空间向量解决立体几何问题的六大题型

空间向量解决立体几何问题的六大题型 知识要点1、点到直线的距离已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.3、用向量运算求两条直线所成角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则①②.4、用向量运算求直线与平面所成角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①②.（注意此公式中最后的形式是：）5、用向量运算求平面与平面的夹角如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分别为面，的法向量①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则；题型一：利用空间向量求点线距典型例题例题1．（2022·江苏徐州·高二期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B解：点，直线过点，且一个方向向量为，，所以直线的一个单位方向向量，点到直线的距离为．故选：．例题2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．【答案】由题意，点和，可得，且，所以点到直线的距离是.故答案为：.例题3．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为_______.【答案】##在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因点P在线段上，则，，，向量在向量上投影长为，而，则点Р到直线的距离，当且仅当时取“=”，所以点Р到直线的距离的最小值为.故答案为：同类题型归类练1．（2022·河北沧州·高二期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．6【答案】C由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.2．（2022·天津·静海一中高二期末）已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为(

)A． B． C． D．【答案】B由题意，，，，，，到直线的距离为.故选：B.3．（2022·福建省同安第一中学高二阶段练习）已知，，，则点C到直线AB的距离为（

）A．3 B． C． D．【答案】D因为，，所以．设点C到直线AB的距离为d，则故选：D4．（2022·山东滨州·高二期末）已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D，0，，，1，，，，，，在上的投影为，则点到直线的距离为.故选：D．题型二：利用空间向量求点面距典型例题例题1．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.【答案】##由题可得，又是平面的一个法向量，∴则点P到平面的距离为.故答案为：.例题2．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则________.【答案】-1或-11##-11或-1由题意，由空间中点到面距离的向量公式，即，解得或－11.故答案为：-1或-11同类题型归类练1．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面的距离为______．【答案】1以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量，则有，令得：，故，其中，则点A到平面的距离为故答案为：12．（2022·广东·高二阶段练习）在直三棱柱中，，，E，F分别为棱、的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为______．【答案】解法一：以为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，∴点G到平面的距离为：．解法二：∵，∴平面，点G到平面的距离等于点到平面的距离，易证平面平面，在中，设点到的距离为d，则，∴，∴．故答案为：3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末）在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点A到平面的距离为___________.【答案】以D点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），，，所以，，.设平面的一个法向量为，则即,令，得，.所以.所以点A到平面的距离为.故答案为：.4．（2022·全国·高二期末）如图，已知长方体中，，，则点到平面的距离为__________．【答案】以为坐标原点的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则.设，则，，设平面的法向量为,则,，即，所以，可取.又，点到平面的距离为，即点到平面的距离为.故答案为：.题型三：转化与化归思想在求空间距离中的应用典型例题例题1．（2022·湖南·高二课时练习）在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离．【答案】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，，，则，因为、不在同一条直线上，则，平面，平面，则平面，同理可证平面，，故平面平面，设平面的法向量为，，，由，取，可得，又因为，因此，平面与平面之间的距离为.例题2．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，棱长为4，求平面与平面之间的距离．【答案】．以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，又，，所以平面MNA与平面EFBD之间的距离．同类题型归类练1．（2022·江苏·高二课时练习）已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D由正方体的性质，∥,∥，，，易得平面平面，则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，．连接，由，，且，可知平面，得平面的一个法向量为，则两平面间的距离．故选：D2．（2022·全国·高二）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为A． B．C． D．【答案】B建立如图所示的直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则，即，解得，故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离．3．（2022·全国·高二课时练习）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是A． B． C． D．【答案】B两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B.4．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是________.【答案】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，可得，因为，平面与平面不重合，故平面平面，，所以，平面与平面间的距离为.故答案为：.题型四：利用向量方法求两异面直线所成角典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A．B．C． D．【答案】D解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，∵E是BC的中点，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，所以，，则，∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．(1)求的长；(2)直线与所成角的余弦值．【答案】(1)(2)(1)由题意，，，，．(2)，，，所以，所以直线与所成角的余弦值为．例题3．（2022·江苏盐城·高一期末）在四棱锥中，已知底面是菱形，，，，若点为菱形的内切圆上一点，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.【答案】设，连接，四边形为菱形，为中点，，，，，又，平面，平面；又，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，四边形为菱形，为四边形各内角的平分线，即为四边形的内切圆圆心，四边形内切圆的半径；，，；，，，设，，，，（其中），，，即异面直线与所成角的余弦值的取值范围为.故答案为：.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，则，，设异面直线PN和BM所成角为，则.故选：B.2．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点，则和所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A取的中点，连接，设，因为是边长为的等边三角形，则，因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，，因此，和所成角的余弦值为.故选：A.3．（2022·江苏省镇江中学高二期末）在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.【答案】因为，所以.因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.故答案为：4．（2022·湖南岳阳·高二期末）如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，；(1)求证：直线面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：取的中点P，连因为分别为的中点，所以且，又在直三棱柱中，且，所以且.所以四边形为平行四边形，所以因为平面平面，所以直线平面；(2)解在直三棱柱中平面，所以，又侧面侧面，平面平面，所以平面，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，所以；所以．所以异面直线MC1与BN所成角的余弦值为．5．（2022·浙江·效实中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点(1)求证：面；(2)求异面直线与所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：由面建立如图所示的直角坐标系，以A点为坐标原点，分别以，垂直于AD以及为方向建立轴，如图所示:由底面是等腰梯形以及可知：，，，又由点为线段中点，可知，，设为平面的法向量，故可知：，解得令，可知平面的法向量一个法向量为：根据线面平行的向量法判断法则可知面(2)解：由题意得：由（1）分析可知，可知向量互相垂直，故异面直线与所成角的大小为题型五：利用向量方法求直线与平面所成角典型例题例题1．（2022·福建龙岩·高二期中）如图，正三棱柱的所有棱长都相等，，，分别为，，的中点，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A设正三棱柱的棱长为2，取的中点，连接，，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，设平面的法向量为，则，取，则，，故为平面的一个法向量，EF与平面所成角为，则EF与平面所成角的正弦值为，故选：A．例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，设与平面所成角的正弦值为_______．【答案】如图，以D为坐标原点，DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,故,设平面PAC的一个法向量为，则，取，可得，故设PG与平面PAC所成角为，则,故答案为：例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当______时，直线与平面所成角的正弦值为.【答案】1解：以为坐标原点，分别为，，轴建立空间直角坐标系．所以，所以．设平面的法向量，所以所以，所以平面的一个法向量，设，所以，所以，解得或（舍，所以．因为，所以故答案为：1同类题型归类练1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A解：如图所示，连接，相交于点，连接．平行六面体中，且，不妨令，，都是等边三角形．是等边三角形．，，，平面平面，平面，平面平面，是与底面所成角．因为，，所以．如图建立空间直角坐标系，则，，，，其中的坐标计算如下，过作交于点，因为，，所以，所以，，因为所以，所以，显然平面的法向量为，设与底面所成的角为，则故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A． B．C． D．【答案】A解：设正三棱柱的棱长为2，取的中点，连接，，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，0，，，，0，，，，，，．设平面的法向量为，则，取，则，，故为平面的一个法向量，所以，所以与平面所成角的正弦值为．故选：A．3．（2022·上海中学高一期末）在正方体中，棱与平面所成角的余弦值为__________．【答案】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1，，则，设平面，，则，所以，棱与平面所成角为，所以，则.故答案为：.4．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，以下命题正确的是___________.（填序号）①；②平面；③与是异面直线且夹角为；④与平面所成的角为；⑤二面角的大小为.【答案】①②③⑤解：由正方体的平面展开图可得正方体（其中与重合），如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，，所以，，所以，所以，故①正确；，，所以，，即，，，平面，所以平面，即②正确；，显然与是异面直线，设与所成角为，则，因为，所以，故③正确；，平面的法向量可以为，设与平面所成的角为，所以，故④错误；，，设平面的法向量为，则，令，所以，设二面角为，显然二面角为锐二面角，则，所以，故⑤正确；故答案为：①②③⑤5．（2022·浙江·高三期末）如图，已知菱形，，沿直线将翻折成，分别为的中点，与平面所成角的正弦值为，为线段上一点（含端点），则与平面所成角的正弦值的最大值为___________.【答案】解：设顶点在平面内的射影为点，因为与平面所成角的正弦值为，，所以，因为，所以，又因为，所以，如图1，在平面中，为等边三角形，≌，所以平分，即，所以在中，，解得，（舍），所以点为的中心，故三棱锥是棱长为的正四面体，故如图2，以中点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标则，设，则，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，因为，设与平面所成角为，所以，令，则，因为函数在上单调递增，所以在上单调递减，所以当时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为故答案为：题型六：利用向量方法求两个平面的夹角典型例题例题1．（2022·四川省绵阳普明中学高二阶段练习（文））二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C由条件，知．，，即，所以二面角的大小为故选：C．例题2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.【答案】##设，则平面平面，由重心的性质可得，因为底面，，设，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，，设平面，的法向量为，则，，所以，由图可知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为，正弦值为.故答案为：例题3．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面中，，侧面平面，且，点在棱上，且．则二面角的余弦值为____________【答案】．如图，取的中点，连接，．由条件可知，，两两垂直，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为，所以．所以，，，设平面的法向量为，则即令，则．设平面的法向量为，则即令，则=，，结合图象可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．故答案为：同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）在一个二面角的两个半平面上，与二面角的棱垂直的两个向量分别为、，则这个二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．或【答案】D解：在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为，，，，2，，则这两个