光的衍射基础

光的衍射光的衍射第二章diffractionoflightchapter22023/2/61§2.1惠更斯-菲涅耳原理2.1.1光的衍射现象衍射是光在空间或物质中传播的基本方式，也是讨论现代光学问题的基础AB缝较大时，光是直线传播的缝很小时，衍射现象明显2023/2/62光的衍射：光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，叫做光的衍射。圆孔衍射*指缝衍射剃须刀片衍射2023/2/63波直线传播的现象：机械波、声波、微波、电磁波、光波等衍射现象出现的条件：主要取决于障碍物的线度和波长大小的对比。只有在障碍物的线度和波长可以比拟时，衍射现象才能明显地表现出来。当障碍物的线度比波长大时，可看作直线传播。可见光波长(390-760nm)，障碍物或孔隙的线度通常远大于光波长，通常显示光的直线传播现象声波波长几十米；无线电波几百米；超声波、微波波长几毫米2023/2/64衍射屏(障碍物)入射光波衍射图样观察屏2023/2/652.1.2惠更斯原理波面：波在传播时，同位相各点的位置是一个等相面，叫做波面。惠更斯原理：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面惠更斯(1629—1695)，荷兰物理学家112023/2/66t0=0时刻，波面为SS’，经t1时间后，次波传播的距离为r=vt1。各次波在t1时刻的包络面S1S1′就是时刻t1的波面。成功：解释光的直线传播、解释光的反射、折射和双折射现象，预料光的衍射现象的存在缺陷：不能确定沿衍射光方向传播的振动的振幅。无法进行定量计算。惠更斯原理是近代光学的一个重要基本理论。2023/2/67[例]用Huygens原理作图证明折射定律

2023/2/682.1.3惠更斯-菲涅耳原理波面S上每个面积元dS都可以看成新的波源，它们均发出次波。波面前方空间某一点P的振动可以由S面上所有面积元所发出的次波在该点叠加后的合振幅表示。菲涅耳对惠更斯原理的改进:补充了描述次波的基本特征——相位和振幅的定量表达式，并增加了“次波相干叠加”的原理，发展成为惠更斯-菲涅耳原理。：波面上面元(子波波源)：时刻波面*2023/2/69面积元dS所发出的各次波的振幅和相位符合下列四个假设：波面是等相位面，dS面上各点所发出的所有次波都有相同的初相位（φ0=0）次波在P处的振幅与r成反比，表明次波是球面波。次波在P处的振幅正比于dS的面积，且随θ的增大而减小。次波在P点的相位，由光程nr决定。*2023/2/610面积元dS发出的次波在P点的合振动可表示为：或如果波面上的振幅有一定的分布(不同点的振幅不同)，分布函数为A(Q)，则波面在P点所产生的振动为：Q点在P点引起的振幅倾斜因子，θ增大而缓慢减小次波中心附近的小面元次波中心Q的振幅··PdE(p)rQdSS(波面)设初相为零n次波中心观察点比例常数2023/2/611所有面积元在P点的合作用，为波面S在P点所产生的合振动直接利用以上公式进行定量计算比较困难，通常采用振幅矢量叠加法。核心思想：子波相干叠加的思想对于单色光，可写成复数形式菲涅耳衍射积分公式P点处波的强度：2023/2/612衍射的分类

菲涅耳衍射

夫琅禾费衍射光源—障碍物—接收屏距离为有限远(近场衍射)光源—障碍物—接收屏距离为无限远(远场衍射)光源

障碍物

接收屏光源障碍物

接收屏

处理方法菲涅耳半波带法近场衍射。对称的孔、阑等菲涅耳积分法远场衍射。单缝、直边、矩孔等

2023/2/613夫琅禾费衍射缝光源、屏与缝相距无限远在实验中实现夫琅禾费衍射菲涅尔衍射缝光源、屏与缝相距有限远2023/2/614§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射2.2.1菲涅耳半波带O为点光源，S为任一时刻的波面（球面），R为波面半径，P为光波对称轴上一点，PB0=r0，设想将波面分为许多环形条带，使相邻带的相应边缘到P点的距离相差半波长，即任何相邻的两带的对应部分所发出的次波到达P点的光程差为λ/2，即它们同时到达P点时，相位差为，这样分成的环形带叫菲涅耳半波带如何判断P点的明暗？2023/2/615点光源与观察点P的连线与波面S的交点：极点极点到观察点的距离：r0以P为球心，分别以r0+l/2、r0

+l、r0

+3l/2……为半径作球面这些球面将透过小孔的波面截成若干波带，使得每相邻两个波带的边缘点到P点的光程差等于半个波长。菲涅耳半波带的特点:相邻波带的对应部分在P点引起的振动相位相差，故在P点产生相消干涉2023/2/616在P点处看到圆孔中露出的波带2023/2/6172.2.2合振幅的计算假设：①同一波带各处到P点的距离相等②同一波带各处正法向与该部分到P点连线的夹角相等则：(1)同一波带内各处在P点产生的光振动具有相同的振幅和相位(2)任一波带在P点产的光振动的相位依次为f1，f1+p，f1+2p，f1+3p，…f1+(k-1)p，f1+kp。

2023/2/618

以a1、a2、a3、、、、、ak分别表示各半波带发出的次波在P点所产生的振幅，相邻两个半波带所发出的次波到达P点时相位差为，所以k个半波带所发出的次波在P点叠加的合振幅Ak对于轴上点光源和轴上场点P

，设圆孔恰好分为k个半波带2023/2/619第k个半波带所发次波到达P点的振幅为R0r0BShRhkrop计算分式dS看作半波带面积球冠面积余弦定理微分与k无关2023/2/620随θ增加而缓慢减小影响大小的因素只有倾斜因子各个半波带在P点处产生的振动的振幅随k增加而缓慢减小，其相位逐个相差合振动的振幅k为无穷？

k为奇数k为偶数2023/2/621自由空间传播时：总结：应用惠更斯-菲涅耳原理计算从点光源发出的光传播到任一观察点P时的振幅，只要把球面波面相对于P点分成半波带，将第一个和最末一个(k)带所发出的次波相加或相减再乘1/2即可。亮点暗点2023/2/622结论：波带数k的奇偶性,决定了P点的光强的极大或极小213213qll2l2此方向得暗纹.各对子波光程差均为l22121,...则上下两半对应的全部产生相消干涉.,a半波带半波带半波带半波带单缝恰被分成两个半波带,,2023/2/623当波面相对于P点不一定刚好分为整数个(半)波带时，P点的合振动的强度则介于极大值与极小值之间半波带半波带半波带半波带半波带半波带ql2l2l2qa奇当m明为数时得纹半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带l2l2l2l2qa当m偶得纹为数时暗qq半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带不能被分成整数个半波带的方向非明非暗2023/2/6242.2.3圆孔的菲涅耳衍射1.装置：点光源O所发球面波照射到小圆孔上，在P处光屏上可观察到衍射花样。2、半波带数：设通过圆孔的波面对P点恰好可分为k个整数半波带(1)PORSr0B0C’Cc0h122023/2/625PORSr0B0C’Cc0h(2)(3)菲涅耳半波带数目平行光照射2023/2/626③改变小圆孔位置和半径，给定点光强将发生变化②若通过小圆孔的波带数不为整数，则Ak介于最大值和最小值之间；沿着轴线移动光屏，P点光强不断变化，一些点较强，一些点较弱①P点合振幅取决于P点位置。(Ak取决于k，k取决于r0

，k为奇数时P点为亮点，k为偶数时P点为暗点)3、讨论给定R、Rh、l，孔的大小不变，P点由远到近地沿轴线移动k取决于r0，P点的光强有时强，有时弱，明暗交替地变化2023/2/627⑤当小圆孔仅允许一个半波带通过时综上所述：光在通过小圆孔后到达任一点时的光强，不能够单纯地由光源到该点的距离来决定，还取决于小圆孔的位置和大小。仅当圆孔足够大时，才与光的直线传播概念一致。不用光阑时④去掉光阑CC′，

。所以，没有遮挡时，整个波面光能量沿直线传播，P点离光源越远,光强越弱▲要发生衍射，光源的线度要足够小。2023/2/6282.2.4圆屏的菲涅耳衍射1、装置：2、合振幅设圆屏遮挡了前k个半波带，则从第k+1个起所有半波带所发次波均能到达P点合振幅中心总是亮点!

2023/2/6293、讨论①无论圆屏大小(当然要能与波长可比拟)和位置如何，圆屏几何影子的中心永远有光进入。②圆屏面积越小，被遮挡的半波带数k越少，ak+1就越大，P点光强越强。③圆屏面积足够小时，只能遮挡中心带的一小部分，光几乎全都能绕过它，此时除几何中心为亮点(泊松亮点)外，没有其它影子。圆屏好像起了会聚透镜的作用，将光源成实像于P点。2023/2/6302023/2/631[习题2.3]解：半径为1mm的圆孔包含的波带数为半径为0.5mm的圆屏挡住的波带数为：I/I0=4通光圆环通过的波带数为3无光阑时2023/2/6322.2.5波带片1、定义：只允许奇数(或偶数)半波带通过的光屏。当只有奇数(或偶数)半波带通光时，到达对称轴上任一点的各次波间的光程差为λ的整数倍，相互加强，是亮点。合振幅为各次波振幅之和。2023/2/6332、制备：先在绘图纸上画出半径正比于序数k的平方根的一组同心圆环，并把相间的半波带涂黑，再用相机拍摄在底片上，制成圆形波带片。此外，用此原理还可制成长条形波带片、方形波带片等。2023/2/6343、特点及应用①具有强烈的聚焦作用设某一波带片对考察点露出前5个奇数半波带，则考察点处的合振幅为不用光阑时132023/2/635②具有会聚透镜一样的功能：令不唯一，有多个焦距，与波长成反比焦距：发光点在无限远时的像距波带片成像公式2023/2/636③与透镜相比，波带片制作简便、省事；可将点光源成十字像(长条形波带片)；面积大、轻便、可折叠波带片焦距有多个，如给定物点(光源)，波带片可得到与不同焦距对应的多个像点2023/2/6372.2.6直线传播和衍射的联系●当波面完全不被遮挡时，波面完整，其上所有次波叠加的结果形成直线传播；●●当波面部分被障碍物遮挡时，波面不完整，叠加中少了这部分次波的成份，其叠加结果便成了明暗相间的衍射花样。无论是直线传播还是衍射现象，光的传播总是按惠更斯-菲涅耳原理所述方式进行。光的衍射是光传播的最基本的形式，是光的波动性的最基本的表现。衍射是绝对的，直线传播是相对的直线传播是衍射的极限形式结论2023/2/638§2.3夫琅禾费单缝衍射2.3.1实验装置与衍射图样的特点1、装置：夫琅禾费衍射指光源和观察屏离障碍物的距离均为无限远时，所发生的衍射现象。

*S·p衍射屏观察屏光源2023/2/6392、衍射花样特征①一组平行于狭缝的明暗相间的直线状条纹②中央条纹特别亮，两侧对称排列着强度较小的亮条纹③两相邻亮条纹间有一条暗条纹④相邻暗条纹的间隔为亮条纹的宽度，中央条纹的宽度是其它亮条纹宽度的两倍，强度较小的亮条纹是等宽的*S·p衍射屏观察屏光源2023/2/6402.3.2强度的计算原理：平行光束垂直入射，光强均匀。设在单缝平面时初相为0，整个缝所发次波在θ=0方向上的总振幅为A0，取BB‘波面上的一平行于缝的窄带dx，则dx所发出的球面次波在狭缝处的振动可表示为：P02023/2/641由惠更斯-菲涅耳原理可知：BB′上所有窄带发出的次波在屏上叠加，就形成了衍射花样。现取一束与原入射方向成θ角(称为衍射角)的光束，并作辅助平面BD垂直于衍射方向，则BD面上任一点到P点的光程相等(透镜的等光程成像性)。P0M、B两点沿θ方向到P点的光程差N点振动表达式2023/2/642由惠更斯-菲涅耳原理可得沿θ方向传播的所有次波在P点叠加的合振幅为P0P点光强为2023/2/643由于障碍物为狭缝，所有具有相同衍射角的光线，形成同一级条纹，所以，在光屏上P点实为一条平行于狭缝的直线状条纹。对所有的衍射方向，在光屏上就形成了一组平行于狭缝的、明暗相间的直线状条纹，其光强为P02023/2/6442.3.3衍射图样的光强分布2023/2/6451、单缝衍射中央最大值的位置说明各次波到达P0点时，光程、位相均相同，振动相互加强，形成最大值。P02023/2/6462、单缝衍射最小值（暗条纹）位置π3π2π-π02023/2/6473、次最大位置超越方程π3π2π-ππ3π2π-π02023/2/648光强分布图和衍射花样P00-π3π2ππ10.04720.01650.00832023/2/6492.3.4单缝衍射图样的特点P01、亮条纹、暗条纹沿垂直于缝长方向对称分布，其位置由：在居间位置，光强介于最大值和最小值之间对线光源，整个花样为平行于缝并以中央条纹为中心、对称展开的明暗相间的直线状条纹决定2023/2/650P02、各级亮条纹(最大值)光强不等：中央亮条纹强度最强；其余亮条纹(次最大)光强远小于中央条纹，并随级数的增大而很快减小。3、条纹宽度—角宽度PP0L2亮条纹宽度—相邻暗条纹间的间隔。2023/2/6514、暗条纹间是等间距的。PP0L25、次最大值间（次亮条纹中点间距）是不等间距的，不过随级次的增大现时逐渐趋于等间距。6、若以白光入射，除中央条纹仍为白色外(边缘有彩色)，其它各级亮条纹均为彩色；随衍射级次的增大，可能发生重叠。P02023/2/6527、P02023/2/6538、9、衍射花样与缝在垂直于透镜L的光轴方向上的位置无关。∵衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上∴单缝的夫琅和费衍射花样，不随缝的上下移动而变化。P0bLP0bL缝平移142023/2/654例.在夫琅和费单缝衍射中，对于给定的入射光，当缝宽度变小时，除中央亮纹的中心位置不变外，各级衍射条纹。[B](A)对应的衍射角变小；(B)对应的衍射角变大；(C)对应的衍射角也不变；(D)光强也不变。2023/2/655例.波长l=500nm的单色光垂直照射到宽度b=0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹，今测得屏幕上中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹的暗条纹之间的距离d=12mm为，则透镜的焦距f为：[B](A)2m(B)1m(C)0.5m(D)0.2m(E)0.1m2023/2/656§2.4夫琅禾费圆孔衍射一、实验装置二、衍射花样1、花样形状：明暗相间的同心圆环且中心为很亮的亮斑。2、光强公式：如图示：接收屏障碍物光源半径RθP2023/2/657光强公式2023/2/658光强分布图：光强分布曲线P点的相对光强分布0.6101.116光强二维分布图2023/2/6591.1160.6101.61910.01750.00420.0016艾里斑爱里斑：第一级暗环所包围的部分为中央亮斑，称为爱里斑，其上光强占总入射光强的84%。2023/2/660三、讨论：①爱里斑（中央亮斑）的半角宽度：②爱里斑的线半径：③当即时，衍射现象可略去：几何光学衍射现象越显著。

④圆孔的衍射花样只取决于圆孔的直径，而与圆孔的位置是否偏离主轴无关．

2023/2/661P0y例[2.1]2023/2/662例:在宽b=0.6mm的狭缝后40cm处,有一与狭缝平行的屏如图:如以平行光自左面垂直照射狭缝,在屏上形成衍射条纹,若离P0为1.4mm的P点,看到的是亮纹,求:(1)入射光的波长;(2)P点条纹的级数;(3)从P点看来对该光波而言,狭缝处的波阵面可作半波带的数目.2023/2/663解:(1)题为夫氏单缝衍射,P是亮纹的条件为这里取正号(因为P点在点上方)由图可知:2023/2/664由题意知入射光为可见光,P点为次级极大,故取:在可见光范围内,入射光的波长为或.2023/2/665(2).从(1)的讨论可知:,则P点为4级极大若入射光的波长为若入射光的波长为,则P点为3级极大(3).由P点为次级主极大的光程差条件:可知七个半波带九个半波带2023/2/666§2.5平面衍射光栅衍射光栅定义：种类：①.透射光栅，反射光栅②.平面光栅，凹面光栅③一维光栅，二维光栅，三维光栅性质：是一种分光装置用途：形成光谱透射光栅反射光栅2023/2/6672.5.1实验装置与衍射图样的特点1.实验装置：

b:各缝的宽度.

a:缝间不透明部分的宽度.

d＝a+b:

光栅常量.

上边缘－上边缘、下边缘－下边缘、中点－中点它反映光栅的空间周期性。1/d:光栅密度.它表示每毫米内有多少狭缝。2023/2/6682.衍射图样的强度分布特征：⑴有一系列的主最大和次最大；单缝只有一个主最大⑵主最大的位置与缝数N无关，但它们宽度随N增加而减小,强度∝N2⑶相邻主最大之间有N-1条暗纹和N-2个次最大.极小值次极大主极大中央亮纹2023/2/6693．对衍射图样的定性分析：多缝衍射,多个单缝衍射条纹叠加,强度加强,多缝干涉,多个主极大出现,条纹细锐明亮,形成光谱线⑷强度分布中保留了单缝衍射的因子——曲线的包迹与单缝衍射强度曲线形式一样.包络线为单缝衍射的光强分布图主极大次极大极小值亮纹()中央亮纹2023/2/6702.5.2光栅衍射的强度分布光强分布公式，反映P点的相对光强随θ方向的变化关系。缝数为N时，对应任意衍射角θ的P点的合振幅为令设152023/2/6711、单缝衍射因子单缝衍射的光强分布多光束干涉光强分布，来源于缝间干涉多缝衍射相对光强是单缝衍射和缝间干涉两因子的乘积强度公式的讨论2、缝间干涉因子2023/2/672光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应的叠加衍射干涉综合缝间干涉因子决定各个主最大的位置,当光栅常量给定后,主最大的位置就确定了单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用2023/2/673特征1：出现新的极大和极小。将多光束干涉极大极小的结果列表如下：多缝干涉极小位置多缝干涉主极大位置单缝衍射极小位置特征3：主极大间有N-1个极小，N-2个次极大特征2：主极大位置由d决定，与N无关，强度与N2成正比。2023/2/6742.5.3双缝衍射如果则有:双缝衍射光强分布若杨氏双缝干涉光强分布杨氏双缝干涉是被单缝衍射调制后的双缝干涉条纹，仅是b→0时的双缝衍射。2023/2/675干涉和衍射都是波的叠加，都有空间明暗不均匀现象，都不符合几何光学的规律。前者是有限光束的叠加，后者是无数次波的叠加；前者的叠加用求和计算，后者的叠加用积分计算。前者不讨论单个不完整波面的问题，后者专门讨论单个不完整波面的传播问题。杨氏双缝中只讨论任一个缝的光传播是衍射，将每一个缝看作为一个整体讨论两缝之间的叠加则是干涉。2.5.4干涉和衍射的区别和联系2023/2/6762.5.5光栅方程

θ与θ0在法线同侧时，上式取+号多缝衍射主极大满足的方程称为光栅方程。▲入射光垂直照射光栅平面：▲

入射光与光栅面法线夹角为θ0，衍射光与光栅面法线夹角为θ时，光栅方程取下列形式光栅平面

法线

光栅平面

θ与θ0在法线异侧时，上式取-号2023/2/6772.5.6谱线的半角宽度▲半角宽：主极大中心到其一侧的附加第一极小对应的角宽度Δθ第j级主极大位置为θ则：第j级主极大一侧极小位置为θ+Δθ则：主极大半角宽当λ、d

和θ确定时主极大宽度随N的增加而减小▲角宽度：主极大左右两侧第一极小对应的角宽度2Δθ2023/2/6782.5.7谱线的缺级波长一定时,各级谱线的距离由光栅常量d决定。各级谱线的强度分布将随d与b的比值而变，当这个比值为整数的情况下，某些谱线将消失。这种现象叫做谱线的缺级。把光栅方程带入2023/2/679

若在某一主极大位置，有由：缺级条件即级缺所以该级主极大消失，称为缺级。则有：衍射干涉综合2023/2/680例[2.3]解：2023/2/681可见条纹数：2×(10-1-2)+1=152023/2/682解：(1)圆孔半径k为奇数，所以P点为亮点当k=2时，向后移动0.5m向前移动0.25m(2)要使P点变暗，k应取2或4当k=4时，作业2.4平行光照射时2023/2/683[作业2.7]解：因为所以*S·p2023/2/684[习题2.15]解：光栅方程当当法线

光栅平面

2023/2/685[习题2.12]解：光栅方程第一级谱线的末端第二级谱线的始端所以162023/2/686[习题2.17]解：(1)(2)光栅方程共7条(3)2023/2/687882023/2/6§1.9法布里-珀罗干涉仪多光束干涉1.9.1法布里-珀罗干涉仪1.光强变化缓慢，最大、最小值难以确定和准确测量2.两光波振幅不相等时，Imin≠0，条纹可见度降低。迈克耳孙干涉仪利用分振幅法，把同一入射光波分为两个振幅相等的光波，成为一个双光束系统。光强为：要求：可见度高，边缘清晰。普通的双光束难以实现2023/2/688892023/2/6法布里-珀罗干涉仪：多光束干涉，在特定相位差处，出现极大值，其它各处，强度相对较低。基本构造：①平行放置的两平行玻璃板，两板的相向表面镀薄银膜(反射率高，膜厚非常均匀)；②面光源；③透镜(L1、L2)；④接收屏2023/2/689902023/2/61.9.2多光束干涉dA0

i1

GG’n2

i2

I3

I1’I1

I2’I2

I3’I11

I22

I33

▲设镀银面的反射率为则其折射率为I1（折）：

I1’（反）：

I11（折）：

I2（反）：

I22（折）：

82023/2/690912023/2/6dA0

i1

GG’n2

i2

I3

I1’I1

I2’I2

I3’I11

I22

I33

相邻两光束光程差相