第一章集合与常用逻辑用语

第一课时集合的概念与集合间相互关系第一章集合与常用逻辑用语考纲要求1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.知识梳理一、集合的含义与表示1．集合的含义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做________(简称为集)．2．元素与集合的关系：集合中元素与集合的关系有属于与不属于两种，分别用符号________和________来表示．3．集合中元素的三个特征(1)确定性：按照明确的判断标准给定一个元素________，二者必具其一，不能模棱两可．(2)互异性：集合中的元素________．(3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间_______．4．集合的表示(1)________；(2)________；(3)________．5.常用数集的符号表示(1)空集：________；(2)正整数集：________；(3)自然数集：________；(4)整数集：________；(5)有理数集：________；(6)实数集：________；(7)复数集：________.答案：1.集合2.∈∉3.(1)或者在这个集合里，或者不在(2)各不相同，不允许重复(3)无先后次序之分4.(1)列举法(2)描述法(3)Venn图法5.(1)∅(2)N＋(或N*)(3)N(4)Z(5)Q(6)R(7)C二、集合间的基本关系1．子集：对于两个集合A、B，如果集合A的________，称集合A为集合B的子集．记作________，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A⊆B，如右图所示．2．真子集：如果集合A⊆B，但________，我们称集合A是集合B的真子集，记作：________.3．集合相等：如果_______(A⊆B)且_______(B⊆A)，此时集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与B相等．记作：A＝B.4．空集：________叫空集．记作________.规定：∅是任何集合的________，是任何非空集合的________．答案：1.任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B(或B⊇A)2．存在元素x∈B，且x∉A

AB或BA3.集合A是集合B的子集集合B是集合A的子集4.不含任何元素的集合∅子集真子集三、集合的分类1．________；2．________；3．________.答案：1.有限集2.无限集3.空集四、有限集的子集数的求法设有限集合A的元素个数为n,则：1．A的子集个数为________；2．A的真子集个数为________；3．A的非空子集个数为________；4．A的非空真子集个数为________．答案：1.2n2.2n－13.2n－14.2n－2基础自测1．(2011年南海一中摸底考试)下列四个集合中，为空集的是()A．{x|x＋1＝1}B．{x∈R|x2≤0}C．{x|x2＜x}D．{x∈R|x2＋1＝0}解析：对于方程x2＋1＝0，因为Δ＝－4＜0，所以方程x2＋1＝0无实数根，即集合{x∈R|x2＋1＝0}是空集．故选D.答案：D2．(2010年福州模拟)已知集合M＝{x|x2－4＜0}，N＝，则下列关系中正确的是()A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝∅解析：化简得，M＝(－2,2)，N＝(0,2)，∴NM，故选C.答案：C3．给出如下关系式①a⊆{a，b}，②a∈{a，b}，③∅∈{a}，④∅⊆{a}，⑤{a}⊆{a，b}，⑥{a}⊆{a}，其中正确的是__________．②④⑤⑥4．(2011年佛山一中检测)已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若BA，则实数m的取值的集合是________．解析：化简得A＝，当m＝0时，B＝∅，有BA，符合题意；当m≠0时，由mx－1＝0得x＝，因为BA，所以＝－1或＝3，解得m＝－1或m＝.故实数m的取值的集合是.答案：

(2011年厦门模拟)设a，b∈R，现有三个实数的集合，既可以表示为{1，a＋b，a}，也可以表示为，则b2012－a2011＝()A．1B．－1C．2D．－2思路分析：由两集合相等知0∈{1，a＋b，a}且a≠0得a＋b＝0，且b＝1.解析：∵a，b∈R，由题意知集合{1，a＋b，a}＝，又∵a≠0，∴，∴a＝－1，则b2012－a2011＝2，故选C.答案：C变式探究1.(2010年广东实验中学模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P※Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P※Q中元素的个数是()A．9B．8C．7D．6解析：因为集合P※Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q},且P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}所以得P※Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P※Q中元素的个数是8，所以选B.答案：B已知集合A＝，B＝，C＝，D＝，E＝，则()A．A＝BB．B＝CC．C＝ED．B＝E解析：集合A是用列举法表示，它只含有一个元素，即函数y＝x2＋2，集合B、C、E中的元素都是数，即这三个集合都是数集，集合B表示的是函数y＝x2＋2的值域，集合C表示的是函数y＝x2＋2的定义域R，集合E是不等式x－2≥0的解集，集合D的元素是平面上的点，此集合是函数y＝x2＋2的图象上所有点所组成的集合．故只有B＝E，故选D.答案：D点评：解集合问题时，对集合元素的准确识别十分重要，不允许有半点差错，否则将导致解题的失败．变式探究2．设集合A＝

，B＝.则用列举法表示A＝________，B＝________.x∈N∈N∈Nx∈N解析：因为9的正约数只有3个：1,3,9.要使∈N，当且仅当9－x＝1,3,9.即x＝8,6,0.从而A＝{0,6,8},B＝{1,3,9}．答案：{0,6,8}{1,3,9}设集合A＝{x|10＋3x－x2≥0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解析：

化简，得A＝[－2,5]，(1)若B＝∅时，得m＋1＞2m－1，解得m<2，符合B⊆A；(2)若B≠∅时，m满足即2≤m≤3时，有B⊆A.故当m≤3时，B⊆A.点评：集合间的包含、相等关系，关键搞清A、B两集合谁是谁的子集，若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是∅的情况，同样若A⊆B，说明A是B的子集，此时注意B是不是∅.若A＝B说明两集合元素完全相同．变式探究3．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．解析：化简，得A＝[－2,5],(1)若A＝B，则必有,解得m∈∅，即不存在实数m使得A＝B.(2)若A⊆B，则依题意应有，解得，故3≤m≤4.所以m的取值范围为[3,4].1．对集合的准确识别：集合有三种表示法：列举法，描述法，图示法．解题时，对集合的准确识别很关键，关键是要特别注意代表元素是什么，如果性质相同，但代表元素不同，所表示的集合也不一样．2．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意把握与运用，例如在解决含参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．3．任何集合是它自身的子集，空集是任何集合的子集．同学们在考虑集合之间的包含关系时容易遗漏空集“∅”．要特别注意：“∅是任何集合的子集”，不少同学在解题时常忽略这一点，造成解题结果不全面．4．正确区分∅，{∅},0，{0}在∅∈{∅}，∅{∅}表述方法中，∅∈{∅}，此时∅作为元素，而{∅}则为以∅为元素的集合；∅{∅}中∅和{∅}均作为集合来理解，这样就符合空集是任何非空集合的真子集这一事实．同时不要把数0或集合{0}与空集∅混淆，数0不是集合，{0}是含有一个元素0的集合，而∅是不含任何元素的集合，更不要把空集错误的写成{空集}或{∅}．5．解题时要注意空集的情形，防止因漏掉空集而导致解题的失误.6．集合中如果含有参数，多根据集合元素的互异性来处理，要注意对参数进行分类讨论，并对结果加以检验．1．(2009年广东卷)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0,1}和N＝关系的韦恩(Venn)图是()解析：由N＝，得N＝{－1,0}，则N

M，故选B.答案：B2．(2010年四川卷)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭