数值分析与计算方法 第二章 曲线拟合与平方逼近

本章内容§3.1观测数据的最小二乘拟合§3.2正交多项式§3.3最佳平方逼近

第3章曲线拟合与平方逼近问题提出:插值思想给出了一类确定函数y=f(x)的近似函数方法，但该类方法具有一定的局限性：1)实验数据本身难以保证每个数据值都能有好的精确性，而当其中有的数据存在误差时，由于插值条件的要求，其误差将完全被插值函数进一步继承。2)即使所有的观测数据都较精确，为了插值差值多项式次数过高而产生Runge现象，必须进行分段处理，而分段插值不具有较好的整体变化趋势和光滑性。三次样条插值函数虽有好的光滑性，可繁杂的表达式又在一定程度上限制了进一步的分析应用。因此,需要讨论近似函数的另一类方法—逼近1.拟合:寻找函数P(x),使其曲线不必经过已有实验点，但尽可能接近每个实验点。P(x)称为拟合函数2.偏差:称i=P(xi)-yi为xi处的偏差(偏离大小).注：不要求i

=0，i=0,1,2,…N，但希望i尽可能小.

考虑尽可能小.或尽可能小，i

>0为权系数，其大小反映该数据的重要程度，通常取其为12.1最小二乘拟合2.1.1最小二乘法的基本概念设有实验数据：(xi,，yi),i=0,1,2,…,N.§7数据拟合的最小二乘法3.最小二乘法<考虑P的结构可以是多项式，三角函数或其他>.

在函数类=Span{0(x),0(x),…,n(x)}中求函数

使

求函数P*(x)的方法称为数据拟合的最小二乘法，简称最小二乘法，并称P*(x)为最小二乘解。

为最小二乘拟合多项式。4.问题：如何求P*——解方程组。2.1.2正规方程组—求P*1.问题：设记求最小二乘解，即求的极小值点(a0*,a1*,…,an*)2.方法：求

的极小值点(a0*,a1*,…,an*)取极值的必要条件

称(2.7)为正规方程组（或法方程）(2.7)定理2.1正规方程组（2.7）有唯一解。证明用反证法。定理2.2设为正规方程组（2.7）的解，则为最小二乘多项式。证明略常用的一次和二次最小二乘法一次最小二乘多项式P*(x)=a0+a1x

，此时n=1，其正规方程组为二次最小二乘多项式P*(x)=a0+a1x+a2x2

，此时n=2，其正规方程组为例2.1对于数据表已知其经验公式为y=a+bx,试用最小二乘法确定待定参数a,b。

xi12345f(xi)44.5688.521311解:n=1，N=5，a,b应该满足正规方程组将所得计算值代入得解得

a=2.5648,b=1.2037若经验公式为y=a+bx2,则a,b

应满足的正规方程组为同理得解得

a=3.9795,b=0.20497例2已知求x与y的经验公式。<一般步骤：①做草图，选型②建立法方程组③求解>解：①描点，图形近似直线选用一次多项式作拟合函数。即取0=1，1=x§7数据拟合的最小二乘法②n=1,

m=6,i1.

由

法方程组为得③解方程组得a0=0.843，a1=4.57，从而P1(x)=0.843+4.57x利用正规方程组（2.7）求解拟合曲线时，当n较大时()问题正规方程组往往是病态的（有关概念见第六章6.7节），因而给求解工作带来了困难改善正规方程组性态的方法：解决方法直接解最小问题（2.5）的正交三角化方法等如用正交多项式作基函数的最小二乘拟合、样条最小二乘拟合等因此下面介绍正交多项式的概念在[-1,1]上带权(x)

的正交多项式称为切比雪夫多项式2.2.1切比雪夫（Chebyshev）多项式1.定义和性质x[-1,1]，n=0,1,2,…

切比雪夫多项式的表达式2.2正交多项式切比雪夫多项式的性质：(1)正交性：

(3)递推公式：其中

T0(x)=1,T1(x)=x，n=1,2,…

(2)奇偶性：cos(n+1)

+

cos(n-1)

=2coscosnx=cosn为偶数时是偶函数性，n为奇数时为奇函数(4)Tn(x)在[-1,1]上有n

个不同的实零点:(k=1,2,…,n)(5)Tn(x)

在[-1,1]上有n+1个极值点:(k=0,1,…,n)(6)Tn(x)是n次多项式，其首项系数为

2n-1(7)在[-1,1]上所有首项系数为1的一切多项式中与0偏差最小的多项式是且偏差为即在上述极值点处轮流取最大值1和最小值-12插值余项的近似极小化

(1)以n次chebyshev多项式的n个零点

作为插值节点，由Lagrange插值方法可得一个n-1次的插值多项式，其余项为由chebyshev多项式的性质2.7知，在区间[-1，1]上，是与零偏差最小的首项系数为1的n次多项式（2.14）

(2)若插值区间是[a,b]，不是[-1,1]，则做变换：

t在区间[-1,1]上变化，于是它的最高项系数为，则此时只要选插值节点为相应地

这时（2.15）

(2.16)3.Taylor级数项数的节约

函数

f(x)的Taylor展开容易计算，因此它的部分和常常被用于

f(x)的近似，且此时误差界容易给出。

设f(x)在区间[-1,1]上的Taylor展开式的

n项部分和若有

chebyshev多项式可以表示成不超过k次的x的幂函数的线性组合，反过来，x的幂函数可以表示成chebyshev多项式的组合如下：(2.17)

因此可以利用chebyshev多项式将P(x)重新组合以降低近似多项式的次数，此时如果

而可以把(2.18)式后

m项去掉，得到新的n-m次近似多项式（2.18）使误差

例求在上的近似多项式，要求偏差小于解将在处Taylor展开，由于故应取n=6，满足偏差要求的、以Taylor级数的部分和所作的近似多项式为

其误差

又由于

则

用做的近似多项式，其误差例求在上的近似多项式，要求偏差小于解若用chebyshev多项式的零点作插值多项式来逼近f(x)故也应取n=5.

若用chebyshev多项式的零点作插值多项式来逼近f(x)由(2.14)式，误差为故也应取n=5，即用T5(x)的5个零点做一个4次插值多项式L4(x)才能使误差满足要求

2.2.2一般正交多项式

对首项系数的n次多项式序列

如果满足则称多项式序列在区间[a,b]上带权正交。

表2-2常用的正交多项式

它们与Chebyshev正交多项式类似，有递推关系式，正交性等

2.3最佳平方逼近

定义设，，积分

称为函数与在区间[a,b]上的内积

性质C为常数当且仅当f为0时等式成立(2.21)

定义设，，…,在区间[a,b]上连续，若

仅当成立，则，，…,在区间上线性无关。否则

为线性相关。性质：正交函数系是线性无关的设函数关系式有如下线性关系

分别用乘之，并积分得

（2.22）

系数矩阵的行列式为

记为函数系的Gramer行列式

定理2.3函数在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件：

线性无关的充分必要条件：2.3.2最佳平方逼近

定义对找到一个函数使最小，即

式中

是确定的线性无关的函数系。(2.23)根据多元函数极值原理，方程的解必须满足

于是有正规方程

（2.24）定理2.4

正规方程组（2.24）有唯一解。

定理2.5

设

是正规方程组（2.24)的解，则是式（2.23）的解。

例2.3

设求使最小。

解设

即取

则，a,b,c应满足正规方程组

于是

解之得

所以

平方误差在实际问题中正规方程组（2.24）的阶数较高时，其系数矩