空间向量及其运算测试题-2022年整理

优质资料word版本——下载后可编辑优质资料word版本——下载后可编辑6/6优质资料word版本——下载后可编辑高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试一、选择题1抛物线的准线方程是()A．B．C．D．2．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是 （） A． B． C． D．1．已知向量＝(3，－2,1)，=(－2,4,0)，则4＋2等于（）A．(16,0,4) B．(8，－16,4)C．(8,16,4)D．(8,0,4)2．在三棱柱ABC­A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up15(→))＝a，eq\o(CB,\s\up15(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up15(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up15(→))＝（）A．a＋b－c B．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）A.eq\o(OM,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)) B.eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))C.eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0 D.eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝06．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))；②(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－2eq\o(DD1,\s\up7(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→)))＋eq\o(DD1,\s\up7(→)).其中能够化简为向量eq\o(BD1,\s\up7(→))的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7．已知向量a＝(1，－1,1)，b＝(－1,2,1)，且ka－b与a－3b互相垂直，则k的值是A．1B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,5)D．－eq\f(20,9)8．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，a·(b＋c)的值为（）A．4B．15C．7D．39．已知四边形ABCD满足：eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))>0，eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))>0，eq\o(CD,\s\up7(→))·eq\o(DA,\s\up7(→))>0，eq\o(DA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))>0，则该四边形为（）A．平行四边形B．梯形C．长方形D．空间四边形11.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up15(→))＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up15(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ΔABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A．B．2C．D．是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点，，则的面积等于．已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为．14．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在b方向上的投影为________．16．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)共线，那么a－b＝________.19．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a分别与向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))垂直，且|a|＝eq\r(3)，求向量a的坐标．21.已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up15(→))，b＝eq\o(AC,\s\up15(→)).(1)求a与b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．（本小题満分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为。（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围。1.D提示：4＋2＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2.D提示：eq\o(A1B,\s\up15(→))＝eq\o(A1A,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c.3\D提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有＝eq\f(1,2).4.C提示：eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，即eq\o(MA,\s\up7(→))＝－(eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→)))，所以M与A、B、C共面．5\解析C∵a＋b，a－b分别与a、b、2a共面，∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底．6.A提示：①(eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))1；②(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(BC1,\s\up7(→))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(BD1,\s\up7(→))；③(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－2eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))－2eq\o(DD1,\s\up7(→))≠eq\o(BD1,\s\up7(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→)))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(B1D,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(B1D1,\s\up7(→))≠eq\o(BD1,\s\up7(→))，故选A.7.D提示：∵ka－b＝(k＋1，－k－2，k－1)，a－3b＝(4，－7，－2)，(ka－b)⊥(a－3b)，∴4(k＋1)－7(－k－2)－2(k－1)＝0，∴k＝－eq\f(20,9).8\解析D∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9.解析D由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析Aeq\o(OG1,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AG1,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))]＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))，由OG＝3GG1知，eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))，∴(x，y，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))).11\A解析由图形知：eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(BB1,\s\up15(→))＋eq\o(B1M,\s\up15(→))＝eq\o(AA1,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.12.B解析①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a＝0，b≠0时，找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；可以证明③中A，B，C，M四点共面，因为eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OM,\s\up15(→))，等式两边同时加上eq\o(MO,\s\up15(→))，则eq\f(1,3)(eq\o(MO,\s\up15(→))＋eq\o(OA,\s\up15(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(MO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(MO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))＝0，即eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→))＝0，eq\o(MA,\s\up15(→))＝－eq\o(MB,\s\up15(→))－eq\o(MC,\s\up15(→))，则eq\o(MA,\s\up15(→))与eq\o(MB,\s\up15(→))，eq\o(MC,\s\up15(→))共面，又M是三个有向线段的公共点，故A，B，C，M四点共面，所以M是△ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题．13.解析eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3,4,5)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1,2,2)，eq\o(AD,\s\up15(→))＝(9,14,16)，设eq\o(AD,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→)).即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))从而A、B、C、D四点共面．14.eq\f(4\r(3),3)解析向量a在b方向上的投影为：|a|·cosa，b＝eq\r(14)×eq\f(－1＋2＋3,\r(14)×\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).15.3解析因为eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(OG,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(OG,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＝eq\o(OG,\s\up7(→))，且eq\o(AG,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝3eq\o(OG,\s\up7(→)).16.1解析:eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，－1,3)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(a－2，－1，b＋1)，若使A、B、C三点共线，须满足eq\o(BC,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，即(a－2，－1，b＋1)＝λ(1，－1,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＝λ，,－1＝－λ，,b＋1＝3λ，))解得a＝3，b＝2，所以a－b＝1.17.解析(1)eq\o(EF,\s\up15(→))·eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up15(→))||eq\o(BA,\s\up15(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up15(→))，eq\o(BA,\s\up15(→))〉＝eq\f(1,2)cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)cos0°＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up15(→))·eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up15(→))||eq\o(DC,\s\up15(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))〉＝eq\f(1,2)cos120°＝－eq\f(1,4).18.解析∵eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝|eq\o(OA,\s\up7(→))|·|eq\o(AC,\s\up7(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))〉－|eq\o(OA,\s\up7(→))|·|eq\o(AB,\s\up7(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).∴cos〈eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up7(→))·\o(BC,\s\up7(→)),|\o(OA,\s\up7(→))|·|\o(BC,\s\up7(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5).∴OA与BC夹角的余弦值为eq\f(3－2\r(2),5).19.解析(1)∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1，－3,2)，∴cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up7(→))·\o(