，以Dxy轴，过点DCC1z轴，建立空间直角坐标系．在△ABC中，可求得𝐴𝐷=2√2，CD＝1，DB＝2，√则2 B（，0（，﹣，0𝐶√1

(0，−由（1）知平面ADE的一个法向量为→

，−𝐵𝐶1

=(0设平面ACC←

=→ √，， ，→

，0，√3)，1 1→ → ，

𝐶𝐴=(2

1 0)

𝐶𝐶1

=(0∴𝑚⋅𝐶𝐴=

即2√2𝑥+𝑦=0，

1→

=−{ { 可取→ → ， √3𝑧=0.𝑚⋅𝐶𝐶 =01∴ → →

6√2 √6 |𝑐𝑜𝑠〈𝑚⋅𝐵𝐶1

〉|=

|= ，√9+3×√1+8 3AA

CADE

√6．1 1 夹角的余弦值为3n20（12分）a𝑔𝑎n2𝑛

−𝑙𝑜𝑔2

𝑎𝑛−1

1(𝑛𝑁∗)，且𝑎𝑎12

⋅⋯⋅𝑎10

=255．{an}的通项公式；{bn}n能否构成等差数列？k，m的值；若不能，请说明理由．（）∵ga﹣g

＝1，∴a＞0，

=2，2n 2

n1

n

𝑛−1n∴数列{a}是以2为公比的等比数列，∴𝑎𝑎n12

⋅⋅⋅⋅⋅𝑎10

=(𝑎𝑎1

)5=255，∴𝑎𝑎1

=211，即𝑎2⋅29=211．∵an＞0，∴a1＝2，1∴𝑎 =2⋅2𝑛−1=2𝑛．1𝑛（2）由（1）得，𝑏𝑛

=2−𝑛=𝑎𝑛 2𝑛∴𝑇

=1

0−−1+⋅⋅⋅+3−𝑛+2−𝑛 1

1 0 −1 3−𝑛= + + +⋅⋅⋅+

2−𝑛，𝑛 2 2 3

𝑛−1

2𝑛，

2 3 4

𝑛 𝑛+12 2

2 2 2 2 2 21𝑇1 −1 −1= +1𝑇1 −1 −1= + + −1 2−𝑛 1+ − =2 𝑛222232𝑛2𝑛+12

2−𝑛 𝑛两式作差，得

−22

2𝑛−11−12

− 2𝑛+1

2𝑛+1

，∴𝑇𝑛

=𝑛．2𝑛若T，T，T

T+T＝2T2+

2𝑘= ．2 k m

2 m

22

2𝑘左右两边都乘2m得，2m﹣1+m＝k2m﹣k+1．∵2m﹣1，2m﹣k+1都为偶数，∴m为奇数时，上式不成立，当m＝4，k＝3时上式成立，∴当k＝3，m＝4时，T2，Tk，Tm成等差数列．21（12分）(1，直线l𝑥=−1

𝑥2

𝑦2−

=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的右焦点为F2（2，，双曲线的两条渐近线与直线l

，双曲线2 𝑎2√3

𝑏2 1求双曲线的方程；

围成的三角形的面积为 ．4mF1A，BFBy两点，证明：＝O为坐标原点．解：设双曲线的两条渐近线与直线l，所以1 1 √3 𝑏，所以所以 ⋅|𝑀𝑁|⋅ = ，|𝑀𝑁|=√3

√3．2 2 4 𝑎又a2+b2＝4，解得a＝1，𝑏=√3，所以双曲线的方程为𝑥2−𝑦23

=1．m若直线m的斜率存在，设为，则直线m的方程为（2，𝑦=𝑘(𝑥−2)，联立{𝑥2−

𝑦23

=

，得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，易知23，且Δ0．设A（11，2，2，且（﹣2，2＝22，则

+

=−4𝑘2=4𝑘2

，𝑥

=−4𝑘2−3=4𝑘2+3．1 2

𝑘2−3 12

𝑘2−3若证|OC|＝|OD|，可证∠OFC＝∠OFD，即证kFA+kFB＝0，𝑦 𝑦

−2)

−2)即

𝐹𝐴

+𝑘 𝐹