第7章采样控制系统

第7章线性离散控制系统内容提要

采样控制系统与连续控制系统的根本区别在于采样系统中既包含有连续信号，又包含有离散信号，是一个混和信号系统。分析和设计采样系统的数学工具是Z变换，采用的数学模型是差分方程、脉冲传递函数。知识要点

采样控制系统的特点，连续信号的离散化，采样定理，信号的恢复，保持器，Z变换，差分方程，脉冲传递函数，采样系统的稳定性，采样系统的稳态误差，采样系统的分析，采样系统的校正，最少拍控制器。

本章介绍采样控制系统即线性离散控制系统理论与前几章讨论的连续控制系统的控制理论不同。离散系统与连续系统间的根本区别在于：连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数(模拟信号），而在离散系统中则不然，在一般情况下，控制系统中至少有一处或几处信号在时间上为离散的脉冲或数字信号。7-1基本概念.

炉温自动控制系统原理图当炉温偏离给定值时，热敏电阻的阻值发生变化，使电桥失去平衡，检流计指针发生偏移，转角为S，同步电机带动凸轮使检流计指针上下周期性地运动，检流计指针每隔T秒与电信号接触一次，每次接触时间为τ秒。此时电位器输出是一串宽度为，周期为T的脉冲电压信号，用表示。信号仅仅在检流计指针与电位器接触时才能通过，它经过放大器，电动机，减速器控制炉门角度来改变气体的进气量，使炉温趋于给定值。当检流计离开电位器时，有误差信号，但执行电机不动作，相当于开关断开。炉温采样控制系统示意图检流计的输出是连续偏差信号，而通过指针、电位器的输出为离散信号。即连续信号，经采样周期为T的采样开关变为一系列脉冲信号。数字控制系统结构图数字控制系统

数字控制系统是一种离散型的控制系统，只不过是通过数字计算机来完成。因此，它包括工作于离散状态下的数字计算机(或专用的数字控制器)和具有连续工作状态的被控对象两大部分，有用于控制目的的数字计算机，或数字控制器，它构成控制系统的数字部分，通过这部分的信号均以离散形式出现。被控对象G(s)是系统的不可变部分，它是构成连续部分的主要部分。

在数字控制系统中，具有连续时间函数形式的被控信号c(t)(模拟量)受控于具有离散时间函数形式的控制信号(数字量)。既然模拟量需要反应数字量，这中间便需要有数-模D/A转换环节。连续的被控制信号c(t)经反馈环节反馈到输入端与参考输入相比较，从而得到e(t)并经A／D得到偏差信号。

离散的偏差信号经数字计算机的加工处理变换成数字信号，再经D／A转换为连续信号馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被控制信号c(t)。复杂的计算机控制系统目前的大型控制系统(或称大系统)的发展趋势，是将许多独立的控制系统(称为子系统)结合成单一的最优控制工程。在工业过程控制系统中，要使系统在长时间内工作在稳态，通常是不现实的。这是因为在产品要求、原料、经济因素、加工设备和加工工艺中，总会发生变化。因此，就有必要考虑工业过程中的暂态过程。又由于过程变量中存在着相互影响，所以在每一个控制系统中，只考虑一个过程变量，将系统作为单输入-单输出系统来分析、设计，对于全面的控制系统来说是不适当的。

为了实现工业过程的最优控制，就必须考虑全部的过程变量，即需将系统作为具有多输入—多输出形式的多变量系统来研究。同时还要考虑到经济因素、产品和设备性能等方面的要求。还需指出，大系统对过程的控制能力越完善，也就越需要求解复杂的方程，也就越需要了解和利用工作变量间的正确关系。大系统还必须具备能够在短时间内实时地控制其子系统工作状态的能力。显然，根据上述要求构成的大系统，如果不采用数字计算机来控制．是根本无法完成既定任务的。这样的大系统是离散系统的一种高级形式。分析离散系统可以采用Z变换法，或状态空间法。Z变换法和线性定常离散系统的关系，恰似拉氏变换法和线性定常连续系统的关系；因此，Z变换法是分析单输入-单输出线性定常离散系统的有力工具，它是本章的重点内容。状态空间法特别适用于多输入—多输出线性离散系统的分析。§7-2采样过程与采样定理7.2.1采样过程

实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连续信号变换为脉冲序列的问题。

按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现采样过程的装置叫采样器或采样开关。

采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示，其闭合周期为T，每次闭合时间为τ。实际上，由于采样持续时间τ通常远小于采样周期T，也远小于系统连续部分的时间常数，因此，在分析采样系统时，可近似认为τ趋近于0。在这种条件下，当采样开关的输入信号为连续信号e(t)时，其输出信号e*(t)是一个脉冲序列，采样瞬时e*(t)的幅值等于相应瞬时e(t)的幅值，即e(0T)、e(T)、e(2T)……e(nT)，如图所示。

采样过程

采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。理想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生器，它能够产生一系列单位脉冲。

采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信号的调制过程如图所示。采样信号的调制过程脉冲序列的拉普拉斯变换表达式若用jω代替s，得脉冲序列的频域表达式2.采样过程的数学描述另外，还可得脉冲序列的另一种表示形式。单位脉冲序列是周期为T的周期函数，其采样频率，可展开成富里叶级数脉冲序列的另一种拉普拉斯变换表达式若用jω代替s，得的频域表达式

上式看到，如果si是连续信号的极点，那么si-jkωk都是离散信号的极点，有无限多个。

采样定理(shannon采样定理)，给出了从采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。7.2.2采样定理从采样过程及信号频谱的变化，给出采样定理。

上式表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以ωs为周期的周期函数。另外，上式还表示了采样函数的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式E(s)之间的关系。连续信号e(t)经采样后的脉冲信号表达式

通常E*(s)的全部极点均位于S平面的左半部，因此可用jω代替上式中的复变量s，直接求得采样信号的频率特性：

上式即为采样信号的频谱函数。它反映了离散信号频谱和连续信号频谱之间的关系。

一般说来，连续函数的频谱是孤立的，其带宽是有限的，即上限频率为有限值。连续函数的频谱而离散函数e*(t)则具有以ωs

为周期的无限多个频谱。在离散函数的频谱中、n=0的部分E(jω)／T称为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱外，E*(jω)还包含无限多个附加的高频频谱。1.若时，采样信号频谱的各频谱分量彼此不发生重叠。2.若时，采样信号频谱的各频谱分量彼此相互重叠。

为了准确复现采样的连续信号，必须使采样后的离散信号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保留主频谱。由图可见，相邻两频谱互不重迭的条件是

如果满足条件，采样后的离散信号e*(t)经理想滤波器上，则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号(幅值相差l／T倍)。倘若ωs<2ωmax,则会出现相邻频谱的重叠现象，这时，即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来，因而就难以准确复现原有的连续信号。

对一个具有有限频谱为的连续信号采样，当采样频率

的条件下，采样后的离散信号e*(t)才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。由于它给出了无失真地恢复原有连续信号的条件，所以成为设计采样系统的一条重要依据。香农(Shannon)采样定理：实际中应注意两点：（1）如果是以非周期连续函数的信号，即频谱中的最高频率是无限的，采用信号损失允许值来近似处理。（2）采样定理给出了采样频率的最低限度，但采样频率也不能过大，实现有困难，同时干扰影响也增大。§7-3采样信号保持器

实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何把采样信号恢复为连续信号。

根据采样定理，在满足ωs≥2ωmax的条件下，离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用理想滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。理想滤波器频率特性

理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的滤波器。在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器。

保持器是一种时域的外推装置，即根据过去或现在的采样值进行外推。

通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常用的是零阶保持器。7.3.1零阶保持器

零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把前一采样时刻nT的采样值e(nT)恒定不变保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号和输出信号的关系如图。

零阶保持器的输出信号是阶梯信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以得到比连续信号滞后T／2的曲线。这反映了零阶保持器的相位滞后特性。零阶保持器的传递函数零阶保持器频率特性零阶保持器具有如下特性：低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比：在ω=ωs/2，其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过，从而造成数字控制系统的输出中存在纹波。相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，且随ω的增大而加大，在ω=ωs/2时，相角迟后可达－180°，从而使闭环系统的稳定性变差。时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t)其平均响应为e[t－(T/2)],表明输出比输入在时间上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间为T/2的延迟环节，对系统的稳定性不利。2.一阶保持器

一阶保持器是种按线性规律外推的保持器，其外推关系为

一阶保持器的单位脉冲函数的拉氏变换式可用下式表示，

一阶保持器的频率特性如图。图中的虚线表示零阶保持器的频率特性。一阶保持器的频率特性一阶保持器的幅频特性比零阶保持器高一些，且相位滞后比零阶保持器更大，对系统的稳定性更不利，因此实际中广泛采用零阶保持器。§7-4Z变换线性连续系统用线性微分方程来描述，可以应用拉氏变换的方法来分析其动态及稳态过程。线性采样系统中包含离散信号，用差分方程来描述，同样可以应用一种Z变换的方法来进行分析。Z变换是由拉氏变换引伸出来的一种变形。8.4.1Z变换定义

设连续时间函数f(t)的拉氏变换为F(s)。连续时间函数f(t)经采样周期为T的采样开关后，变成离散信号f*(t)离散信号的拉氏变换为

上式中各项均含有e-kTs因子，为便于计算定义一个新变量z=esT

，其中T为采样周期，z是复数平面上定义的一个复变量。通常称为z变换算子。得到以z为自变量的函数F(z)

是相互补充的两种变换形式，前者表示s平面上的函数关系，后者表示z平面上的函数关系。若所示级数收敛，则称F(z)是f*(t)的z变换。记为

Z[f*(t)]=F(z)

应该指出，式所表示的z变换只适用于离散函数，或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。人们习惯上称F(z)是f(t)的z变换,指的是经过采样后f*(t)的z变换。采样函数f*(t)所对应的z变换F(z)是唯一的，但是，一个离散函数f*(t)所对应的连续函数却不是唯一的，而是有无穷多个。7.4.2Z变换方法求离散函数的z变换方法有很多，介绍其中三种。1)

级数求和法由离散函数及其拉氏变换，根据z变换的定义有：

已知函数在采样时刻kT(k=0,1,2,3,4,…..)的采样值便可求取离散函数z变换的级数展开式。对常用离散函数的z变换应写成级数的闭合形式。例1：试求函数f(t)=1(t)的z变换。解:f(kT)=1(kT)=1(k=0,1,2,3….)例2：试求函数f(t)=e-at的z变换。

级数求和法求取已知函数Z变换，需要将无穷级数写成闭式。这在某些情况下要求很高的技巧。但函数Z变换的无穷级数形式却具有鲜明的物理含义，这又是Z变换无穷级数表达形式的优点。Z变换本身便包含着时间概念，函数Z变换的无穷级数形式清楚地看出原连续函数采样脉冲序列的分布情况。

2)部分分式法

设连续函数f(t)的拉氏变换式为有理函数，可以展开成部分分式的形式，即式中pi为F（s）的极点，

Ai为常系数。对应的时间函数为其Z变换为可见，f（t）的Z变换为：

利用部分分式法求z变换时，先求出已知连续时间函数f（t）的拉氏变换F(s)，然后将有理分式函数F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或查表）给出每一项相应的z变换。例3：求的Z变换。例4：求f(t)=sinωt的Z变换。解：的原函数为，其Z变换为3)留数计算法

已知连续信号f(t)的拉氏变换F(s)及它的全部极点,可用下列的留数计算公式求F(z)。函数在极点处的留数计算方法若Si

为ri重极点，则若Si为单极点，则解：F(s)的极点为单极点例5已知系统传递函数为，应用留数计算法求F(z)。例6：求(t>0)的Z变换.解：F(s)有两个s=0的极点，即

若对于任意常数a和b，则有7.4.3Z变换的基本定理1)线性定理证明：由Z变换定义若连续函数X(t),当t<0时,X(t)=0,且2）实数位移定理又称平移定理则有及定理表明，原函数在时域中延迟n个采样周期，相当于其z变换乘以.3）复域位移定理若则有：定理的含义是：函数x(t)乘以指数e±at的Z变换，等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以取代原算子z。证明：由Z变换定义例：试用复数位移定理计算函数te-at的Z变换解：令x(t)=t，查附表知根据复数位移定理，有4）复数微分定理若Z[x(t)]=X(z)，则5）初值定理若Z[x(t)]=X(z)

，且当t<0时，x(t)＝0

则6）终值定理

若Z[x(t)]=X(z)

，且(z－1)X(z)的全部极点位于Z平面的单位圆内，则例：设Z变换函数为试用终值定理确定稳态值解：由终值定理得7）卷积定理若则有：证明：根据Z变换的定义：7.4.4Z

反变换与拉氏反变换类似，z反变换可表示为：下面介绍三种常用的z反变换法:1.长除法；2.部分分式法；3.留数法1）综合长除法

这种方法是用F(z)的分母除分子。求出z-1按升幂排列的级数展开式，然后用反变换求出相应的采样函数的脉冲序列。

通过对上式直接作综合除法，得到按z-1升幂排列的幂级数展开式如果得到的无穷级数是收敛的，则按Z变换定义可知上式中的系数fk

（k=0，1，…）就是采样脉冲序列f*(t)的脉冲强度f(kT）。因此可直接写出f*(t)的脉冲序列表达式

上式就是我们要求的通过z反变换得到的离散信号f*(t)。

注意：①在进行综合除法之前，必须先将F(z)的分子，分母多项式按z的降幂形式排列。②实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。因此用这种方法计算f*(t)最简便，这是这一方法优点之一。③要从一组f(kT)值中求出通项表达式，一般是比较困难的。例7：已知，试用幂级数法求F(z)的z反变换。解：用综合除法得到因为2)部分分式展开法

在z变换表中，所有z变换函数F(z)在其分子上都普遍含有因子z，所以应将F(z)/z展开为部分分式，然后将所得结果每一项都乘以z，即得F(z)的部分分式展开式,查找z变换表得z反变换f(kT)。例8

设,试求f(kT)。解：经计算有A=1，B=－1所以有查z变换表得或3）留数计算法根据z变换定义有根据柯西留数定理有式中表示F(z)zk-1在极点zi

处的留数。关于函数F(z)zk-1在极点处的留数计算方法若zi为单极点，则若F(z)zk-1有ri阶重极点Zi，则例9：设试用留数法求z反变换。解：因为函数有z1=－1，z2=－2两个极点，极点处的留数所以有或§7-5离散系统的数学模型

线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散系统的状态空间表达式三种。8.5.1线性常系数差分方程1.差分的定义一阶前向差分的定义为二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为同理一阶后向差分为n阶后向差分为

一个方程中除含有函数本身外，还有函数的差分，此方程为差分方程，即2.差分方程对于输入为r(t)，输出为c(t)的线性定常离散系统，其差分方程为3.差分方程的解1）迭代法

2）z变换法用z变换法解差分方程，类似拉斯变换解微分方程，z变换将差分方程变为z变量的代数方程，通过z反变换，就可求出差分方程的解。例：系统的差分方程为

c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=0

初始条件c(0)=0，c(1)=1，试求c(k).解：迭代法，由差分方程得

c(k+2)=-3c(k+1)-2c(k)当k=0时，c(2)=-3c(1)-2c(0)=-3

k=1时，c(3)=-3c(2)-2c(1)=7

k=2时，c(4)=-3c(3)-2c(2)=-15………Z变换法，方程两边取z变换得代入初始条件并整理得Z反变换得k=0时，c(0)=0k=1时，c(1)=1k=2时，c(2)=-3k=3时，c(3)=7k=4时，c(4)=-15…….

7.5.3脉冲传递函数（z传递函数）

在线性连续系统中，我们把初始条件为零下系统(或环节)输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变拉之比，定义为系统或环节的传递函数，并用它来描述系统(或环节)的特性。

与此相类似，在线性离散系统中，把初始条件为零的条件下系统(或环节)的输出离散信号的Z变换与输入离散信号的z变换之比，定义为系统或环节的脉冲传递函数G(z)，又称为z传递函数。脉冲传递函数是离散系统的一个重要概念，是分析离散系统的有力工具。1）脉冲传递函数的定义在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号z变换C(z)与离散输入信号z变换R(Z）之比，称为该系统的脉冲传递函数G(z)（或z传递函数）。

应该指出，多数实际采样系统的输出信号是连续信号，如图所示，在这种情况下，可以在输出端虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工作。这样就可以沿用脉冲传递函数的概念。在连续系统中，传递函数是系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换。同样，对离散系统脉冲传递函数是系统单位脉冲响应的z变换。

2)脉冲传递函数的求法

1）根据脉冲传递函数的定义，若已知系统连续传递函数G(s)，或系统脉冲响应g(t),则脉冲传递函数G(z)为：

2）若已知系统的差分方程，在零初始条件下，差分方程式两边求z变换，输出的z变换和输入的z变换之比即为系统脉冲传递函数，即

例12:若采样系统的差分方程为试求其脉冲传递函数。解：对差分方程两边进行z变换，并令初始条件为零，有例13系统如图，其中连续部分的传递函数为试求系统的开环脉冲传递函数。解：由z变换公式得3）采样系统的开环脉冲传递函数（1）串联环节之间无采样开关！！串联环节之间无采样开关时，等效开环脉冲传递函数等于各环节传递函数之积的z变换。（2）串联环节之间有采样开关！！串联环节之间有采样开关时，等效开环脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数之积。（3）带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数

设有零阶保持器的开环系统如图（a）所示,经简单变换为如图（b）所示等效开环系统。有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数例14

设离散系统为具有零阶保持器的开环系统，解：求系统的脉冲传递函数G(z)。

4）采样系统的闭环脉冲传递函数

在采样系统中，由于设置采样器方式是多种多样的，所以闭环系统的结构形式也不是统一的。下图是比较常见的闭环系统结构图。图中输出端的采样开关是为了方便于分析而虚设的，另一虚线开关是等效的。典型离散闭环系统结构图由图中信号关系得闭环脉冲传递函数：闭环误差脉冲传递函数：与连续系统类似，令或的分母多项式为零，便可得到离散系统的特征方程：需要指出，离散闭环系统脉冲传递函数不能从和直接求Z变换得来，即

通过与上面类似的方法可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。但只要误差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就不存在，此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函数C(z)。例14设闭环离散系统结构如图所示，试证其闭环脉冲传函为离散系统结构证明：例15

设闭环离散系统结构如图,试求其输出采样信号的z变换函数闭环系统结构图解：由图可得离散化有取Z变换有§7-6采样控制系统的稳定性分析7.6.1采样系统的稳定条件

在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的所有根均在s平面左半平面，则系统稳定。对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分析要采用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。1）s域到z域的映射:复变量s和z的相互关系为z=esT

，式中T为采样周期

s域中的任意点可表示为，映射到z域则为于是，s域到z域的基本映射关系式为

设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时s＝jω，对应的复变量。后者是Z平面上的一个向量，其模等于1，与频率ω无关；其相角为ωT，随频率ω而改变。

可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。

当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数，小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为正数，大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。Z平面和W平面的对应关系

线性采样系统结构图2）线性采样系统稳定的充分必要条件线性采样系统的特征方程为

闭环系统特征方程的根λ1、λ2、…λn，即闭环脉冲传递函数的极点。

在z域中，离散系统稳定充分必要条件是：

当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，相应的线性定常离散系统是稳定的。7.6.2劳斯稳定判据

对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。对于离散系统，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。复变函数z与w双线性变换公式，令或式中z和w均为复变量，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即对应关系1.对于w平面上的虚轴，即u=0，则对应z平面以原点为圆心的单位圆上。

2.z平面上单位圆内，对应于w平面u为负，即虚轴的左半平面。3.Z平面上单位圆外，对应于w平面u为正，即虚轴的右半平面。

对于线性采样系统经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。

例16

设闭环离散系统如图所示，其中采样周期T=0.1s，试求系统稳定时K的变化范围。解：求系统的开环脉冲传递函数代入上式，得系统特征方程为闭环系统脉冲传递函数为化简后，得W域特征方程列劳斯表从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使K>0，2.736-0.632K>0，即0<K<4.33。7.6.3采样周期与开环增益对稳定性的影响例18

设有零阶保持器的离散系统如图所示，试求：（1）当采样周期T分别为1s，0.5s时，系统的临界开环增益Kc。（2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4s时，系统的输出响应c(kT)。解：由劳斯判据KC=2.4T=0.5s时：T=1s时：由劳斯判据KC=4.37且由

，可求得C(z)表达式

取K=1，T=0.1,1,2,4s，可由C(z)求Z反变换得到c(kT)，见图：不同T时系统的响应§7-7采样系统的稳态误差

线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广到采样系统中来。设单位反馈采样系统如图所示：系统的开环脉冲传递函数为G(z)由图可得给定信号r(t)作用下误差的z域表达式利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差上式表明，离散系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式有关。

与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念，由于的关系，线性连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II型离散系统。典型输入作用下的稳态误差。(1)单位阶跃输入时的稳态误差式中称为静态位置误差系数。

对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp≠∞,从而ess(∞)≠0；对I型、II型以上的离散系统（有一个或一个以上z=1的极点），则Kp=∞，从而ess(∞)=0。

因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。（2）单位斜坡输入时的稳态误差式中称为静态速度误差系数。

对于0型系统的kv=0，I型系统的为有限值kv=常数

，II型和II型以上系统的kv=∞，有如下结论：0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。（3）单位加速度输入时的稳态误差式中称为静态加速度误差系数。

由于0型及I型系统的ka=0，II型系统的为常值，III型及III型以上系统ka=∞,因此有如下结论成立：

0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度误差，只有III型及III型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时的稳态位置误差。在三种典型输入信号作用下，离散系统的静态误差系数的计算与连续系统非常相似，但离散系统的稳态误差除了与系统的结构和参数有关外，还与系统的采样周期T有关。§7-8采样系统的暂态响应与脉冲传递函数零、极点分布的关系一.闭环零、极点分布与瞬态响应的关系

在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。设闭环系统的脉冲传递函数为式中zj(j=0,1,2…)为系统闭环零点；

pi(i=0,1,2,…)为系统闭环极点；且m<n。采样系统的单位阶跃响应

A0=1，上式中第一项为系统输出的稳态分量，第二项为输出的暂态分量。显然，随着极点在z平面位置的变化，它所对应的暂态分量也就不同。Z反变换得输出信号的脉冲序列c*(t)或c(kT)1.闭环极点为实根时

(1)若随k增大而增大，即暂态响应是单调发散；（2）若为常量，即暂态响应是等幅振荡；(3)若随k增大而单调减小，即暂态响应是单调衰减，越靠近原点，衰减越快；(4)若随k变化出现正负交替衰减，即暂态响应是正负交替衰减；(5)若暂态响应是正负交替的等幅振荡；(6)若暂态响应是正负交替发散；

闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系，如图所示2）闭环共轭复数极点时

设为一对共轭复数极点，pk

、pk+1对应的暂态项为

若|pk|>1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆外，瞬态响应为振荡发散；若|pk|=1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆上，瞬态响应为等幅振荡；若|pk|<1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆内，瞬态响应为衰减振荡,且|pk

|越小,即复极点越靠近原点,衰减越快；

闭环复数极点分布与相应动态响应形式关系

当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分量是衰减的。极点离原点越近衰减越快。若极点位于正实轴上，暂态分量按指数衰减。一对共扼复数极点的暂态分量为振荡衰减。为了使采样系统具有较为满意的暂态响应，其z传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部分靠近原点的位置。

闭环零点影响暂态分量的系数Ai，即影响响应的起始值。

线性连续系统中主导极点的概念，对采样系统主导极点定义为，若系统的一对极点靠近单位圆，而其它零极点均在原点附近，离这对极点相当远，那么系统的瞬态响应主要由这一对极点来决定，称为主导极点。2.主导极点例19：若系统结构如图所示，试求其单位阶跃响应的离散值，并分析系统的动态性能。采样周期T=0.2秒。当输入量r(t)=1(t)时，R(z)=z/(z－1)，输出量的z变换为：解：系统的闭环脉冲传递函数为求得系统在单位阶跃函数作用下的输出序列y(kT)为§7-9采样系统的校正

在设计采样控制系统的过程中，为了满足性能指标的要求，常常需要对系统进行校正。与连续系统相类似，采样系统中的校正装置按其在系统中的位置可分为串联校正装置和反馈校正装置；按其作用可分为超前校正，滞后校正和滞后—超前校正。与连续系统所不同的是，采样系统中就校正装置的信号而言分连续校正和断续校正（数字校正）。

离散系统数字校正的目的，是在使系统稳定的基础上进一步提高系统的控制性能，如满足一些典型控制信号作用下，经过最少个采样周期（通常一个采样周期也称一拍），使系统输出在采样时刻上无稳态误差，达到完全跟踪的系统，称为最少拍控制系统或最快响应系统。7.9.1数字校正（断续校正）

线性离散系统中，设反馈通道的传递函数H(s)＝1，以及连续部分(包括保持器)G(s)的z变换为G(z)，则求得单位反馈线性离散系统的闭环脉冲传递函数为

根据线性离散系统连续部分的脉冲传递函数G(z)及系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)或Φe(z)便可确定出数字控制器的脉冲传递函数D(z)。数字控制器脉冲传递函数的一般形式为式中ai

(i＝1，2，…，n)及bj(j＝0，1，2，…，m)为常系数。

为使数字控制器的脉冲传递函数D(z)具有物理实现性，需要有n≥m。

对系统控制性能的要求，由闭环脉冲传递函数Φ(z)或Φe(z)来反映。因此，在闭环脉冲传递函数和系统性能指标间的联系便是需要讨论的一个重要问题。7.9.2最少拍系统的脉冲传递函数

将在典型控制信号作用下，经过最少个采样周期（通常一个采样周期也称一拍），使系统输出在采样时刻上无稳态误差，达到完全跟踪的系统，称为最少拍控制系统或最快响应系统。

最少拍系统设计根据以上性能指标的要求及典型输入信号和其他约束条件，确定期望的闭环脉冲传递函数Φ(z)或Φe(z)

，再由等式确定控制器D(z).

1)典型输入信号分别为单位阶跃信号、单位速度信号和单位加速度信号时，其z变换分别为：可见典型输入信号的Z变换可写为其中A(z)是不包含因子

的多项式。

由系统在典型输入信号下的稳态误差为有2)从准确性看φ(z)为使稳态误差为零，中应包含因子。F(z)是不包含因子

的多项式。2)从快速性要求看Φ(z)

为了使采样系统在最少采样周期内结束过渡过程，需使系统的闭环脉冲传递函数中所含项最少。

为此，最好取F(z)=1，采样系统的暂态响应过程可在最少个采样周期内结束。得

它是既保证在典型输入信号下无稳态误差，又同时使过渡过程最快结束的闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数。

为保证闭环系统的稳定性和D(z)的物理上可实现，对闭环脉冲传递函数提出附加要求。4）从稳定性角度考虑（1）的零点应能补偿G(z)中所含单位圆外或圆上的极点；（2）的零点去抵消G(z)中所含单位圆外或圆上的零点；（3）为保证D(z)的分母阶次大于或等于分子阶次，（G(z)常含有因子）要求包含有因子；又考虑，应为包含常数项为1的多项式。

根据系统在典型输入信号（单位阶跃信号、单位速度信号和单位加速度信号），以及系统开环脉冲传递函数的情况(单位圆上或单位圆外的零极点），求得最少拍采样系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)和Φe(z)，再由得最小拍控制器D(z)，及E(z)和C(z)。例20设单位反馈线性离散系统的连续部分及零阶保持器的传递函数分别为其中T＝1秒，试求取在等速度输入信号r(t)=t作用下，能使给定系统成为最少拍系统的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。解

根据给定的传递函数G0(s)及Gh(s)求取系统开环脉冲传递函数G(z)，即当r(t)＝t时，从最少拍考虑系统的闭环脉冲传递函数为

再从稳定性和可实现性来看，G(z)包含一个单位圆上的极点，该极点应由Φe(z)的零点来抵消，恰好已包含在内。G(z)含有因子，而也已包含因子。数字控制器的脉冲传递函数D(z)，即系统的输出为

系统在典型输入r(t)=t的过渡过程c*(t)如图所示。过渡过程在两个采样周期就可结束。

若上述最少拍系统的输入信号变为阶跃输入，D(z)不变，则系统的过渡过程为对应的过渡过程c*(t)如图。从图可见，反应阶跃输入的过渡过程时间ts仍为两个采样周期，稳态误差仍为零，但在t=T＝1秒时却出现一个100%的超调。

当等加速度输入作用于上述最少拍系统时，其输出函数的Z变换C(z)

从图可见，反应等加速度输入时过渡过程的持续时间ts仍为两个采样周期，但出现了数值为1的常值稳态误差。

从上面分析看到，如果线性离散系统是对等速度输入信号设计的最少拍系统，则反应阶跃输入信号(其时间幂次低于等速信号)时的过渡过程会出现100％的超调，而反应等加速度输入信号(其时间幂次高于等速信号)的过渡过程虽无超调现象，但系统将具有不为零的稳态误差。这说明，最少拍系统对输入信号的适应性较差。例21

设单位反馈线性离散系统的连续部分及零阶保持器的传递函数分别为（采样周期T=0.2秒）试设计系统对单位阶跃函数的过渡过程具有最短可能时间的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。解给定系统的开环脉冲传送函数G(z)，即

G(z)具有一个位于单位圆外的零点，一个单位圆上的极点及因子。为此，根据输入信号，从稳定性，准确性，最少拍及D(z)可实现等考虑闭环脉冲传递函数Φ(z)及Φe(z),设又考虑Φ(z)=1－Φe(z)比较求得解得：系统经数字校正后系统的输出可见，采样系统的单位阶跃响应在两个采样周期结束,较无单位圆外的零点给出的暂态响应时间延长了一个周期，这是由于G(z)含有一个单位圆外的零点之故。一般说来，最少拍系统暂态响应时间的增长与G(z)包含的单位圆上或圆外的零极点个数成正比。

上面介绍了最少拍采样系统的设计方法。最少拍系统设计方法简便，系统结构简单，但在实际应用上存在一些问题。前面已经指出，最少拍系统对于各种不同典型信号的适应性差。对于一种典型输入信号设计的最少拍系统用于其它典型信号时性能并不理想。虽然可以考虑根据不同典型信号自动切换程序，但应用仍旧不便。最少拍系统对参数变化较敏感。当系统的参数受各种因素的影响发生变化时，会导致系统暂态响应时间的延长。需要强调指出的是，按照上述方法设计最少拍系统只能保证在采样点上稳态误差为零，而在采样点之间系统的输出有可能会产生波动(围绕给定输入)，这种系统称为有纹波系统。纹波的存在不仅引起误差，而且增加功耗和机械摩损，这是许多快速系统所不容许的。适当增长系统暂态响应的时间(增加响应的拍数)，是能设计出既使输出无纹波又使暂态响应为最少拍采样周期的系统。§8-10MATLAB在离散系统中的应用