第11章振动与波动之1机械振动wzj

第四篇振动与波动OscillationsandWaves第四篇振动与波动OscillationsandWaves第一部分机械振动第二部分机械波第三部分电磁振荡与电磁波第11章振动与波动OscillationsandWaves第1节谐振动第3节阻尼振动、受迫振动与共振第2节振动的合成和分解第4节非线性振动与相图法第5节机械波第6节声波地震波第7节波的衍射和波的干涉第8节多普勒效应第9节电磁振荡与电磁波(重点1)(重点2)(重点3)(自学)第11章振动与波动第一部分机械振动

一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。力学量（如位移）机械振动电磁振动最基本、最简单、最重要的振动是简谐振动。电磁量（如i、u、E、B）问：广义地说什么是振动？振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的一种基本运动形式。第一节谐振动SimpleHarmonicMotionxokx运动学特征一、谐振动特征mgNF动力学特征

由微分方程特征

x可代表任意物理量m以弹簧振子为例得出普遍结论：回复力二、谐振动规律速度加速度位移振动方程vtxa解可得三、描述谐振动的基本量由A,,.由系统性质决定（故称固有频率）。由初始条件决定。（重点！）由初始条件决定。位相为

称初位相。，

角频率（2秒内振动的次数)。位相（决定振动状态的物理量）。振幅（最大位移的绝对值）。势能动能总能守恒！四、谐振动的能量，位移，速度设得简谐振动问题类型：（1）证明为简谐振动，并求周期？（2）写出振动方程？已知：M,m,h,k.

例1.（1）证明物m从静止落下与板粘在一起后作简谐振动，并求周期。（2）当物m与板相碰时作为记时起点，写出振动方程。解：（1）首先选一坐标系，原点放在受力平衡处。hmMkLxoxFFPP任意处分析受力：LhmMkoxxFFPP为简谐振动由为简谐振动得即其中任意处分析受力：合力=？hmMkLoxxFFPP（2）（注意正负号！）振动方程为代入公式得讨论：若轴向上为正，写方程有那些变化？x取第3象限值取第1象限值oxx

例2.

两轮的轴互相平行，相距2d,两轮转速相同而方向相反，将质量为

m

的一匀质薄板搁在两轮上，板与轮的摩檫系数为

，若板的质心C起初距一轮较近（如图所示）试证明板作简谐振动，并求周期。双轮的谐振动证明：建立坐标系如图，研究对象：板mg

N1

N2

f1

f2板受力：选过O点的直线为转轴是简谐振动！例3.

单摆长（1）证明小角度摆动为简谐振动，并求周期。

（2）若将摆拉至最大角度放手为计时起点，写出振动方程。解：（1）摆沿圆弧运动，只需分析任意角位移处切向力：切向力大小(小角度….)考虑方向（线性振动）（非线性振动混沌）单摆简谐振动！又即角振幅初角位移，初角速度？（2）振动方程取值范围[0，2)或(

，]之间。哪一个是的正确值？故应取初位相振动方程物理之美-单摆系四、旋转矢量表示法注意各量对应关系！矢量图矢量图表达用旋转矢量很容易求出简谐振动的位相和初位相例4.

已知位相，求状态.如：位相，问状态？,且向x负向运动.，且向x正向运动.位相，问状态？如：o例5.

已知状态求位相（特别是初位相）求初相？如：或o注意四个特殊状态的值！求初相？如：例6.

已知简谐振动A=10cm，T=2s,当t=0时位移为x=5cm，且向x负向运动。

求（1）振动方程。

（2）x=5cm，且向x正向运动时的速度、加速度及从这一位置回到平衡位置的最小时间。解:

(1)由旋转矢量，得（2）先求，由旋转矢量法（半个周期）o由旋转矢量法（用解析法也可求出！）例7.

已知x-t曲线,写出振动方程,并求它们的位相差？x解：或或1º位相差反映了两振动达到同一状态有时间差讨论：利用曲线2x2º若不给A=0.2m，如何求出A？第2节振动的合成和分解一、两同方向同频率的简谐振动的合成分振动:x1=A1cos(t+

1)x2=A2cos(t+

2)合振动:x=x1+x2x

=A

cos(t+

)合振动是简谐振动,其频率仍为，其中由矢量合成法，x可得CombinationofSimpleHarmonicMotions讨论：两种特殊情况1º若两分振动同相

21=2k(k=0,1,2,…)

2º若两分振动反相

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)如A1=A2,则A=0则，合振幅最大。则，合振幅最小。例8.

N个同方向同频率的简谐振动的合成用矢量合成法多边形法则设它们的振幅都为a，初位相依次相差一个，其表达式为：作外接圆，先求半经R及圆心角由等腰三角形可知圆心角，则由三角形外角等于不相邻内角之和，得合振动仍为同频率的简谐振动。二、两同方向不同频率(相差较小)的简谐振动的合成演示：两音叉合振幅时强时弱的现象称为拍演示：拍现象合振动x=x1+

x2设分振动

x1=Acos1tx2=Acos2t用合振动特点：（1）合振动频率（2）合振幅在0--2A之间随

t

周期性变化，时强时弱，不是谐振动。合振幅在单位时间内加强（或减弱）的次数称拍频。拍频则拍圆频率为A(t)圆频率的2倍，即（1）乐音调准。混频中放功放本机振荡中频（拍频）（2）超外差收音机利用电磁振动的拍现象。拍的利用电台三、两同频率垂直振动的合成直线椭圆方程，形状决定于及、。分振动消去t

，得合运动轨迹方程：（1、3象限）（2、4象限）正椭圆或圆为其它值斜椭圆=21在0--之间为右旋右旋左旋椭圆合成=21在--2之间为左旋演示：激光垂直合成为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆

四、不同频率垂直方向简谐振动的合成

称为李萨如图形。如：

两振动的频率成整数比时，合成轨迹稳定，一般轨迹曲线复杂，且不稳定。由切点数之比可测频率。李萨如图形yxxyNN=ww五、谐振分析(SpectralAnalysis)2.振动的分解(合成的逆过程):任一角频率为的振动都可以分解为一系列简谐振动，这些振动的角频率分别为(基频)、2(二倍频)、3(三倍频)…即:

x(t)=b0+b1cost+c1sint+b2cos2t+c2sin2t+…叫做复杂振动的傅里叶级数.式中b0、b1、c1、

b2、c2、…均为常数,表示相应简谐振动在合振动所占的相对大小.1.付里叶理论(FourierTheory):

任何一个复杂的周期性振动,都可以分解为一系列的SHM,每个分振动的频率都是合振动频率的整数倍.基频(fundamentalfrequency):分=合倍频或n次谐频(harmonicfrequency):分=n合3.锯齿波(扫描信号)的傅里叶级数展开式:4.频谱分析(SpectralAnalysis)

将一个复杂的周期性振动的分振动的角频率为横坐标，振幅为纵坐标，按顺序表示为频谱图，称为频谱分析。在听觉、噪声、心电和脑电中的应用.右上图是锯齿波的频谱(frequencyspectrum)脉博振动图形及其频谱图中显示了一位学生在安静条件下的脉博图形及其频谱阻尼振动受迫振