激光原理与技术：第4讲 光线稳定条件、类透镜介质中的光线方程与波动方程

激光原理与技术·原理部分第4讲光线稳定条件类透镜介质中的光线方程与波动方程4.1透镜波导光线稳定条件透镜波导:由焦距为f1和f2的透镜相互间隔d周期性排列而成，称为双周期透镜波导。f1f2SS+1MNf1d同理，从N面到S面的光线传播情况4.1透镜波导光线稳定条件从S面到N面的光线传播情况4.1透镜波导光线稳定条件综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式可得到递推关系4.1透镜波导光线稳定条件该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程，等价于微分方程：该方程具有的解，用作为试探解对差分方程进行试探，可得到：4.1透镜波导光线稳定条件4.1透镜波导光线稳定条件双周期透镜波导的光线稳定条件当θ为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡；即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生溢出。θ为实数等价于|b|≤1，即：由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为相同周期透镜波导，即f1=f2=f；相同周期透镜波导的稳定条件为：4.1球面反射镜腔光线稳定条件光线在球面反射镜之间的传播根据光线传播矩阵可以写出第2次反射后的光线状态为：4.1球面反射镜腔光线稳定条件在腔内经过N次往返之后的光线参数为：

其中Tn为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出： 其中：

从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。4.1球面反射镜腔光线稳定条件由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个焦距为F=R/2的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个焦距分别为R1/2和R2/2，距离为L的透镜构成的双周期透镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反射镜系统的稳定条件：1.薄透镜的聚焦机理一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位变换器。离轴距离为r的相位提前量为经过透镜后的光场4.2类透镜介质4.2类透镜介质2.类透镜介质折射率满足的介质称为类透镜介质。其中η0为介质轴线上的折射率；k0是轴线上的波数；k2是与介质、工作状态以及外界泵浦能量有关的常数。在Nd：YAG固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工作物质内部沿径向产生温度分布：在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。3.光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播程函(eikonal)方程：光线的传播方向，就是程函

变化最快的方向在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方程），其中为光线上某点到另外一点的长度，而是该点的位置矢量

：（1）均匀介质解方程得：上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着的方向并通过点，因此，在均匀通行介质中，光线是直线传播的4.3光线的传播：光线方程4.3光线的传播：光线方程（2）类透镜介质当考虑近轴光线近似光线方程可以写成：在二次折射率介质中，由于η(x,y)没有轴向分布，只有径向分布，因此，而由类透镜介质的折射率表达式可得到：x,y都是独立变量，因此有：为了简化讨论，取y-z平面上的光线讨论，并以r代替y，得到近轴光线的微分方程（1）k2>0

微分方程的解为若考虑光线入射初始条件为，则可以求出，因此微分方程的解可以写成：4.3光线的传播：光线方程如右图的曲线可以代表在类透镜介质中传播的光线，只是在幅度上作了夸大。从该方程可以得出结论：当k2>0时，类透镜介质对光线起汇聚作用，相当于正透镜。4.3光线的传播：光线方程(2)k2<0当k2<0时，光线微分方程的解可以表示为： 从方程可以得出结论，随着z的不断增加，r(z)不断增大，当，因此k2<0的类透镜介质对光线具有发散性，类似于负透镜的作用。练习：证明2-1-39式4.4光束的传播：波动方程类透镜介质中的波动方程在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：对2式求旋度：且由3式：在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即综合上三式可以得到假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：代入(4)式波动方程也称亥姆霍兹方程4.4光束的传播：波动方程当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当代表吸收介质，代表增益介质上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特性k2都有关系。由波数的定义：可以得到n(r)的表达式：的情况该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我们考虑的k(r)表达式代表的正是在类透镜介质中的情况。级数展开4.4光束的传播：波动方程下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与有关，因此波动方程中的算符可以表示为：我们假设，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：其中e-ikz表示波数为k的严格平面波；4.4光束的传播：波动方程为了研究修正平面波，我们引入了修正因子，它包含了相位和振幅修正两部分。该修正因子满足慢变近似：将这些相关假设带入波动方程可以得到：