信号与系统 第7章 信号的离散时间复指数描述-z变换

第七章信号的离散时间复指数描述-z变换z变换是用离散时间复指数信号描述离散系统或离散信号的方法，与用拉普拉斯变换比较，有其不同的表达方法。z变换能够离散时间LTI系统及其对信号响应提供比离散时间傅立叶变换（DTFT）更宽的特性描述。从很大程度上，z变换是离散时间傅立叶变换的扩展，或者说DTFT是z变换的特例。z变换可以分析处理离散时间傅立叶变换不能分析的涉及无限求和不收敛的信号。z变换以有两个变量的离散时间复指数函数作为基函数。离散时间复指数函数也是LTI系统的特征函数。§7.1引言z变换的分类单边z变换双边z变换单边z变换是求解具有初始条件差分方程的有力工具双边z变换为了解系统的稳定性、因果性及频率响应等提供了新的视角。两个离散时间信号卷积和的z变换也是两个离散时间信号z变换的乘积。LTI的输出可以通过输入信号的z变换与系统冲激响应的z变换乘积得到。系统冲激响应的z变换仍称为系统的传递函数。§7.2

z变换的引入7.2.1z变换中的基函数—离散时间复指数函数令模为r，相角为Ω的复指数为ejΩ，离散时间复指数信号一般在稳定系统应用问题中，r＜1，因而z的实部是衰减的余弦函数，虚部是衰减的正弦函数7.2.2

LTI系统离散时间复指数函数的本征函数特性以离散时间复指数函数做为冲激响应为h[n]的LTI系统的输入信号，则系统输出信号可见zn

是离散LTI系统的特征函数(信号)，H(z)是对应zn

的特征值，一般是复数。7.2.2LTI系统离散时间复指数函数的本征函数特性可见离散LTI系统的输出信号只是将输入特征信号zn的大小变为原来的|H(rejΩ)|倍，相位移动了φ(rejΩ)。利用复数的性质和欧拉公式，得到称为传递函数。函数7.2.3z

变换可见传递函数是h[n]r-n的傅立叶变换，其逆变换必定为将z=rejΩ

代入传递函数表达式得到将z=rejΩ

代入传递函数表达式得到以z为变量的积分形式

7.2.3

z

变换而Ω由-π到π的积分对应于z

沿逆时针方向以r为半径的圆绕行一周，因此在z=rejΩ

中将r视为常数，则可以定义传递函数是离散冲激响应的z变换，而离散冲激响应是传递函数的逆z变换。z变换的一般表示为记为7.2.4

z变换的收敛性z变换的收敛条件为满足收敛条件的r的取值范围为z变换的收敛域（ROC）。对不满足傅立叶变换收敛条件的信号，可以通过调整r的大小使其z变换收敛。注意r>0！7.2.5

z平面用复数坐标描述复指数z

的特点的平面称为z平面。复指数z

的特点是以复平面的原点为圆心，以r为半径，与实轴夹角为Ω的线段来描述。如果r=1时z变换收敛，则z变换退化为傅立叶变换。傅立叶变换的区域是z变换中半径为1的单位圆。z平面Re{z}Im{z}ΩrrejΩz平面Re{z}Im{z}Ωr

=1ejΩ7.2.6极点和零点如果z变换具有分子与分母两个z-1的多项式相比的形式：其中，称为增益；ck是分子多项式的根，称为z变换的零点；dk是分母多项式的根，称为z变换的极点。由极点、零点和收敛域可以确定z变换的特点。则可以化为例题与习题：例7.1（P535）（z变换的求法）例7.2（P536）（指数因果信号的z变换）例7.3（P536）（指数反因果信号的z变换。收敛域的重要性）例7.4（P537）（双边信号的z变换）作业：习题7.1（538）例题与习题：例题与习题：例题与习题：例题与习题：§7.3z变换收敛域的特性z变换的收敛条件为因此z变换的收敛域可以反映信号的特性。1、收敛域不包括极点；2、有限持续时间内的有限信号的z变换的收敛域是除了|z|=0或|z|

=∞的整个z平面；3、由于冲激信号的z变换是常数，因此冲激信号z变换的收敛域是整个z平面，冲激信号也是唯一一个z变换在整个z平面上收敛的信号；4、单边及双边信号的收敛特点右边信号的收敛域为：|z|

＞r+；r+是z平面上“最大”极点对应的半径左边信号的收敛域为：|z|

＜

r-；r-是z平面上“最小”极点对应的半径双边信号的收敛域为：r+

＜|z|＜

r-。5、信号傅立叶变换的收敛域位于|z|=1的单位园上收敛域的特性：§7.3

z变换收敛域的特性右边信号及其收敛域………………z平面Re{z}Im{z}r+0z平面Re{z}Im{z}r-0z平面Re{z}Im{z}r+0r-左边信号及其收敛域双边信号及其收敛域§7.3

z变换收敛域的特性例题与习题：例7.5（P541）作业：习题7.2（543）§7.3

z变换收敛域的特性例题与习题：§7.3

z变换收敛域的特性例题与习题：§7.4z变换的性质大部分z

变换的性质与离散傅立叶变换的特性类似，这里只给出z

变换的主要特性，证明从略。设信号x[n]和y[n]的z变换存在，即A.线性特性其收敛域至少为两信号收敛域的交集，即§7.4z变换的性质B.时间反转性质原信号x[n]的时间反转（映射）信号的z变换是原信号z变换中以z-1取代z得到。若原信号z变换的收敛域Rx为a

＜|z|＜

b，则其时间反转信号z变换的收敛域为a

＜1/|z|＜

b或1/b

＜|z|＜1/a

。C.时移性质时移后信号z变换可能的收敛域是除了|z|=0或|z|=∞所有Rx，当n0＞0，则时移后信号z变换的收敛域不能包含z=0，当n0＜0，则时移后信号z变换的收敛域不能包含|z|=∞。§7.4z变换的性质D.与指数序列相乘的性质收敛域为|α|

Rx。若原信号z变换的收敛域Rx为a

＜|z|＜

b，则其与指数序列相乘的z变换的收敛域为|α|a

＜|z|＜|α|b。E.卷积性质收敛域R≥Rx∩RyF.z域微分特性收敛域为Rx§7.4

z变换的性质例题与习题：例7.6（P544）例7.7（P546）例7.8（P547）作业：习题7.3（548）§7.4

z变换的性质例题7.6§7.4

z变换的性质例题7.7§7.4

z变换的性质例题7.7§7.4

z变换的性质例题7.8§7.4

z变换的性质例题7.8§7.5

逆

z变换逆

z变换是从

z变换中求对应的原时间信号。我们只介绍部分分式展开法和幂级数法两种求逆

z变换的方法。用部分分式展开法求逆

z变换，是通过基本的z变换对，以及z变换的性质来得到逆z变换。收敛域是极点半径以外区域的逆z变换得到右边信号，收敛域是极点半径以内区域的逆z变换得到左边信号。幂级数法求逆

z变换的方法是把z变换的的表达式化为

z-1

的幂级数形式，再通过观察幂级数的系数来确定时域信号。7.5.1部分分式展开法求逆z变换如果z变换具有分子与分母两个z-1的多项式相比的形式：如果M＜N，则可以直接进行部分分式分解。如果M＞N，可以先用长除法把X(z)化为一个z-1的多项式和一个有理多项式形式。z-1的多项式形式的逆z变换可以利用变换对和z变换的时移性质求得。z-1的有理多项式形式的逆z变换用部分分式分解方法求得。先将分母多项式分解因式得：7.5.1部分分式展开法求逆z变换根据极点的性质、收敛域、极点的位置和系统的性质，可以采用以下几种方法。1、当各极点互不相同，则用留数法求得部分分式为对部分分式中的每一项当收敛域：|z|＞dk，则其对应的部分分式中的逆z变换是右边信号，即当收敛域：|z|＜dk，则其对应的部分分式中的逆z变换是左边信号，即7.5.1部分分式展开法求逆z变换2、如果极点di是r重的，则用留数法求得部分分式为r个对其中的第m项部分分式当收敛域：|z|＞di，则其对应的部分分式中的逆z变换是右边信号，即当收敛域：|z|＜di，则其对应的部分分式中的逆z变换是左边信号，即7.5.1部分分式展开法求逆z变换3、如果极点dk是复数，则当有理分式的所有系数为实数时，必有一个与共轭的极点，所得到的部分分式的系数也是共轭的当收敛域：|z|＞dk，则其对应的部分分式中的逆z变换是右边信号，即当收敛域：|z|＜dk，则其对应的部分分式中的逆z变换是左边信号，即7.5.1部分分式展开法求逆z变换4、如果系统是因果的，则其z变换只在|z|＞dk

区域收敛，其逆z变换只有右边信号；5、如果信号是稳定的，则其必然是绝对可和的，其离散时间傅立叶变换是存在的。z变换收敛域必定包含|z|=1的单位园，当极点位于单位园以内，逆z变换只存在右边信号；当极点位于单位园外，则逆z变换只存在左边信号。7.5.2求逆z变换的幂级数展开法（第5节课，2014年12月1日，金工实习停课6周后第六次课讲到此。）

如果z变换X(z)可以表示为z-1或z的形式，信号x[n]可以通过与z-n或zn联系的系数来表示。特点：1、此方法只适用于单边信号，即离散时间信号是由收敛域为|z|＜a或|z|＞a的z变换所决定。如果收敛域|z|＞a，则把z变换X(z)表示成z-1的幂级数形式（|z|→∞时才有定义

），得到右边信号形式的逆z变换；如果收敛域|z|＜a，则把z变换X(z)表示成z的幂级数形式（|z|→0时才有定义

）

，得到左边信号形式的逆z变换；2、幂级数展开法可以得到不是多项式比形式z变换的逆变换。§7.5逆z变换例题与习题：例7.9（P550）例7.10（P551）例7.11（P554）（长除法求z变换）例7.12（P555）（幂级数展开法求z变换）作业：习题7.4（551），习题7.5（553），习题7.6（553），习题7.7（555）§7.5逆z变换例题7.9§7.5逆z变换例题7.9§7.5逆z变换例题7.10§7.5逆z变换例题7.10§7.5逆z变换例题7.11§7.5逆z变换例题7.11§7.5逆z变换例题7.12§7.6传递函数（LTI系统的性质）传递函数是冲激响应的

z变换。LTI系统的输出信号是冲激响应与输入信号的卷积和，即两边进行拉氏变换LTI系统的传递函数是输出信号

z变换与输入信号

z变换之比，即当输出信号的

z变换和输入信号

z变换为已知，传递函数的收敛域已经确定，或虽然没有给定传递函数的收敛域，但系统的稳定性或因果性质已知的情况下，可以通过求传递函数的逆z变换得到系统的冲激响应。7.6.1传递函数与差分方程的关系从描述LTI系统输入信号x[n]与输出信号y[n]关系的差分方程，可以得到系统的传递函数H(z)。描述LTI系统的

N阶差分方程为（P129）对方程两边同时作z变换，并利用时域平移信号z变换的性质得到因此差分方程所代表的LTI系统传递函数为：7.6.1传递函数与差分方程的关系对分子和分母多项式分别分解因子可以得到零点和极点形式的传递函数。通过极点、零点、增益因子，可以得到另外一种描述系统特点的方法。ck和dk分别是系统的零点和极点，

=b0/a0是增益因子，三者完全确定了传递函数。注意，传递函数的极点就是常系数差分方程描述的LTI系统特征方程的根。§7.6传递函数例题与习题：例7.13（P556）系统识别例7.14（P557）求传递函数和冲激响应例7.15（P557）由传递函数还原差分方程作业：习题7.8（556），习题7.9（557）§7.6传递函数例题7.13§7.6传递函数例题7.13§7.6传递函数例题7.14§7.6传递函数例题7.15§7.7LTI系统因果性和稳定性与极点的关系由于是讨论系统本身的特性，需要由传递函数极点在z平面上位于|z|=1

的单位园内外的情况来研究系统冲激响应的相关特点。位于z

平面上单位园内外极点对应的冲激响应成分具有以下特点：当极点位于单位园内，即：|dk|＜1，n＞0，h[n]是指数衰减信号；n＜0，h[n]是指数增长信号。不受收敛域约束的任意部分分式对应的系统冲激响应h[n]为当极点位于单位园外，即：

|dk|＞1，n＞0，h[n]是指数增长信号；n＜0，h[n]是指数衰减信号。当极点位于单位园上，即：|dk|=1，h[n]是复正弦信号。§7.7LTI系统因果性和稳定性与极点的关系因果系统：当

n＜0时h[n]=0z平面Re{z}Im{z}×z平面Re{z}Im{z}×位于单位园内的极点（|dk|＜1）对应的冲激响应h[n]是指数衰减信号位于单位园外的极点（|dk|＞1）对应的冲激响应h[n]是指数增长信号§7.7LTI系统因果性和稳定性与极点的关系稳定系统：

h[n]必须绝对可和z平面Re{z}Im{z}×z平面Re{z}Im{z}×位于单位园内的极点（|dk|＜1）对应的冲激响应h[n]只能有右边信号位于单位园外的极点（|dk|＞1）对应的冲激响应h[n]只能有左边信号§7.7LTI系统因果性和稳定性与极点的关系稳定的因果系统：

h[n]必须绝对可和，且当

n＜0时

h[n]=0，因此所有极点必须全部位于单位园内，信号只能有右边信号z平面Re{z}Im{z}×××××7.7.1LTI系统的逆系统与零点的关系及冲激响应的特点h[n]hinv[n]x[n]y[n]x[n]逆系统的信号变换过程示意图逆系统的信号变换过程示的数学描述逆系统冲激响应与原系统冲激响应之间的关系逆系统传递函数与原系统传递函数之间的关系7.7.1LTI系统的逆系统与零点的关系及冲激响应的特点（第6节课，2014年12月8日，金工实习停课6周后第六次课讲到此。）

逆系统的传递函数具有有理传递函数H(z)的系统一定存在逆系统；逆系统的零点是原系统传递函数H(z)的极点；逆系统的极点是原系统传递函数H(z)的零点；逆系统的性质由原系统传递函数H(z)的零点决定，决定的方法与原系统方法相同。具有稳定因果逆系统的稳定因果系统，其传递函数H(z)的极点和零点都位于z

平面的单位园内；传递函数H(z)的全部极点和零点都位于z平面单位园内的系统称为最小相位系统，最小相位系统的幅度响应与相位响应之间具有惟一的关系，其相位响应由幅度响应惟一确定，反之亦然。§7.7传递函数例题与习题：例7.16（P560）例7.17（P560）例7.18（P562）例7.19（P562）作业：习题7.10（561），习题7.11（563）习题7.12（563），§7.7传递函数例题7.16§7.7传递函数例题7.16§7.7传递函数例题7.17§7.7传递函数例题7.18§7.7传递函数例题7.19§7.8LTI系统频率响应与极点和零点的关系LTI系统的频率响应是传递函数H(z)中z的取值限定在z平面单位园上时的情况，计算时是以

ejΩ替代

z而得到。因此要求传递函数的收敛域必须包含单位园。在传递函数中以z=ejΩ替代

z得到频率响应：在分子分母中同时乘以ejNΩ得到用ejΩ的正幂形式表示的频率响应：根据上式的特点，可以通过研究零点（ejΩ-

g）及极点1/(ejΩ-

g)的幅度和相位频率响应特性得到系统的频率特征。§7.8LTI系统频率响应与极点和零点的关系以

ejΩ代表单位园上的任意一点，则是从原点到单位园上ejΩ点的矢量，g是从原点到g点的矢量，（ejΩ-

g）是从g点到单位园上ejΩ点的矢量，这个矢量的长度是|ejΩ-

g

|。g位于单位园内外的情况如上图。可以通过研究（ejΩ-

g）随Ω的变化来研究系统的频率响应。0Re{z}Im{z}z平面ejΩejΩ-

gg