离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值与方差一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)=()A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5+m+0.2=1得m=0.3,.\E(X)=1X0,5+3X0.3+5X0.2=2.4,・・.D(X)=(1-2.4)2X0.5+(3—2.4)2义0.3+(5—2.4)2X0.2=2.44.答案C.(2017・西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400解析设没有发芽的种子有之粒，则之〜B(1000,0.1),且X=2L.・・E(X)=E(2C)=2E(C)=2X1000X0.1=200.答案B.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,P的值为()A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1解析由二项分布X〜B(n,p)及E(X)=np,D(X)=np・(1—p)得2.4=np,且1.44=np(1—p),解得n=6,p=0.4.故选B.答案B.已知随机变量X+n=8,若X〜B(10,0.6),则E(n),D(n)分别是()A.6,2.4B.2,2.4C.2,5.6D.6,5.6解析由已知随机变量X+n=8,所以有n=8—X.因此，求得E(n)=8—

E(X)=8—10X0.6=2,D(n)=(—1)2D(X)=10X0.6X0.4=2.4.答案B.口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5A.4B.4.5C.4.75D.5解析由题意知，X可以取3,4,5,P(X解析由题意知，X可以取3,4,5,P(X=3)=1*=1,C310

5C23P(X=4)=t=—''C3105C263P(X=5)=-^=—=—,P(X5)C3105,5133所以E(X)=3X元+4义m+5*5=4,5，答案B二、填空题6.设X6.设X为随机变量，X〜B(n1、o，若随机变量X的数学期望E(X)=2=2)等于解析由X〜B(nE(X)=2,得，n=6,则P(X=2)=C2-I3)11、4803)=243,80答案243D(C)=7•随机变量之的取值为O'一,若PT：0D(C)=解析设P«=1)=a,P(C=2)=b,a=3,a=3,

5b=1,

5,，卜1-+a+b=1,J5解得］4+2b=1,1312所以个――f一"十2r2'5二答案.(2017•合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元.解析由题意知a+2a+4a=1,・・・a=7,・♦•获得一、二、三等奖的概率分别124124为7,7,7,・,・所获奖金的期望是E(X)=7X7000+7X5600+7X4200=5000元.答案5000三、解答题.(2017•成都诊断)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表：、态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数之的分布列和数学期望.

解⑴因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,所以/0.05,解得x=60.所以持“无所谓”态度的人数为3600—2100—120—600—60=720,所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720义/黑=72人.3600(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人,所以在所抽取的6人中，在校学生为110X6=4人，社会人士为售X6=2180180人，于是第一组在校学生人数之=1,2,3,C1C1C21P（之=1）=-t^=-,C356C3C01P（之=3）=方=5,6所以之的分布列为C2C13P（之=2）=寸=.C356C123P131555131所以E«）=1X5+2X5+3X5=2..(2017•郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1〜6)登台演出,由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星,各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.解(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则n/八C12C23P(n/八C12C23P(A)—k=.P(B)=4=工，C25C3555・•・媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为2('P(AB)—-x|1-f5_4_5)25.C21⑵P(C)—花一5,

C326由已知得X的可能取值为0,1,2,3,(P(X=0)=P(ABC)—1V|、5)3、5)’1V2)25P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=5X1-3、(1、(2、5户=5X1-3、(1、(2、5户1-工+1-2)_3(二X-X1-5)51、(2、(3、19工+1-XV1-5JX2—-,2)P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)23——X—X155(1、5+23——X—X155(1、5+工X12)53、5)X2’1V2、31192313PIX^XPIABCX^eXt^・・・X的分布列为X0123P319193255050253191933一()—0X25+1X50+2X50+3X|5—|,.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=()8A，568A，56B，54C，52D，5一一」(3、解析由题意，X〜B5,汴V山十3)又E(X)==3,，m=2,m＋3则X〜B(则X〜B(51,5).3(故D(X)=5x5x1135_6答案B.袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3,…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设之为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4，5，则有两组相邻的标号3，4和4此时占的值是2),则随机变量之的均值£«)为()1A.6解析依题意得，之为3,4，5，则有两组相邻的标号3，4和4此时占的值是2),则随机变量之的均值£«)为()1A.6解析依题意得，之的所有可能取值是0,12.且P«=0)C35=T=一P«=2)C39C1112,C2P«=1)=T=—?=,C312,9因此E«)=0X•A2C39包T1212,12卜1X2+2义调=3答案D.马老师从课本上抄录一个随机变量之的分布列如下表:x123p«=x)?!?请小牛同学计算之的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊,但能断定这两个“？”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E«)=.解析设“？”处的数值为x,则“！”处的数值为1—2x,则E(W)=1Xx+2X(1—2x)+3x=x+2—4x+3x=2.答案2.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量乂(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；年入流量X40<X<80年入流量X40<X<8080WXW120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解⑴依题意,pi=p（40<x<80）=?=0.2,35P2=P（80WxW120）=5o=0.7,5P3=p（x>i20）=50=0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为/9X./9\3门)p=C0(1-p)4+Ci(1-p)3p=—+4X—X—=0.9477.43433<1071l。7<107⑵记水电站年总利润为Y(单位：万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000X1=5000.②安装2台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p=0.2；当XN80时，两台发电机运行，此时1Y=5000X2=10000,因此P(Y=10000)=P(XN80)=P2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)=4200X0.2+10000X0.8=8840.③安装3台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p=0.2；1当80WXW120时，两台发电机运行，此时Y=50