微波技术基础 导波的场分析,麦克斯韦方程 边界 横纵

1.微波的波长(或频率)范围。2.什么是导波系统和导波，导波系统的基本功能和功用有哪些？

3.常将导波系统分成哪三类？每类导波系统的结构和导波的特点是什么？复习1.2导波的场分析(附录II)

一附录Ⅱ1.麦克斯韦方程组2.波动方程3.边界条件1.2导波的场分析

二.导波场的纵向分布和横向分布三.

导波场的横向分量与纵向分量麦克斯韦方程组一在均匀、线性、各向同性媒质中正弦电磁场的麦克斯韦方程组(Ⅱ.1a

)(Ⅱ.1b

)(Ⅱ.1c

)(Ⅱ.1d

)1.2导波的场分析(附录II)

式中(Ⅱ.2

)(Ⅱ.3)1.2导波的场分析(附录II)

介质特性方程(Ⅱ.4a

)(Ⅱ.4b

)(Ⅱ.4c

)ε－电容率或介电系数，F/m;μ－磁导率，H/m；σ

－电导率，S/m式中是表征介质电磁特性的三个参量，其中真空介电系数与磁导率分别为1.2导波的场分析(附录II)

电流连续性方程，由式(Ⅱ.1b)和(Ⅱ.1c)可得电流连续性方程(Ⅱ.5

)1.2导波的场分析(附录II)

矢量波动方程或矢量亥姆霍兹方程取式(Ⅱ.1a

)的旋度并与式(Ⅱ.1b

)联立得(Ⅱ.1a

)(Ⅱ.1b

)取式(Ⅱ.1b)的旋度并与式(Ⅱ.1a

)联立得利用矢量微分公式可得1.2导波的场分析(附录II)

(Ⅱ.6a

)取J＝0时(Ⅱ.6

)可得(Ⅱ.7a

)(Ⅱ.7b

)(Ⅱ.8

)式(Ⅱ.7)称为电场和磁场的矢量波动方程或矢量亥姆霍兹方程。考虑式(Ⅱ.1c)、(Ⅱ.1d)和(Ⅱ.5)的关系，可得(Ⅱ.6b

)(Ⅱ.5

)(Ⅱ.1c

)1.2导波的场分析(附录II)

边界条件(一)一般介质的边界条件介质1和介质2分界面上有表面自由电荷ρs和表面传导电流Js的边界条件，设为分界面法向(指向介质1)单位矢量，则边界条件为1.2导波的场分析(附录II)

(二)理想介质边界的边界条件两种理想介质边界两侧的D和B的法向分量以及E和H的切向分量都是连续的。两种理想介质的边界电磁场边界条件示意图1.2导波的场分析(附录II)

(三)理想导体表面的边界条件为导体表面的外法向单位矢量。在理想导体表面，电场E总是垂直于表面，而磁场B总是平行于表面。自由电荷和电流都集中在导体表面很薄的表层内。理想导体的表面电磁场边界条件示意图1.2导波的场分析(附录II)

(四)非理想导体()表面阻抗条件非理想导体表面对电磁波呈现一个表面阻抗，且为电阻与电抗相等的感性阻抗，其值为

式中为导体的趋肤深度。当导体存在表面电流时，该电流与表面切向电场有如下关系

式中由代入可得

为方便起见，我们限定不同形式的导波系统所引导的电磁波虽然具有不同特点，但它们都属于导波，且有其共同的规律。本章就是研究导波的共性，即不考虑导波系统横向的具体边界，只讨论导波的一般特性。(1)导波系统是匀直无限长的。也就是说导波系统的横截面形状、尺寸以及媒质参量沿传输方向(导波系统的轴向)不变。(2)导波随时间的变化为正弦变化，用复数表为1.2导波的场分析

1.2导波的场分析

式中

k是无界媒质中电磁波的传播常数，媒质无耗时(1.1a)λ为无界媒质中电磁波的波长。用场方法研究导波，就是在导波系统边界条件的限制下，求解电磁场的矢量波动方程，或称矢量亥姆霍兹方程，获得系统中任一点的电磁场，再由电磁场表达式分析导波的特性。矢量亥姆霍兹方程由麦克斯韦方程联立导出(见附录Ⅱ)，其表示式为(1.1b)1.2导波的场分析

从波动方程出发解得的导行波场矢量为时、空四维函数，求解的方法归结为“三分离一关系”1.2导波的场分析

2.纵横分离1.时空分离3.变量分离4.由场纵向分量求场横向分量的关系式场分量均为(u,v,z)的函数场分布，有横向分布，纵向分布图1.2以图1.2所示的结构代表各类匀直的导波系统，采用广义坐标(u，v，z)，其中(u，v)为横坐标，z为纵坐标，z与导波系统轴向一致。二.导波场的纵向分布和横向分布二导波场的纵向分布和横向分布导波的电场E、磁场H在空间一般是三维坐标的函数。亥姆霍兹方程是变量可分离的方程，常采用分离变量法求解。(1.2a)(1.2b)考虑到目前z方向没有边界，是电磁波的传播方向。而横截面形状未定，因此我们可先进行纵横分离。设电场、磁场为式中是横向坐标矢量函数。简写为，Z(z)是纵向坐标函数，简写为Z。二导波场的纵向分布和横向分布考虑将(1.2a)代入式(1.1a)得得(1.3)即上式左端是z的函数与u，v无关，右端是u，v的函数与z无关，显然只有左右两端都等于某一常数时，该方程才成立。γ称为导波的传播常数。

二导波场的纵向分布和横向分布(1.1a)(1.4)(1.6)以同样的步骤可得磁场的两个方程(1.7)令这个常数为，于是得到电场的两个方程(1.5)二导波场的纵向分布和横向分布

由式(1.4)至(1.7)可知，场对坐标的关系可以分为场的横向坐标函数和纵向坐标函数Z，它们分别满足不同的方程。满足坐标u、v的二维矢量波动方程，Z满足坐标z的二阶常微分方程。(1.8a)(1.8b)式中式(1.4)和式(1.6)又可分别写成如下形式(1.9)kc为方程(1.8)的本征值,为对应于本征值的矢量本征函数。不难想象，由于横向有边界限制，导波在横截面上的分布是一种驻波状态。驻波的分布情况要由具体边界条件确定[式(1.8)的解法见附录III]。二导波场的纵向分布和横向分布k是无界媒质中电磁波的传播常数(1.4)方程(1.5)和(1.7)是形式完全相同的二阶常微分方程，其通解为(1.10)(1.11)将式(1.11)代入式(1.2a)和(1.2b)并乘上时间因子便得到导波场的通解形式

(1.12a)(1.12b)常数已分别包含在中。由式(1.12)可以分析得到导波场沿导波系统纵向和横向分布的特点。二导波场的纵向分布和横向分布简记为(1.5)(1.2a)(1.2b)(一)导波场沿纵向分布的特点式(1.12)表明，导波电场、磁场沿z为指数变化，变化的特点决定于γ。当γ为实数时,场振幅沿z按指数规律变化,相位沿z不变；当γ为虚数时,场振幅沿z不变化,相位沿z变化；当γ为复数时,场振幅和相位沿z均按指数规律变化。根据波沿相位滞后方向传播的性质可知，γ为实数时，场沿z的变化不是波动，而是一种按指数规律分布的场，称为导波截止状态；γ为虚数和复数时，场沿z才是波动变化的，称为导波的传播状态。二导波场的纵向分布和横向分布(1.12)(1.13)α称为导波的衰减常数，代表导波沿z单位长度上的衰减；β称为导波的相位常数，代表导波沿z单位长度上的相移。下面进一步分析导波场的传播条件和截止条件。现假定导波系统无耗(既无金属损耗，也无介质损耗)，这样由式(1.9)得；式中从量纲考虑可以写成(1.14)fc和λc的意义后待说明二导波场的纵向分布和横向分布γ称为导波的传播常数。传播常数为复数时，表为传播常数kc截止波数1.f>fc(或

λ

<λc)

若为正实数(由后面(1.84)可见，导波系统为金属柱面波导时为正实数)

，γ值可能出现以下三种情况：

即传播常数为纯虚数，可表为

这时导波属于无衰减的传播情况，波的振幅不随z改变，相位随z而变。若将波在不同时刻t沿z的分布图绘出，如图1.3(a)所示。

(1.16)(1.17)(1.18)二导波场的纵向分布和横向分布等幅行波

必须指出，若考虑导波系统的损耗时，上述γ则为复数，即式中α为导波系统的损耗引起的衰减，此时为有衰减传播的情况。由于实际的导波系统其损耗都是很小的，因此本书将导波系统损耗的影响放在导波衰减一节中去，分析导波的其他性质时则不考虑导波系统的损耗。这样γ为虚数时即代表了波的传播状态，与此相应的条件f>fc(或λ<λc)称为传播条件。二导波场的纵向分布和横向分布渐衰行波，热耗散

2.f<fc(或

λ>

λc)

传播常数为实数，可表为这种情况属于非传播情况。场的振幅沿z指数减小，场沿z无相移，说明没有波沿z传播。这里的α’与有耗导波系统在传播情况下的衰减常数α意义不同，它不是能量损耗，而是代表场振幅沿z呈衰减分布。场仅随时间振动，不同时刻t，场的分布图如1.3(b)所示。这种状态为导波截止状态，条件f<fc(或λ>λc)称为截止条件。(1.19)二导波场的纵向分布和横向分布瞬衰波，能量未热耗散

3.f=fc(或λ=λc)

这种情况介于上述两种情况之间，传播常数为零，场的振幅和相位均不沿z变化，因此也无波沿z传播。场也仅随时间振动，不同时刻t，场沿z的分布如图1.3(c)所示。它是波从传播到不传播的临界情况，但它属于截止状态。此时的频率fc称为临界频率或截止频率。波长λc为临界波长或截止波长。相应的kc称为截止波数。(1.22)波在实际传说中无临界状态，波被传输或截止时都伴有能量耗散，称为“电阻性衰减”，而无耗线中，波被截止时，实为能量暂存，故可称之为“电抗性衰减”。

二导波场的纵向分布和横向分布特点:是相速大于平面波速，即大于该媒质中的光速，而群速则小于该媒质中的光速，同时导波波长大于空间波长。这是一种快波。②,临界状态沿z方向没有波的传播过程，k称为临界（截止）波数。临界（截止）角频率临界（截止）频率临界（截止）波长二导波场的纵向分布和横向分布③

这时场的振幅沿z方向呈指数变化而相位不变，它不再是行波而是衰减场。式中第一项代表沿+z方向衰减的，第二项代表沿-z方向衰减的场。这种状态称为截止状态或过截止状态。这种导行波的相速小于无界媒质中的波速，而波长小于无界媒质中的波长，这是一种慢波→可用周期结构实现。二导波场的纵向分布和横向分布能够传输慢波的结构称为慢波结构或慢波系统或慢波线。当需要电子与场相互作用时常用到慢波系统，如行波管。由本征值问题的定理可知，具有齐次边界条件的导波系统不可能存在，因此，光滑导体壁构成的导波系统中不可能存在慢波。存在慢波的传输系统必然是由某些阻抗壁构成的。综上分析可知，电磁波沿无限长匀直导波系统纵向分布可能有传播和截止两种状态。处于传播状态的波叫传播波或传播模，处于截止状态的场叫截止场或截止模。下面我们先小结一下，接着重点研究传播波。二导波场的纵向分布和横向分布二导波场的纵向分布和横向分布(二).导波场沿横向分布的特点(1.8a)(1.8b)(1.9)导波场的横向分布决定于。由于导波系统的横向边界尚未给出，场的横向分布函数暂不能解出(放在第二章讨论)。但是导波系统的横向总是有边界的，因此前面曾推断场沿横向是一种驻波分布。同时，因是kc的本征函数，kc与γ有关，表明不同横向分布的场其传播特性不同。(1.12a)(1.12b)二导波场的纵向分布和横向分布导波的电场E、磁场H一般是三维空间矢量。为便于分析，常常将其分为横向分量和纵向分量。若省去时间因子，电场、磁场可表为(1.23a)(1.23b)三.导波场的横向分量与纵向分量

代表横向电场、横向磁场的横向分布矢量函数；代表纵向电场、纵向磁场的横向分布矢量函数；+为沿+z方向传播波(下面简称正向波)的场，常略去“+”。

－为沿－z方向传播波(简称反向波)的场。

三导波场导波场的横向分量与纵向分量

反向波的场可有以下两种取法当正向波的场用下式(1.25a)证明如下(1.24a)(1.24b)(1.25b)三导波场导波场的横向分量与纵向分量

求证：将正向波场的表达式(1.24a)和(1.24b)代入麦克斯韦方程的电场旋度方程，，考虑到约去共同因子，展开得(1.24a)(1.24b)三导波场导波场的横向分量与纵向分量

由等式两端横向分量和纵向分量分别相等可得(1.26a)同理，将式(1.24a)和(1.24b)代入麦克斯韦方程的磁场旋度方程可得(1.26b)(1.27a)(1.27b)三导波场导波场的横向分量与纵向分量

(1.26)和(1.27)中前要变号(由-γ变为+γ)。为使等式成立(1.25a)(1.25b)对于正向波，取式(1.26a)将导波场分解为横向分量和纵向分量两部分后，根据麦克斯韦方程还可导出横向分量与纵向分量之间更明确的关系式。按照这些关系式，便可以由纵向分量求得横向分量，也可以由横向分量求得纵向分量。下面将导出这样的关系式。(1.26a)式中利用矢量微分公式得因为是常矢量(单位矢量)，故,式(1.26a)变为三导波场导波场的横向分量与纵向分量

用×(1.28)与×(1.29)相加可以消去项，得

即(1.28)(1.29)同理式(1.27a)可变为(1.30)三导波场导波场的横向分量与纵向分量

(1.27a)右乘利用矢量代数公式式(1.30)右端第一项为(1.31)(1.30)式(1.30)左端第一项为考虑到，，，于是式(1.30)变为即三导波场导波场的横向分量与纵向分量

同理可得(1.32)式(1.31)和(1.32)便是由场的纵向分量表示横向分量的式子。当然，也可导出由横向分量表示纵向分量的式子。

(1.31)三导波场导波场的横向分量与纵向分量

1.3导波的分类及各类导波的特性一.导波的分类二.TEM波的特性分析

三.TE波、TM波的特性分析

1.3导波的分类及各类导波的特性

一.导波的分类

导波的类型是指满足无限长匀直导波系统边界条件，能独立存在的导波形式。通常是按导波有无纵向场分量来分类，这样导波可以分两大类。1.无纵向场分量，即Ez=Hz=0的电磁波，这种波只有横电磁场，故称为横电磁波(TEM波)，电、磁力线位于导波系统的横截面内。横电磁波只能存在于多导体导波系统中，如双线、同轴线等这类导波系统中。一导波的分类

自由空间波(TEM波)：Ex、Ey、Hx、Hy、Ez＝0、Hz＝02.有纵向场分量的电磁波，这种波又细分为以下三种类型。1).Ez=0，Hz≠0的波称为横电波(TE波)或磁波(H波)。其电力线全在导波系统的横截面内，磁力线为空间曲线。2).Ez≠0，Hz=0的波称为横磁波(TM波)或电波(E波)。其磁力线全在导波系统的横截面内，电力线为空间曲线。3).Ez≠0，Hz≠

0的波称为混合波(EH波或HE波)。这种波可视为TE波和TM波的线性叠加。一导波的分类

TE10TM112.有纵向场分量的电磁波，这种波又细分为以下三种类型。1.Ez=0，Hz≠0的波称为横电波(TE波)或磁波(H波)。其电力线全在导波系统的横截面内，磁力线为空间曲线。2.Ez≠0，Hz=0的波称为横磁波(TM波)或电波(E波)。其磁力线全在导波系统的横截面内，电力线为空间曲线。3.Ez≠0，Hz≠

0的波称为混合波(EH波或HE波)。这种波可视为TE波和TM波的线性叠加。前两种波，TE波和TM波可以独立存在于金属柱面波导、圆柱介质波导和无限宽的平板介质波导中。后一种波(EH波或HE波)则存在于一般开波导和非均匀波导(如波导横截面尺寸变化，波导填充的介质不均匀等)中，这是由于单独的TE波或TM波不能满足复杂的边界条件，必须二者线性叠加方能有合适的解之故。一导波的分类

二.TEM波的特性分析(Ez=0，Hz=0)二.TEM波的特性分析

(一).场分量(二).传播特性(三).TEM波场沿横向分布的特点

若Ez=0，Hz=0，即ez=0，hz=0，代入式(1.26a)和(1.27a)得二.TEM波的特性分析(Ez=0，Hz=0)(一).场分量(1.26a)(1.27a)(1.33a)(1.33b)看出(1)(2)按成右手螺旋关系。二.TEM波的特性分析

(1.34a)(1.33b)将(1.33b)得(1.33c)(1.33a)由式(1.33a)和(1.33c)可得TEM波的波阻抗和波导纳为(1.34b)二.TEM波的特性分析

(1.36a)(1.35a)(1.35b)(1.36b)场的完整表达式为于是式(1.33)又可写成二.TEM波的特性分析

由式(1.31)和(1.32)可见，当时，要使等式左端的场不为零(横场若为零，则TEM波不存在)，只有kc等于零，即TEM波有由可得(1.32)(1.37)(二).传播特性(1.31)(1.38)此式说明TEM波无低频截止，即双线、同轴线等传输线，理论上可以传播任意低频率的电磁波。二.TEM波的特性分析

将kc代入式(1.15)可得(1.39)或此式表明导波中TEM波的传播常数与无界均匀媒质中电磁波的传播常数相同，事实上电磁波在无界空间传播时其电场和磁场也处于与传播方向相垂直的横平面内，也是一种TEM波。二.TEM波的特性分析

(1.15)二.TEM波的特性分析

由式(1.34)可得TEM波的波阻抗为(1.34a)

由式(1.36)容易求得TEM波的相速vp和波长，习惯上常将导波的波长称作波导波长，用λg表示。波的相位速度定义为波的等相位面向前移动的速度，可由相位恒定求出。例如对TEM波的正向波，可使式(1.36)中并对t求导得(1.40)(1.41)(1.36)二.TEM波的特性分析

波导波长λg定义为波在一周期时间内沿导波系统传播的距离。即以上三式的结果表明，导波中的TEM波的波阻抗、相速和波导波长也与无界均匀媒质空间电磁波的阻抗、速度和波长相同。因为二者的传播常数相同，这样的结果是自然的。波的相速与频率无关，这种特性称为无色散(波的速度随频率变化而变化的现象称为色散)TEM波为无色散波。(1.42)将ez=hz=0代入式(1.27b)和(1.26b)有(1.43a)的横向旋度为零,不仅如此。由于TEM波没有纵向磁通,在横平面上的环量也为零；的横向旋度为零(应该说在没有体电流处是这样),但由于传播TEM波的导波系统可以存在纵向电流，因此在横平面上的环量不一定为零。这说明TEM波场在导波系统在截面上的分布与边界条件相同的二维静场完全一致。(1.43b)(三).TEM波场沿横向分布的特点

二.TEM波的特性分析

(1.26b)(1.27b)一致仅指场在横截面上的分布而言，场对变量z和t的关系二者完全不同，TEM波为，而静场与t、z无关。因此，求TEM波的横向分布函数，可以采用求静态场完全类似方法。因，故可表示为某个二维标量位的梯度(任何标量函数的梯度为零)。

(三).TEM波场沿横向分布的特点

二.TEM波的特性分析

二.TEM波的特性分析

设标位函数为，可得由式(1.35b)得利用麦克斯韦方程有对TEM波有(1.44a)(1.44b)(1.45)(1.46)将式(1.44a)代入(1.46)可得二.TEM波的特性分析

此式表示标位函数是拉普拉斯方程的解，于是求解TEM波的场就是求满足边界条件的拉普拉斯方程的