物理光学第一章第六节-光波的傅立叶分析

贯穿本节的基本思想：

复杂光波分解为一组不同频率的单色光波的线性组合；将不同频率的单色光波线性叠加，获得任意复杂光波傅立叶分析方法法国数学家、物理学家三角级数创始人傅立叶提出

1748年,Euler弦振动研究1807年，研究热的传播与扩散现象1829年狄里赫利(Dirichlet)收敛条件拉格朗日(Lagrange)反对发表1822年，出版“热的分析理论”一书中首次公开研究成果傅立叶的两个主要贡献——周期信号可表示为谐波关系的正弦信号的加权和。非周期信号可用正弦信号的加权积分表示。发展简史：

Poisson、Guass等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。

FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。光波的傅里叶分析1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余弦曲线。3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一组单色波。非简谐周期性波的傅里叶级数表示具有空间周期λ的函数f(z)，可以表示成一些空间周期为λ的分数倍（即λ，λ/2，λ/3…）的简谐函数之和。其数学形式为所谓周期波就是在相邻的相等时间和空间内运动完全重复一次的波.利用傅里叶级数定理,对于空间角频率为k的复杂波f(z)，可以表示成许多空间角频率为k,2k,3k,…的不同振幅的单色波的叠加.An,Bn是某一空间角频率的单色波的振幅,表示该单色光波在复杂波中所占的比例.例：如图11-41空间周期为λ的矩形波，在一个周期内它可用如下函数表示：f(z)为奇数即f(z)=-f(-z)：则A0=0，An=0λ/2λ-λ/2zf(z)+1-10图11-41得到B1=4/π，B2=0，B3=4/(3π)，B4=0，B5=4/(5π)，…该矩形波的傅里叶级数为：其中第一项成为基波，它的空间角频率为k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率m/λ(m≥2)是谐频]。将上式展开,得通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶分析的结果。周期性复杂波的频谱是离散频谱。k振幅4/π4/3π4/5π4/7πk3k5k7k傅里叶级数也可以表示为复数形式:其中系数显然式(4)级数中的每一项也都可以看成为一个单色波,所以式(4)式的意义仍然可以理解为周期性复杂波的分解.非周期性波不是无限次的重复它的波形,而是只存在于一定的有限范围之内。此时，由于其周期为无穷大，λ→∞，则傅里叶级数→傅里叶积分：其中：称A(k)为函数f(z)的傅里叶变换(频谱)。傅里叶积分可理解为一个波包可以分解成无穷多个单色波.非周期性波的傅里叶积分表示Ka/2x下面以矩形脉冲非周期函数(如矩形脉冲电信号或平面光波通过一细缝后的复振幅分布)为例,求取它的傅里叶变换及频谱图.矩形脉冲函数可表示为它的频谱函数为矩形脉冲非周期函数的频谱是连续谱.波列：一定长度范围内振幅和空间角频率为常数的波。若选波列的中点为坐标原点，它的函数形式可写为：振幅2LA0实际光源发出的光波的分析它的傅里叶分解频谱为：（振幅函数）其强度函数：（略去常数因子）I(k)10k0k0-π/Lk0+π/Lπ/Lk其空间频谱图是一条连续曲线强度的第一零值点出现在：则可取波列长度反比于频谱宽度

作为有效空间角频率范围，认为波列包含的诸分波的空间角频率处于这一范围内，由k=2π/λ，则用波长范围表示为：

由上两式可知,波列长度2L越长,则波列所包含的单色光波的波长范围或有效空间频率范围就越窄,实际光源发出的光波的单色性就越好;反之,就越窄,其单色性就越差;当波列长度等于无穷大时,和等于零,就得到单色光波.实际上,由于原子间碰撞,引起发射谱线增宽,大多只能获得准单色光,即波长宽度与中心波长之比的光波.若波列的持续时间Δt的大小与波列长度2L对应，的宽窄与对应时，波列所包含的单色波的频率范围为