信号与系统 第4章 混合类型信号中傅里叶描述的应用

第四章混合类型信号中傅里叶描述的应用4.1 引言4.2-4.4建立4种信号FT表示，为各类信号的综合及运算提供前提4.2 周期信号的傅里叶变换4.3 周期与非周期信号的卷积和相乘4.4 离散时间信号的傅里叶描述4.5-4.6信号分析的基本原理：抽样及重构4.5 抽样4.6 由样本重构连续时间信号4.7-4.10实际应用4.7 连续时间信号的离散时间处理4.8 有限持续时间非周期信号的傅里叶级数表示4.9 用离散时间傅里叶级数近似傅里叶变换4.10 求DTFS的有效算法4.11Matlab探究4.12小结§4.1引言本章讨论不同信号傅里叶描述之间的联系与应用问题。在实际问题中，信号并不能严格地区分为第三章中的四种，往往是几种信号的综合或不同信号之间的运算，因此建立四种信号傅里叶描述之间联系，在实际应用中十分重要。建立周期信号的傅里叶级数与傅里叶变换之间的联系，会给信号的分析和应用带来很多方便。用DTFS表示FT、FS、DTFT，是用计算机进行信号处理的前提。以应用为目的，介绍信号的卷积、乘积、抽样、重构、FFT等问题。§4.2周期信号的傅里叶变换严格而言，周期信号可以用傅里叶级数展开，但不符合傅里叶变换条件，引进冲激函数可以建立傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系。4.2.1FT与FS的关系见P229~230例3.27、328利用复正弦信号的线性组合，及FT的线性特性，可得：FS周期信号4.2.1FT与FS的关系FS时域连续周期信号注意：X[k]是离散的，而X（jω）是连续的！FT例：图4.1，例4.1、4.2连续周期信号的FT对应的频域信号：——看做一个频移量为的冲激序列的加权叠加，各冲激信号的强度为，间隔为基频；——FT与FS的转换：的形状相同，FT中各冲激强度除以即得FS系数。4.2.2DTFT与DTFS的关系时域周期信号：DTFSDTFT周期函数！4.2.2DTFT与DTFS的关系小结：离散时域周期信号DTFSDTFT离散周期信号的DTFT对应的频域信号：——看做一个频移量为的冲激序列的加权叠加，各冲激信号的强度为，间隔为基频；——DTFT与DTFS的转换：的形状相同，FT中各冲激强度除以即得DTFS系数。例：图4.6，例4.3§4.3周期与非周期混合信号的卷积及相乘——解决周期与非周期混合信号（运算）问题：连续时域信号统一利用FT分析；离散时域信号统一利用DTFT分析。4.3.1.周期与非周期信号的卷积1、连续时域信号例4.4——利用冲激响应h(t)↔H(jω)实现频谱滤波。周期非周期2、离散时域信号：x[n]，y[n]是基频为Ω0的周期信号，h[n]是非周期信号。4.3.2

周期与非周期信号的相乘1、连续时域信号x(t)是基频为ω0的周期信号，g(t)是非周期信号。——FT对应频谱：是由G(jω)的频移模式的加权和所构成连续频谱；各频移模式的频移量为kω0

，权重为X[k]。利用冲激函数的筛选特性非周期信号例4.6：AM无线电（P336）——通信系统中的应用正弦调幅调制：频谱搬移解调三路信号解调优点：可实现多个消息的同时传输、频分复用（FDMA）。传输：独占频道，共享时间可能存在的问题：频谱混叠——载频信号（即周期信号）的基频（或频率间隔）过小，无法完全区分开调幅信号（即非周期信号）的各频移模式。2、离散时域信号x[n]是基频为Ω0的周期信号，z[n]是非周期信号。——DTFT对应频谱：是由的频移模式的加权和构成;各频移模式的频移量为kΩ0

，权重为X[k]。非周期信号§4.2、§4.3作业习题4.1（b）（P328）习题4.3（b）（c）（P331）习题4.4（a）（b）（P333）习题4.5（a）（P334）P339，例4.7：数据加窗效应~频谱混叠——时域周期信号：频移的冲激序列（频率间隔）——窗函数：决定数据记录长度（频谱宽度）§4.4离散时间信号的傅里叶变换1、连续时间频率与离散时间频率之间的关系：——离散时间频率相当于连续时间频率乘以抽样时间间隔。——FT用于分析连续与离散时间混合信号问题的实现。4.4.1FT与DTFT的关系(P341)任意离散时间信号x[n]DTFTFT例：图4.18，例4.8——利用冲激变换实现离散时间信号的连续时间描述4.4.2FT与DTFS的关系(P344)——实现离散时间周期信号的FT表示离散时间周期信号DTFSDTFT离散时间周期信号x[n]：尺度变换特性4.4.2FT与DTFS的关系离散时间周期信号DTFSDTFT§4.3、§4.4作业习题4.6（P338）习题4.7（P340）习题4.8（P343）§4.5-4.6抽样、由样本重构连续时间信号抽样是按一定规律（一般是按等时间间隔）地在某些离散时间点上提取原始时间信号值的操作，是进行数字信号处理必须的步骤。通过抽样可以使连续信号转变为离散信号而便于计算机处理，也可以使离散信号经过抽样达到一定的信号传输和处理要求，后者也称为二次抽样。我们已经建立了FT与FS、DTFS以及DTFT之间的关系，抽样信号既可以用FT进行分析，也可以通过DTFS方便地用计算机进行处理.一、抽样1、连续时间信号的抽样（§

4.5.1）离散时间信号的连续时间表示：注意与P104（2.9）式类比间隔抽样：冲激抽样：抽样信号表示为原始连续信号与冲激序列的乘积.时域冲激采样：——抽样函数或梳状函数频域：P328，例4.2:小结：连续时间信号的抽样频域：时域冲激抽样：由原始信号决定由抽样条件决定——时域对连续时间信号进行冲激抽样：原始连续时间信号与时移冲激序列的乘积。——相当于在频域将原始连续时间信号的FT频谱以为周期进行延拓，再加权叠加。2、可能存在的问题：原始频谱的各频移模式的交叠（“混叠”）例：图4.22要使抽样信号样本能够完全代表原始连续时间信号，必须要求能从中不失真的分离出，即要求在周期性延拓时各频移模式不能发生频谱的混叠。要求：1、必须是带限的，最高频率分量为；2、抽样频率：，即抽样周期。满足上述条件：抽样信号与原始连续时间信号的频谱存在一一对应关系。一个抽样信号x[n]可以对应多个不同的原始连续时间信号。同一个连续时间信号x(t)，当抽样间隔Ts不同时会得到不同的抽样离散时间信号。2、可能存在的问题：时域（唯一性问题）对于原始连续信号和抽样信号，为了满足二者从频域到时域变换的一一对应关系，抽样时需满足：如果X(jω)与x(t)是一对傅里叶变换对，X(jω)存在最大频率限制，即|ω|>ωm时X(jω)

=0；当抽样频率满足ωs>2ωm时，原来的信号x(t)由样本x(nTs)，n=±1，±2，…惟一确定.而——抽样时间的确定3、Nyquist

抽样定理（§4.6.1）4、抗混叠滤波—抽样（离散化）前的预处理在抽样前，一般需要对信号进行预处理，即一般是利用一个连续的低通或带通滤波器实现，称为抗混叠滤波器。目的：1、将无限带宽信号变为有限带宽信号；2、消除与待传输或待处理信号无关的信号；3、消除部分高频噪声。5、次抽样：离散时间信号的抽样（§4.5.2自学）其中次抽样：将原来离散信号的间隔由1变为q，即：作业习题4.10（P351）习题4.12（P356）二、由样本重构连续时间信号利用抽样信号可以重构原始连续信号，其中包含了连续时间和离散时间信号的混合问题，可利用FT变换在时域、频域分别进行处理。当满足一定条件时，原则上可以理想地从样本重构出原来的连续信号；但是这种理想重构在实际中是不可实现的，因此需要研究实际重构中待解决的问题和实际重构方法。（一）理想重构：频域滤波（§4.6.2）抽样信号的频率分布保证不发生混叠：频域滤波：恢复原始信号的频率分布低通滤波器：窗口函数（TS倍的通带增益）（一）理想重构：频率滤波傅里叶逆变换获得信号时域表示

sinc函数取代冲激序列的时移加权和可重构原始信号——理想带限插值法（二）实际重构：零阶保持技术（§4.6.3）实际上，理想重构在实际系统中都是不能实现的。实际工作中是用零阶保持方法取代理想重构，其相应的抽样技术为取样保持电路。利用零阶保持器件，在Ts秒的时间内保持x[n]的值，使输出信号xo

(t)仅在t=nTs处发生跃变，从而获得一个近似原连续时间信号的阶梯型信号输出。1、零阶保持技术2、利用FT进行零阶保持的时域分析零阶保持：表示为抽样间隔整数倍的矩形脉冲的时移加权和。输出：近似原连续时间信号的阶梯型信号可以证明：3、利用FT进行零阶保持的频域分析（由p227,例3.25可得）理想带限插值滤波器——零阶保持效应：导致抽样信号的频谱失真。包括线性相移、由的主瓣弯曲、旁瓣衰减等引起的失真。例：图4.394、零阶保持的补偿：反像滤波器为了可以恢复原始连续信号，要求在零阶保持系统后再级联一个系统，要求满足：（见P361-362，图4.39、4.40、4.41

）——反像滤波器可校正零阶保持抽样信号频谱的畸变，以及平滑时域信号的不连续阶梯。5、小结：抽样、重构理想重构实际重构：零阶保持+反像滤波器§4.7连续时间信号的离散时间处理一、对连续时间信号进行离散时间处理的系统处理三个环节的级联预处理抗混叠滤波器以间隔抽样零阶保持反像滤波器等效连续时间系统等效系统等效连续时间系统等效系统不出现混叠、只保留k=0的频移项：等效连续时间LTI系统的频率响应：考虑抗混叠和反像滤波器补偿抽样和重构的影响：理想情况下：C/D转换、D/C转换是互逆系统；等效连续时间系统的频率响应，就是离散时间系统频率响应在一个周期内的特性，只不过在频率上有一个尺度变换。仅带限信号、抽样频谱满足抽样定理的要求时，对连续时间信号进行离散时间处理的系统才能等效为一个LTI系统。频谱混叠的情况减轻的同时，可允许抗混叠滤波器的过渡带较宽，降低成本。同一个连续信号中抽取的离散数据量↑，离散时间系统进行处理的计算成本上升。二、过抽样（参见p366,图4.44）——高速率用于抽样和重构，低速率用于离散时间处理。三、改变离散时间信号的有效抽样率（自学）2、插值（上抽样）

——增大抽样率，并要求用某种方法得到信号样本间的值。离散时间序列——还原连续时间信号——重新抽样；低通离散时间滤波器做抗混叠的预处理——对离散时间信号进行次抽样（可避免引入重构带来的失真）。1、抽取（下抽样）——降低抽样率采用插值因子q的插值：通过q-1个零插到原始离散时间信号的每个样本之间，然后利用带通滤波器进行滤波而完成。§4.8有限持续时间非周期信号的傅里叶级数表示DTFS、FS周期信号的傅里叶表示用于有限持续时间非周期信号的表述1、DTFS与DTFT的关系有限持续时间非周期信号DTFTDTFS时域N周期延拓频率处抽样例：图4.52有限持续时间非周期信号的DTFS系数：——即为对其DTFT系数的频率采样，并被周期N的归一化。——对有限持续时间非周期信号的DTFT系数的频域抽样，效果即是在时域内对信号以为周期无限延拓。——频域、时域采样的性质完全对偶：一个域内信号的抽样，带来的效果是在另一个域内的对原始信号做周期性延拓。频域抽样对抽样间隔的要求：p373，例4.14——防止信号在时域上做周期延拓时发生混叠；——诠释了在构造一个“周期”时，对信号长度（时限）的要求：M往往零垫整至N。——N越大，的频率抽样间隔越密，可得到足够多的频谱细节，所得DTFS系数的形状与基底DTFT的形状越相似。2、FS与FT的关系

——关于有限持续时间非周期连续时间信号的讨论FSFT时域T周期延拓频率