模糊数学教学课件

2023年2月6日1模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。2023年2月6日2年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊数学——研究和揭示模糊现象的定量处理方法。模糊数学绪论2023年2月6日3产生1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用属于程度代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于秃子的程度为0.3等.模糊数学绪论2023年2月6日4模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支

涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；

模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论2023年2月6日5模糊数学绪论

课堂主要内容一、基本概念二、主要应用1.模糊聚类分析——对所研究的事物按一定标准进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。2023年2月6日62.模糊模式识别——已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪一类模型。模糊数学绪论例如：苹果分级问题苹果，有{I级，II级，III级，IV级}四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。2023年2月6日73.模糊综合评判——从某一事物的多个方面进行综合评价模糊数学绪论例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰}四方面给出{很好，较好，一般，不好}四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划——将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解2023年2月6日8模糊数学一模糊集合及其运算二模糊聚类分析三模糊模式识别四模糊综合评判五模糊线性规划2023年2月6日9一、经典集合与特征函数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。模糊集合及其运算2023年2月6日10.uAA.u模糊集合及其运算2023年2月6日11在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有或者，用函数表示为：其中函数称为集合A的特征函数。模糊集合及其运算非此及彼2023年2月6日12模糊集合及其运算亦此亦彼UA模糊集合,元素x若x位于A的内部，则用1来记录，若x位于A的外部，则用0来记录，若x一部分位于A的内部，一部分位于A的外部，则用x位于A内部的长度来表示x对于A的隶属程度。2023年2月6日13{0,1}[0,1]特征函数隶属函数二、模糊子集定义：设U是论域，称映射确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函数，称为对的隶属程度，简称隶属度。2023年2月6日14模糊子集由隶属函数唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用A来表示和。模糊集合及其运算越接近于0,表示x隶属于A的程度越小；越接近于1,表示x隶属于A的程度越大；＝0.5,最具有模糊性，过渡点2023年2月6日15模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法这里表示对模糊集A的隶属度是。如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为可省略模糊集合及其运算2023年2月6日16（3）向量表示法（2）序偶表示法若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：模糊集合及其运算2023年2月6日17例1.

有100名消费者，对5种商品评价，结果为：81人认为x1质量好，53人认为x2质量好，所有人认为x3质量好，没有人认为x4质量好，24人认为x5质量好则模糊集A（质量好）2023年2月6日18

例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…札德给出了“年老”集函数刻画:10U501002023年2月6日19再如，Y=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：

102550U2023年2月6日20则模糊集O（年老）则模糊集Y（年轻）2023年2月6日212、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：包含：并：交：余：

表示取大；表示取小。模糊集合及其运算2023年2月6日22例3.模糊集合及其运算则：0.30.910.80.60.20.10.80.30.52023年2月6日23模糊集合及其运算并交余计算的性质1.幂等律2.交换律3.结合律4.吸收律2023年2月6日24模糊集合及其运算6.0-1律7.还原律8.对偶律5.分配律2023年2月6日25三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖致使对A的隶属关系是不确定的。模糊集合及其运算2023年2月6日26特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对A的隶属度：模糊集合及其运算2023年2月6日27模糊集合及其运算对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间，18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-28问年龄27属于模糊集A（青年人）的隶属度。2023年2月6日28对年龄27作出如下的统计处理：A(27)=0.78n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101

隶属频率0.780.760.760.750.790.78

2023年2月6日292、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。模糊集合及其运算

一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。例如：在论域中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数中间型2023年2月6日30模糊集合及其运算可以选取柯西分布中间类型的隶属函数先确定一个简单的，比如此时有不太合理，故改变α2023年2月6日31模糊集合及其运算取此时有有所改善。2023年2月6日323、其它方法德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算2023年2月6日33模糊集合及其运算四、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，称R为模糊单位矩阵。例如：2023年2月6日34（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义相等：包含：模糊集合及其运算并：交：余：2023年2月6日35例4：模糊集合及其运算2023年2月6日36（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵为A与B的合成，其中。模糊集合及其运算即：定义：设A为阶，则模糊方阵的幂定义为2023年2月6日37例5：模糊集合及其运算2023年2月6日38（3）模糊矩阵的转置定义：设称为A的转置矩阵，其中。模糊集合及其运算性质：2023年2月6日39（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称为模糊矩阵A的截矩阵，其中显然，截矩阵为Boole矩阵。模糊集合及其运算2023年2月6日40例6：模糊集合及其运算2023年2月6日41><若要求至少应达到0.5水平，则有夏、商、西周、春秋、战国若要求至少应达到0.7水平，则有夏、商、西周、春秋-截集2023年2月6日42截矩阵的性质：性质1.性质2.性质3.性质4.模糊集合及其运算2023年2月6日43><下面证明性质1：A≤BA

≤B证：A≤Baij≤bij；当≤aij≤bij时，aij()=bij()=1；当aij＜

≤bij时，aij()=0,bij()=1；当aij≤bij＜时，aij()=bij()=0；综上所述aij()≤bij()，故A

≤B.2023年2月6日44证明性质3设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij()=1cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥,bkj≥

k,aik()=bkj()=1∨(aik()∧bkj())=1cij()=0cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜或bkj＜

k,aik()=0或bkj()=0∨(aik()∧bkj())=0所以,

cij()=∨(aik()∧bkj()).(A°

B)

=A

°

B.><2023年2月6日45（5）特殊的模糊矩阵定义：若模糊方阵满足则称A为自反矩阵。例如是模糊自反矩阵。定义：若模糊方阵满足则称A为对称矩阵。例如是模糊对称矩阵。模糊集合及其运算2023年2月6日46模糊集合及其运算定义：若模糊方阵满足则称A为模糊传递矩阵。例如是模糊传递矩阵。2023年2月6日47模糊集合及其运算定义：若模糊方阵Q，S，A满足则称S为A的传递闭包，记为t(A)。2023年2月6日48模糊聚类分析一、基本概念及定理2023年2月6日49模糊聚类分析定理：R是n阶模糊等价矩阵是等价的Boole矩阵。意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当λ在[0,1]上变动时，由得到不同的分类。2023年2月6日50模糊聚类分析2023年2月6日51例6：设对于模糊等价矩阵模糊聚类分析2023年2月6日52模糊聚类分析画出动态聚类图如下：0.80.60.50.412023年2月6日53模糊聚类分析2023年2月6日54例7：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析2023年2月6日55二、模糊聚类的一般步骤１、建立数据矩阵模糊聚类分析2023年2月6日56（1）标准差标准化模糊聚类分析2023年2月6日57（2）极差正规化（3）极差标准化（4）最大值规格化其中：模糊聚类分析2023年2月6日58２、建立模糊相似矩阵（标定）（1）相似系数法①夹角余弦法②相关系数法模糊聚类分析2023年2月6日59（2）距离法①Hamming距离②Euclid距离③Chebyshev距离模糊聚类分析2023年2月6日60（3）贴近度法①最大最小法②算术平均最小法③几何平均最小法模糊聚类分析2023年2月6日613、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法步骤：模糊聚类分析2023年2月6日62模糊聚类分析2023年2月6日63解：由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为模糊聚类分析2023年2月6日64用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊聚类分析2023年2月6日65用平方法合成传递闭包2023年2月6日66取，得模糊聚类分析2023年2月6日67取，得取，得模糊聚类分析2023年2月6日68取，得取，得模糊聚类分析2023年2月6日69画出动态聚类图如下：0.70.630.620.531模糊聚类分析2023年2月6日70><(2)最大树法由我国吴望名教授提出,设R是有限论域X上的模糊关系,称二元有序组G=(X,R)为模糊关系图.给定X上的模糊关系R后,可根据Kruskal法得到图G=(X,R)的一棵最大树,具体做法如下:2023年2月6日71><先画出被分类的元素集.从R中按rij从大到小的顺序依次连枝,标上权重.若在某一步会出现回路,便不画那一步.直到所有元素连通为止,这样便得到一棵最大树.取定[0,1]，砍断权重低于的枝,就可得到一个不连通的图,各连通分支就构成了在水平上的分类.这种模糊聚类方法叫做最大树法.2023年2月6日72><2023年2月6日73><(3)编网法由我国赵汝怀教授提出,它是直接由模糊相似矩阵R出发，经过“编网”直接完成聚类的。具体做法是：取定水平[0，1]，求得截矩阵R，并将R的主对角线上填入元素，在主对角线的下三角部分，以“*”号代替R中的“1”，而“0”则略去。由“*”号向主对角线上引经线（竖线）和纬线（横线），即称之为“编网”，凡能由经线和纬线互相连结的元素则属于同类。(上例)2023年2月6日74模糊聚类分析的简要流程:YN2023年2月6日754、最佳阈值的确定模糊聚类分析（1）按实际需要，调整λ

的值，或者是专家给值。（2）用F

-

统计量确定最佳λ值。针对原始矩阵X，得到其中，设对应于λ

的分类数为r,第j类的样本数为nj,第j类的样本记为：2023年2月6日76则第j类的聚类中心为向量：其中，为第k个特征的平均值作F

-

统计量模糊聚类分析2023年2月6日77模糊聚类分析若是则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著若满足不等式的F值不止一个，则可进一步考察差值的大小，从较大者中选择一个即可。其中2023年2月6日78模糊模式识别模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。2023年2月6日79

模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。模糊模式识别2023年2月6日80

在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题——

点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题——

集对集。模糊模式识别2023年2月6日81例1.

苹果的分级问题设论域X={若干苹果}。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为={Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}，显然，模型Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级是模糊的。当果农拿到一个苹果

x0

后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。模糊模式识别2023年2月6日82例2.

医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域X={各种疾病的症候}(称为症候群空间)。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库={心脏病，胃溃疡，感冒，…}，显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。模糊模式识别2023年2月6日83点对集——1.问题的数学模型

(1)第一类模型：设在论域X上有若干模糊集：A1，A2，…，AnF(X)，将这些模糊集视为n个标准模式，x0X是待识别的对象，问x0应属于哪个标准模式Ai(i=1，2，…，

n)?(2)第二类模型：设AF(X)为标准模式，x1,x2,…,xnX为n个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个xi(i=1，2，…，

n)?模糊模式识别2023年2月6日84一最大隶属原则最大隶属原则Ⅰ：最大隶属原则Ⅱ：模糊模式识别2023年2月6日85按最大隶属原则，该人属于老年。解：模糊模式识别2023年2月6日86例:选择优秀考生。设考试的科目有六门x1：政治x2：语文x3：数学x4：理、化x5：史、地x6：外语考生为y1，y2，…，yn，组成问题的论域Y={y1,y2,…,yn}。设A=“优秀”，是Y上的模糊集，A(yi)是第

i个学生隶属于优秀的程度。给定A(yi)的计算方法如下：模糊模式识别2023年2月6日87式中i=1,2,…,n是考生的编号，j=1,2,…,6是考试科目的编号，j是第j个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则Ⅱ，就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。例如若令1=2=3=1，4=5=0.8，6=0.7,有四个考生y1,y2,y3,y4，其考试成绩分别如表3.4模糊模式识别2023年2月6日88表3.4

考生成绩表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y4718563926382688982639561908494638591628770827081模糊模式识别2023年2月6日89则可以计算出于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为：y2,y4,y1,y3.模糊模式识别2023年2月6日90例:在论域X=[0,100]分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A=“优”,B=“良”,C=“差”.当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？A(88)=0.82023年2月6日91B(88)=0.72023年2月6日92A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.

根据最大隶属原则Ⅰ,88分这个成绩应隶属于A,即为“优”.2023年2月6日93例:论域X={x1(71),x2(74),x3(78)}表示三个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,根据最大隶属原则Ⅱ，x1(71)最差.2023年2月6日94例:细胞染色体形状的模糊识别细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}标准模型库={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三形),T(任意三角形)}.2023年2月6日95某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？2023年2月6日96先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.

直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列约束条件：

(1)当A=90时,R(A,B,C)=1;(2)当A=180时,R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.

因此，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.则R(x0)=0.955.2023年2月6日97

正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约束条件：(1)当A=B=C=60时,E(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=C=0时,E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.

因此，不妨定义E(A,B,C)=1–(A–C)/180.则E(x0)=0.677.2023年2月6日98

等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约束条件：(1)当A=B或者B=C时,I(A,B,C)=1;(2)当A=120,B=60,C=0时,I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.

因此，不妨定义

I(A,B,C)=1–[(A–B)∧(B–C)]/60.则I(x0)=0.766.

2023年2月6日99等腰直角三角形的隶属函数(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隶属函数T(A,B,C)=Ic∩Rc∩Ec=(I∪R∪E)c.

T(x0)=(0.766∨0.955∨0.677)c=(0.955)c=0.045.通过以上计算,R(x0)=0.955最大,所以x0应隶属于直角三角形.2023年2月6日100阈值原则：模糊模式识别有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：2023年2月6日101模糊模式识别2023年2月6日102例如

已知“青年人”模糊集Y，其隶属度规定为对于x1=27岁及x2=30岁的人来说，若取阈值模糊模式识别2023年2月6日1031=0.7，模糊模式识别故认为27岁和30岁的人都属于“青年人”范畴。则因

Y(27)=0.862>1，而

Y(30)=0.5<1，故认为27岁的人尚属于“青年人”，而30岁人的则不属于“青年人”。

若取阈值2=0.5，则因

Y(27)=0.862>2,而

Y(30)=0.5=2，2023年2月6日104模糊模式识别集对集——例如：论域为“茶叶”，标准有5种待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定B属于哪种茶A1A2A3A4A5B条索0.50.30.2000.4色泽0.40.20.20.10.10.2净度0.30.20.20.20.10.1汤色0.60.10.10.10.10.4香气0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.32023年2月6日105在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域X中的元素x，而是模糊集A，已知的模糊集是A1,A2,…,An，那么问A属于哪个Ai(i=1,2,…,n)？就是另一类模糊模式识别问题—集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。2023年2月6日1061.距离判别分析定义

设A、BF(X)。称如下定义的dP(A,B)为A与B的Minkowski(闵可夫斯基)距离

(P≥1)：

ⅰ)当X={x1,x2,…,xn}时，

ⅱ)当X=[a,b]时，模糊模式识别2023年2月6日107特别地，p=1时，称d

1(A,B)为A与B的Hamming(海明)距离。p=2时，称d2(A,B)为A与B的Euclid(欧几里德)距离。有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在[0,1]中，因此定义模糊集的相对距离dp’(A,B)，相应有

(1)相对Minkowski距离模糊模式识别2023年2月6日108

(2)相对Hamming距离模糊模式识别2023年2月6日109(3)相对Euclid距离模糊模式识别2023年2月6日110

有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重W(x)≥0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件：当X={x1，x2，…，xn}时，有当X=[a,b]时，有加权Minkowski距离定义为模糊模式识别2023年2月6日111加权Hamming距离定义为加权Euclid距离定义为模糊模式识别2023年2月6日112例

欲将在A地生长良好的某农作物移植到B地或C地，问B、C两地哪里最适宜？气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而A、B、C三地的情况可以表示为论域

X={x1(气温)，x2(湿度)，x3(土壤)}上的模糊集，经测定，得三个模糊集为模糊模式识别2023年2月6日113由于dw1(A,B)<dw1(A,C)，说明A，B环境比较相似，该农作物宜于移植B地。模糊模式识别

设权重系数为W=(0.5,0.23,0.27)。计算A与B及A与C的加权Hamming距离，得2023年2月6日1142、贴近度模糊模式识别按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。A⊙B=定义设A，B

F(U)，称为A与B的内积，称为A与B的外积。2023年2月6日115比较，可以看出A∘B与a·b十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加“+”与乘“•”换成取大“”与取小“”运算，就得到A∘B。模糊模式识别

若X={x1,x2,…xn}，记A(xi)=ai，B(xi)=bi，则与经典数学中的向量a={a1,a2,…an}与向量b={b1,b2,…bn}的内积2023年2月6日116例

设X={x1,x2,x3,x4,x5,x6},则

A⊙

B模糊模式识别2023年2月6日117例

设A，BF(R)，A、B均为正态型模糊集，其隶属函数如图3.33ABCDE0ax*bx图3.33正态型模糊集A、Bμ模糊模式识别2023年2月6日118由定义知A∘B应为max(A∩B)

，隶属度曲线CDE部分的峰值，即曲线A(x)与B(x)的交点x*处的纵坐标。为求x*，令解得于是类似地，由于故A⊙B=0。模糊模式识别2023年2月6日119模糊模式识别表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。或σL(A，B)=(A∘B)(A⊙

B)C2023年2月6日120⊙C=⊙C=故B比A更贴近于Ｃ.模糊模式识别2023年2月6日121模糊模式识别2023年2月6日122模糊模式识别2023年2月6日123二、择近原则模糊模式识别2023年2月6日124模糊模式识别例如：论域为“茶叶”，标准有5种待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定B属于哪种茶A1A2A3A4A5B条索0.50.30.2000.4色泽0.40.20.20.10.10.2净度0.30.20.20.20.10.1汤色0.60.10.10.10.10.4香气0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.3⊙B)]，

2023年2月6日125模糊模式识别计算得故茶叶B为A1型茶叶。2023年2月6日126蠓的分类下图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据,其中“●”表示Apf,“○”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的.给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本.2023年2月6日1272023年2月6日128先将已知蠓重新进行分类2023年2月6日129

当=0.919时,分为3类{1,2,3,6,4,5,7,8},{9},{10,11,12,13,14,15},三类的中心向量分别为(1.395,1.770),(1.560,2.080),(1.227,1.927).用平移极差变换将它们分别变为A1=(0.200,0.637)(Af蠓),A2=(0.390,1.000)(Af蠓),A3=(0.000,0.821)(Apf蠓),2023年2月6日130再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为B1=(0.015,0.672),B2=(0.062,0.719),B3=(0.203,0.953).采用贴近度3(A,B)=2023年2月6日131计算得：3(A1,B1)=0.89,3(A2,B1)=0.65,

3(A3,B1)=0.92.3(A1,B2)=0.89,3(A2,B2)=0.69,3(A3,B2)=0.92.3(A1,B3)=0.84,3(A2,B3)=0.88,3(A3,B3)=0.83.根据择近原则及上述计算结果,第一只待识别的蠓(1.24,1.80)属于第三类,即Apf蠓；第二只待识别的蠓(1.28,1.84)属于第三类,即Apf蠓；第三只待识别的蠓(1.40,2.04)属于第二类,即Af蠓.2023年2月6日132模糊决策模糊集中意见决策模糊二元对比决策模糊综合评判决策2023年2月6日133模糊集中意见决策为了对论域U={u1,u2,…,un}中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对U中的元素排序,得到m种意见：V={v1,v2,…,vm},其中vi是第i

种意见序列,即U

中的元素的某一个排序.若uj在第i种意见vi中排第k位,则令Bi(uj)=n–k,称2023年2月6日134为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是比较合理的.2023年2月6日135例:

设U={a,b,c,d,e,f},|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f

v2:e,b,c,a,f,dv3:a,b,c,e,d,f

v4:c,a,b,d,e,fB(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.2023年2月6日136例设有6名运动员U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}参加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩下：200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪u1,u2,u4,u5,u6,u3；2023年2月6日137B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u52023年2月6日138若uj在第i种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)=ak(n–k

)，称为uj的加权Borda数。2023年2月6日139名次一二三四五六权重0.350.250.180.110.070.04

B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：u1,u2,u3,u4,u6,u52023年2月6日140模糊二元对比决策择优比较决策法：例：假设要求有1000人在X={红，橙，黄，绿，蓝}五种颜色中选优。在颜色论域上定义一个称作“最佳颜色”的模糊集。下表就是一个评价调查表。2023年2月6日1412023年2月6日142模糊二元对比决策设论域X={x1,x2,…,xn}为n个被选方案,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化.然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求ri满足①rii

=1(便于计算)；②0≤rij≤1；③当i≠j

时,rij+rji=1.这样的rij组成的矩阵R=(rij)n×n称为模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.2023年2月6日143模糊二元对比决策的方法与步骤⑴建立模糊优先关系先两两进行比较，建立模糊优先矩阵R=(rij)n×n.⑵排序方法：①隶属函数法：直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用方法：取小法：A(xi)=∧{rij|1≤j≤n},i=1,2,…,n;平均法：A(xi)=(ri1+ri2+…+rin)/n,i=1,2,…,n.2023年2月6日144②-

截矩阵法即取定阈值,确定优先对象.取定阈值∈[0,1]得-截矩阵R

=(rij())n×n,当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.③下确界法先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.2023年2月6日145模糊综合评判一级模糊综合评判2023年2月6日146模糊综合评判2023年2月6日147模糊综合评判2023年2月6日148模糊综合评判2023年2月6日149模糊综合评判2023年2月6日1502023年2月6日1512023年2月6日152根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：模糊综合评判2023年2月6日153例如有单因素评判矩阵则B＝(0.18,0.18,0.18,0.18)2023年2月6日154模糊综合评判2023年2月6日155模糊综合评判2023年2月6日156其中：模糊综合评判2023年2月6日157例：“晋升”的数学模型.以高校老师晋升教授为例：因素集U={政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平},评判集V={好,较好,一般,较差,差}.

因素好较好一般较差差政治表现及工作态度42100教学水平61000科研水平00511外语水平221112023年2月6日158给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用M(∧,∨)、M(·,＋)模型所作评判下：M(∧,∨)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)

归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(·,＋)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)2023年2月6日159模糊综合结论最后通过对模糊评判向量B的分析作出综合结论．一般可以采用以下三种方法：(1)最大隶属原则(2)加权平均原则评价等级集合为={很好，好，一般，差}，各等级赋值分别为{4，3，2，1}

2023年2月6日160例：某地对区级医院2001~2002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例．患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用．规定很好、好、一般、差的标准见表1，病人医疗质量各等级频数分布见表2．2023年2月6日161指标很好好一般差疗效治愈显效好转无效住院日≤1516~2021~25＞25费用（元）≤14001400~18001800~2200＞2200表12023年2月6日162表2两年病人按医疗质量等级的频数分配表指标很好质量好等级一般差疗效01年02年16017038041020104060住院日01年02年1802002503101301204020费用01年02年13011027032013012070100现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价

2023年2月6日1631)．据评价目的确定评价因素集合评价因素集合为={疗效，住院日，费用}．2)．给出评价等级集合如评价等级集合为={很好，好，一般，差}．3)．确定各评价因素的权重设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即2023年2月6日1644)．2001年与2002年两个评价矩阵分别为2023年2月6日1655)．综合评价2023年2月6日1662023年2月6日1672023年2月6日168实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收)乙(两茬平作),丙(两年三熟)3种方案,主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩用工量，每亩纯收入和对生态平衡影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为0.2,0.1,0.15,0.3,0.25,其评价等级如下表分数亩产量/kg产品质量/级亩用工量/工日亩纯收入/元生态平衡影响程度/级5550-600120以下130以上14500-550220-30110-13023450-500330-4090-11032400-450440-5070-9041350-400550-6050-7050350以下660以上50以下62023年2月6日169经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现3种方案的5项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案。方案甲乙丙亩产量/kg592.5529412产品质量/级321亩用工量/工日553832亩纯收入/元7210585生态平衡影响程度/级532过程：因素集权重A＝（0.2,0.1,0.15,0.3,0.25）评判集2023年2月6日170建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数，用模糊关系矩阵来表示。2023年2月6日1712023年2月6日1722023年2月6日1732023年2月6日1742023年2月6日175多级模糊综合评判（以二级为例）问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面模糊综合评判2023年2月6日176二级模糊综合评判的步骤：模糊综合评判2023年2月6日177模糊综合评判2023年2月6日178模糊综合评判2023年2月6日179模糊综合评判2023年2月6日180模糊综合评判2023年2月6日181模糊综合评判2023年2月6日182模糊综合评判2023年2月6日183模糊综合评判2023年2月6日184权重的确定方法

在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果.

凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可“真”.2023年2月6日185频数统计方法对每一个因素uj,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=max{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n;mj=min{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n.(2)选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj

-mj)/p.(3)计算落在每组内权重的频数与频率(4)取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重.(5)将所得的结果归一化.2023年2月6日186层次分析法（AHP）1、构造两两比较判断矩阵在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所支配的下一层元素为u1,u2,…,un对于准则C相对重要性即权重。这通常可分两种情况：（1）如果u1,u2,…,un对C的重要性可定量（如可以使用货币、重量等），其权重可直接确定。（2）如果问题复杂，u1,u2,…,un对于C的重要性无法直接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较方法。其方法是：对于准则C，元素ui和uj哪一个更重要，重要的程度如何，通常按1～9比例标度对重要性程度赋值，下表中列出了1～9标度的含义。2023年2月6日187标度含义1表示两个元素相比，具有同样重要性3表示两个元素相比，前者比后者稍重要5表示两个元素相比，前者比后者明显重要7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9表示两个元素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值倒数若元素i与j的重要性之比为aij，那么j元素与i元素重要性之比为1/aij2023年2月6日188对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵其中aij就是元素i和j相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下列性质：aij>0，aji=1/aij，aii=1若判断矩阵A的所有元素满足则称A为一致性矩阵。不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要这样要求，只是在特殊情况下才有可能满足一致性条件。2023年2月6日189单一准则下元素相对权重的计算已知n个元素u1,u2,…,un对于准则C的判断矩阵为A，求u1,u2,…,un对于准则C的相对权重写成向量形式即为（1）权重计算方法。①和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术平均值，近似作为权重向量，即2023年2月6日190类似的还有列和归一化方法计算，即2023年2月6日191②根法（即几何平均法）。将A的各个行向量进行几何平均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公式为2023年2月6日192③特征根法（简记EM）。解判断矩阵A的特征根问题式中，是A的最大特征根，W是相应的特征向量，所得到的W经归一化后就可作为权重向量。2023年2月6日193判断矩阵的一致性检验在计算单准则下权重向量时，还必须进行一致性检验。在判断矩阵的构造中，并不要求判断具有传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判断矩阵满足大体上的一致性是应该的。如果出现“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的判断，则显然是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策上的失误。而且上述各种计算排序权重向量（即相对权重向量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵的一致性进行检验，具体步骤如下：2023年2月6日194①计算一致性指标C.L.(consistencyindex)②查找相应的平均随机一致性指标R.I.

下表给出了1～15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标2023年2月6日195平均随机一致性指标R.I.矩阵阶数123456R.L000.520.891.121.26矩阵阶数7891011R.L1.361.411.461.491.52矩阵阶数12131415R.L．1.541.561.581.592023年2月6日196③计算性一致性比例C.R.(consistencyratio)当C.R.＜0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当C.R.≥0.1时，应该对判断矩阵做适当修正。2023年2月6日197Matlab程序functionquanzhong(A,ri)n=length(A);[x,y]=eig(A);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);

ci=(lamda-n)/(n-1);cr=ci/riw=x(:,1)/sum(x(:,1))调用A=[125;1/217;1/51/71];quanzhong(A)2023年2月6日198A=[125;1/216;1/51/61];quanzhong(A)A=[125;1/213;1/51/31];quanzhong(A)2023年2月6日199模糊关系方程法在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策B=(b1,b2,…,bm),单因素评判矩阵

R=(rij)n×m

,试问各因素的权重分配A是什么？这就是要求解模糊关系方程X°R=B.

定理模糊关系方程X°R=B有解的充要条件是

°R=B其中约定∧=1.且为X°R=B的最大解2023年2月6日200模糊线性规划一、模糊约束条件下的极值问题例：某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好，尺寸较全身，价格尽量便宜，设有5件大衣X＝{x1,x2,x3,x4,x5}供选择，经调查结果如表大衣x1x2x3x4X5式样过时较陈旧时髦较新一般质量好较好好较差一般尺寸合身较合身合身合身较合身价格40801008575问他应该购买哪一件大衣？2023年2月6日201模糊线性规划该类问题的解题过程：2.目标函数f(x)模糊化1.将语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集的隶属度3.定义模糊判决：加权型：对称型：4.由最大隶属原则求出x*,则x*为模糊条件极大值点。2023年2月6日202解：将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束A1,A2,A3,价格化为模糊目标G：大衣x1x2x3x4X5A100.70.50.81A210.810.40.6A310.8110.8G10.3300.250.5将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度其中模糊目标2023年2月6日203总约束集模糊目标集约束与目标对等时，用对称型模糊判决由最大隶属原则，应该买x5.2023年2月6日204如果要求价格更便宜，则放松约束，令a=0.4,b=0.6加权型判决为由最大隶属原则，应该买x1.2023年2月6日205模糊线性规划实例：采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：(1)生产集中程度高；(2)采煤机械化程度高；(3)采区生产系统十分完善；(4)安全生产可靠性好；(5)煤炭损失率低；(6)巷道掘进费用尽可能低.上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把(1)～(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即=｛(方案Ⅰ),(方案Ⅱ),(方案Ⅲ),(方案Ⅳ),(方案Ⅴ),(方案Ⅵ)｝.2023年2月6日206模糊线性规划经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表163.6044.2034.50