第五章数据统计分析1

5放射性测量数据的统计分析

放射性测量的对象——放射性物质放射性物质的衰变是一种随机过程，每个原子的衰变是完全独立的，是无法预测的严格地说，并不存在“真正的”或“准确的”衰变率，只能应用统计学的方法来估计在一段时间内最可能发生衰变的放射性原子数目环境放射性水平低，常受到本底的干扰，使得环境监测数据的处理更为复杂5.1数理统计基础知识数理统计方法：以概率论为基础，对大量的偶然现象的统计资料进行分析研究，得出这种现象概率的规律性，给与科学的解释数理统计方法，是以样本为依据，运用数学模型来推断总体的一门科学5.1.1总体和样本

总体(母体)——研究对象的特征表征量的全体

样本(子样)——从总体中抽取出来的一部分样品x1、x2、……、xn的测量值样本容量——样本中的样品个数(n)，即样本的大小；

n>30

——大样本一组数据——表征自总体中随机抽出的一组样本用样品的分析结果说明被研究对象的整体——用样本说明总体(母体)

分析学：以样品的分析结果说明被研究对象

统计学：以样本的分析结果说明总体5.1.2数据的特性及其分布环放监测数据特性：①具有一定分散性（不可能完全相同）

②具有集中性的趋势常遇到的三种分布：（1）泊松分布（浦阿松分布）：离散型变量的一种分布

p(x)

P(x)——计数x出现的概率μ——泊松分布的均值(数)μ＞16时，泊松分布正态分布σ2＝μ

σ＝√μ

X(2)正态分布（Gauss分布）实验的随机差通常服从此分布

P(x)

标准正态分布μ——曲线最高点对应的横坐标值测值的集中趋势σ——测值的离散特性（大精密度差，分散，小精密度高）μ——正态分布中以σ为单位的离均差（x－μ）

N(μ,σ)N(0,1)(3)对数正态分布检验方法：在正态概率纸或对数概率纸上作图，看能否得出一条直

线。(4)正态分布特征量与样本特征量总体平均值μ——正态变量x的集中性样本均值x——μ的估计值总体标准差σ——正态变量x的离散程度样本标准差S——σ的估计量5.1.3统计量及其分布统计量——由样本数据构造出来的随机变量，如样本特征量x，S由x，S构造的新量也是随机变量由样本总体的估计：建立相应的统计量统计量本身的分布确定统计量超出某个限值或临界值的概率提出各种统计假设的检验方法对于正态分布N(μ,σ)来说，常用的统计量：x、S、u、t、ⅹ2、F其中x、S是样本特征量，u、t、ⅹ2、F是新构造出的统计量(1)样本均值x的概率分布①若x～N(μ,σ2)x1、x2……X～N(μ,σ2/n)②n＞30的大样本，不管总体是何分布，X～N(μ,σ2/n)③样本均数分布的均数等于原总体的分布μ④样本均数分布的标准差σ被√n除所得的商：

多次测量的平均值比一次测量值更精确∴x估计μ(x=μ)(2)样本标准差S的概率分布①通常S2＝σ2，S=σ②标准差的标准差:σσ＝σ/√2n

若X～N(μ,σ2)，则S～N(σ,σ2/2n)。当n较大时，可把S当作σ的估计值

(3)统计量u及其分布①若总体～N(μ,σ)，X～N(μ,σ/√n)作出统计量：②u～N(0,1)③对于大样本，用来检验u＝u0的假设，单总体u检验④临界值Uα，置信水平1－α，在正态分布函数表上可查出对应于α的Uα⑤构造统计量～N(0,1)对于大样本，用于检验μ1＝μ2的假设，双总体检验，临界值也是Uα(4)统计量t及其分布（学生分布）英化学家Gosset用student①测定次数有限，其随机误差不完全服从N(μ,σ2)，而是服从类似正态分布的t分布

统计量

自由度为1、5及∞的t分布②t与置信概率和自由度df＝n－1有关，其数值称为置信因子t。③当df∞，t＝u，两分布曲线一致。④小样本时，t用来检验μ＝μ0的假设——单总体t检验，查表临界值tα⑤小样本时，t也可用来检验μ1＝μ2的假设——双总体t检验注意：双总体u检验、双总体t检验都是以σ1

＝σ2为前提条件(5)统计量X2及其分布①

服从自由度

df＝n－1的X2分布②X2由正态分布导出的一个重要的抽样分布，具有以下重要特征：•X2无定值，X2所取值自0——∞；•分布曲线左右不对称，呈左偏；•X2分布曲线随自由度df而变化。随自由度逐渐增大，曲线渐趋对称；•X2分布的总体平均值或期望值为n－1，总体标准差为。若各Xi的σi相等，即σi

＝σ0则有③•检验在σ已知的特定实验中得到的S值究竟是合理还是例外。

•检验一组n个观测值是否和正态分布或其他分布一致。④查表，临界值X2α(6)统计量F及其分布①要检验两个总体方差是否一致，是否属于同一正态分布，往往要进行F检验。②F服从自由度分别为n－1和n－2的F分布③F检验的临界值Fα④F统计量值与Fα比较，判断两个测量的方差是否有显著的差别。F分布5.1.4统计检验

先假设某一种总体具有某种参数或遵从某种分布等统计特性，然后再检验这个假设是否可信，这种方法称为统计检验，或统计假设检验。

例：某测量装置检修前后的两组本底；年均值m1，m2；有无变化？m1，m2～两个泊松分布的总体，假设m1－m2＝0；采用样本来推断是否抛弃该假设。(1)统计假设考两类错误①统计检验步骤•先作出某种假设——原假设H0

，除H0外

，提出另一假设——备择假设H1•根据样本数据是否拒绝原假设H0•当拒绝H0时，就接受H1

②两类错误:样本数据是带有随机性的，根据样本作出拒绝或接受某一假设，难免犯错。•第一类错误（拒真）——假设H0为真，拒绝；接受H1；概率α表示•第二类错误（存伪）——假设H0为伪，接受；拒绝H1；概率β表示•希望α、β均小，但二者是相矛盾的，要压小α值，β值势必上升例：同时间t测量CB，CS＋B。判断CS＋B至少大CB多少才能判断样品含放射性，而拒真概率＜α(例如α＝0.05)令，X～N(0,1)，μ是X的期望值（真值)，σ标准差（未知），可用

作为它的估计值。原假设H0：μ＝0（不含放射性）备样假设H1：μ>0(含放射性）若观测值X≥Xα,则接受H0，拒受H1

X≤Xα，则拒受H0，接受H0α——显著性水平；1-α——置信度1-β——实验的捡出力∴预定了α值，β就不能任意指定β值取决于α值和样品实际所含的放射性。

α选择视具体问题而定犯两类错误的示意图Lc——判断限LD——探测限LQ——测定限③统计检验分为单侧检验和双侧检验单侧检验——专门检查μ是否显著地大于(或小于)μ0，其否定为μ＞μ0

(或μ＜μ0)双侧检验——只关心μ是否等于μ0，其原假设为μ=μ0，否定假设为μ≠μ0④常用α及时对应的Uα值和Uα/2值

α＝0.05U0.05＝1.64U0.025＝1.96

α＝0.01U0.01＝2.33U0.005＝2.58(2)显著性检验与显著性水平①显著性检验——只提出一个原假设H0，不提备用假设

U≥Uα,拒绝H0；U＜Uα，无显著性差异，不适宜否定H0②显著性水平——上述犯第一类错误的概率α③用途关于总体参数的检验关于分布类型的检验（“吻合度”检验）④（1－α）称为置信水平，表示可以有多大的把握去否定一个假设(3)实例①总体均值与一已知值相等的统计检验测量值均值＝已知值？检验方法:u,t检验法▪μ检验法（已知真值，已知总体方差）[例1]已知：土壤中239Pu含量（μ0）4.47Bq/g，n＝5次测量均值x=4.364Bq/g，试分析是否存在系统误差？取α＝0.05

原假设H0：“μ是否等于μ0”

双侧检验查U表U0.025＝1.96U＝2.19＞1.96，∴否定原假设H0μ≠4.47Bq/g，该分析中存在系统误差（1－α）＝95％▪t检验法

(测量的总体方差未知用样本方差S2来估计总体方差σ2

用t检验)[例2]已知：土壤中铀含量～N(μ,σ2)，以往大量样品分析得到μ0＝1.23μg/g；现取样分析，n＝20个，x＝1.35μg/g,S＝0.24μg/g；

现在水平≥以往水平？试进行显著性检验（取α＝0.05）解：原假设H0：μ≤μ0(单侧检验)

构造统计量：df＝n－1＝19，查t表得：tα(19)＝1.729∵t=2.23

＞tα(19)

=1.729，故拒绝μ≤μ0的假设结论为目前该土壤中铀含量的水平显著地大于以往的本底水平（1－α）＝95％②两总体均值之差等于一已知值和两总体均值相等的统计检验常用来比较不同条件下的两组测量数据之间是否存在差异。▪μ检验法（总体方差已知）[例3]茶叶样Ⅰ、Ⅱ中90Sr的含量：XⅠ＝66.64Bq/kg，nⅠ＝4；XⅡ＝66.6Bq/kg,nⅡ＝6；已知两样本标准都和总体标准差σ＝0.061无显著差别。问：Ⅰ、Ⅱ号茶叶中90Sr是同一种茶叶分别装在两个瓶里，还是两种不同的茶叶样（α＝0.05）解：原假设H0：μ1＝μ2(双侧检验)∵σ总体已知且不变，∴两平均值差的方差为令α＝0.05，查μ表得：μ0.05/2=1.96。μ＜1.96故接受原假设。无显著性差别，没有理由认为两样本不是同一种。•t检验法(总体方差未知)，σ12与σ22未知，只能用S12和S22估计之[例4]例2中,X=1.23μg/g，S＝0.25μg/g，n＝22个，试进行显著性检验(取α＝0.1，双测检验)[解]构造统计量：查t0.05，40＝2.201

t＞t0.05(tα/2)

拒绝原假设H0即现在水平不同于原水平[例5]在A、B两点采集大气沉降物样品25个,测量样品α放射性活度(×10-12Ci/m2天)

两批数据均～N(μ,σ2):

A：n=25，X=24.0，S=13.0B：n=25，X=16.7，S=7.7试比较A、B放射性水平有无显著性差别(取α＝0.05)

首先检验总体方差是否相等，即σ12=σ22，构造统计量F：双测检验：查F临界值表中Fα/2，当自由度df1=df2=25-1=24，F0.025＝2.269

本例的F＞F0.025，拒绝σ12＝σ22的假设，∵不具备方差齐性的条件

∴不能用下面公式构造的统计量：

而应选用

Aspin-Welch检验公式：查t分布的双测分位表，当df＝39时，t0.05/2＝2.023本例t＞t0.05/2,拒绝原假设μ1＝μ2，即两采样点上平均水平差异显著(置信水平95%)[例6]两实验室共同分析就批数据，分析成对进行，是比较两实验室结果之间有无差异

批数123456789A93.0892.5991.3691.6091.9193.4992.0392.8091.03B92.9792.8591.8692.1792.