微积分8-2二重积分的计算

*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第十章D为X-

型区域D为Y-型区域一、利用直角坐标计算二重积分引:曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作例.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X-

型区域则若D为Y-型区域则一、利用直角坐标计算二重积分当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y

-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X-型区域,则解法2.将D看作Y-型区域,

则例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则oxy11Dy=xxyoxy11Dy=xD1D2oy-111练习1.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X-型域:先对x积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.练习2.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y-型区域,则三、关于利用对称性积分的问题(1)若D的图形关于x轴对称.(i)若f(x,–y)=f(x,y),

其中点(x,–y)与(x,y)关于x轴对称，即函数也关于x轴对称.yx0D2D1(ii)若f(x,–y)=–f(x,y),(2)若D的图形关于y轴对称.yx0D2D1若f(–

x,y)=f(x,y).其中

(–x,y)是(x,y)的关于y轴的对称点.(ii)f(–x,y)=–f(x,y)，则例5.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,二、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为即设则特别,对此时若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)为什么引用极坐标计算二重积分？21D0y

xD1D2D3D4D:.怎么计算？需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦必须把D分块儿!此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！21D0y

x变换到极坐标系..

D:r=1和

r

=2围成DoxyDoxy0y

x2R区域边界：.r=2Rsinr=2Rsin0y

x12

y=xD0y

x4r=4cosr=8cos8D1223.计算y=2xx=y解:I=例7.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,①故①式成立.又例8.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知练习.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得*三、二重积分换元法

定积分换元法满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,证:根据定理条件可知变换T可逆.

用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xOy面上得到一个四边形,其对应顶点为则同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,例8.

计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令则例9.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令则例10.

试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分