2018届数学专题2.4导数的应用（二）同步单元双基双测（B卷）理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE24学必求其心得，业必贵于专精专题2。4导数的应用（二)（测试时间:120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1。曲线上一点和坐标原点的连线恰好是该曲线的切线,则点的横坐标为()A．e B.C．e2 D．2【答案】A考点：导数的几何意义2.已知函数y=2x3＋ax2＋36x－24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是A.（2，3） B。(3，＋∞）C.（2，＋∞) D.（－∞,3)【答案】B【解析】本题考查常见函数的导数,可导函数f′(x）=0与极值点的关系，以及用导数求函数的单调区间.y′=6x2＋2ax＋36.∵函数在x=2处有极值，∴y′｜x=2=24＋4a＋36=0，即－4a=60.∴∴y′=6x2－30x＋36=6（x2－5x＋6)=6(x－2）(x－3）.由y′=6(x－2)（x－3）＞0，得x＜2或x＞3。考点：导数与函数的单调性3.已知函数，若在区间上单调递减,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:因为，令，所以函数的单调递减区间为,要使在区间上单调递减,则区间是区间的子区间，所以，从中解得，选D.考点：函数的单调性与导数。4。【2018海南八校联考】已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（）A.B.C。D.【答案】B点睛：解答本题的关键是如何借助题设条件建立不等式组,这是解答本题的难点，也是解答好本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。5。已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D。【答案】A【解析】，在上有两个不同的零点，令，得,设，则，在上单调递增，在单调递减,当时，,当时，，，故选A.【名师点睛】本题主要考查了函数的极值以及零点，已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象，然后数形结合求解．6.【2018吉林百校联盟九月联考】已知当时,关于的方程有唯一实数解,则距离最近的整数为（)A.2B.3C.4D。5【答案】B函数h(x)的最小值为，则存在满足h(x）=0，据此可得：距离最近的整数为3.本题选择B选项。点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增(减），求参数范围问题，可转化为f′（x)≥0(或f′（x)≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝"是否可以取到．7。设f（x）是定义在R上的奇函数,且f(2)=0，当x〉0时，有恒成立，则不等式的解集是A.(-2,0)∪（2，+∞）B。（—2，0）∪(0，2）C。（-∞,—2）∪（2,+∞）D.（—∞，-2)∪(0,2）【答案】D【解析】即，解得故选D考点：利用导数求不等式的解集8。【2018山西山大附中调研】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有(是自然对数的底数）,,若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A。B。C。D。【答案】C【解析】当时,即解,构造函数，可令：，所以，由，得：，由，得:得出解为，其中恰有两个整数，所以时成立，排除A、D.当，则，，得：函数在上递减，上递增,此时的解集至少包括，所以不合题意,故不能取，排除B,本题选C.9.已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】考点：1.函数与导数；2.零点。【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点，可以转化为，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数在区间上为增函数，通过已知条件分析,即当时，，为增函数,当时，,为减函数,由此判断这两个函数在区间上有一个交点.10。【2018辽宁沈阳联考】函数的导函数为，满足,且,则的极值情况为（）A。有极大值无极小值B。有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D。既无极大值也无极小值【答案】D【解析】将代入可得：则=令则,当时，，当时,，故当时,取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选点睛:根据已知条件要先构造出的解析式的形式，再根据求出，当一阶导数不能判定时可以求二阶导数，利用二阶导数反应一阶导数的单调性，从而反应出原函数的性质.11.【2018天津河西区三模】设函数f′（x)是奇函数f（x）(x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x〉0时，xf′（x）－f（x)〈0，则使得f(x）〉0成立的x的取值范围是(）A.(－∞，－1)∪(0，1）B。（－1,0）∪(1，＋∞)C。(－∞，－1）∪（－1，0）D。（0，1）∪(1,＋∞)【答案】A考点:函数性质综合应用12。【2018江西省上饶市一模】已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有,且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（)A。B。C.D。【答案】A【解析】由题意知必存在唯一的正实数，满足，①,∴②,由①②得：，∴,解得．故，由方程在区间上有两解，

可得两图象只有一个交点，将的图象向上平移，至经过点，有两个交点，由，即，解得，当时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A．二．填空题(共4小题,每小题5分，共20分）13.若函数在区间单调递增,则的取值范围是【答案】[2，)【解析】试题分析：由题：求导得；，在区间内是增函数，则；考点：导数与函数的单调性及求参数的取值范围。14。设函数。其中,存在使得成立，则实数的值为__________．【答案】【解析】试题分析：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离,则，根据题意，要使，则,此时恰好为垂足,由，解得.考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题。把函数看作动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点,得到曲线上点到直线的距离的最小值,结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系式求得实数的值.15.【2018安徽合肥高三调研】已知函数,若有且仅有一个整数，使，则实数的取值范围是__________．【答案】点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数，使"。求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数使得或”。进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行求导,依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在处取最大值，从而借助题设条件得到不等式组，通过解不等式组使得问题获解.16.【2018山西45校联考】已知函数满足，当时，，设，若方程在上有且仅有个实数解，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】当时，，当时，，从而，故有，由，可得,在同一坐标系内画出与的图象如图所示:设为的切线，为切点，，由图可知，当位于切线和割线之间时，图象与的图象有三个交点，设，由，可得切线，又过,解得,故，又，当方程在上有且仅有个实数解时，实数的取值范围为，故答案为。【方法点睛】判断方程根的个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数,结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题。本题就利用了方法③。三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.设函数(Ⅰ）若，求的单调区间;（Ⅱ）若当≥0时≥0，求的取值范围．【答案】（I）函数的增区间为（)，（），减区间为（－1，0）。（II）a≤1.【解析】x＞0，f＇(x)＞0,f(x）单调递增，故函数的增区间为（)，（），减区间为（－1，0）.(II)若当≥0时≥0，所以,则当x=0时,有:f'（x)=0。且f（0)=0已知当x≥0时，f（x）≥0所以，必须满足在x＞0时，f’(x）＞0，则：x＞0时，0,所以，≥0，得a≤1。考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，根据不等式成立求参数值.18.已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线经过点（0,1），求实数的值;（Ⅱ）求证:当时，函数至多有一个极值点;【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：(Ⅰ)对进行求导，利用导数的几何意义以及两点间斜率计算公式可得，可得的值；(Ⅱ）当时，利用与的关系,判断的单调性,易得在上单调递增,无极值;当时，把函数至多有一个极值点转化为至多有一个零点，令,对进行求导,讨论的单调性,得其最多有一个零点，故可得证.试题解析：（Ⅰ）由,得。所以，。所以由得。（Ⅱ）证明：当时，当时，,函数在上单调递增，无极值；当时，令，则.由得，则①当，即时，，在上单调递减，所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点。所以函数在上至多有一个极值点。②当，即时，及随的变化情况如下表：因为，所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点。所以函数在上至多有一个极值点。综上，当时，函数在定义域上至多有一个极值点.考点:（1)利用导数研究函数在某点处的切线;（2）导数与极值单调性的关系。19.【2018河北衡水武邑高三调研】设函数，。（1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；（2)当时，恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)的取值范围为；（2）的取值范围为.（1）方程即为令则．∴当时，随变化情况如下表：13+0-↗极大值↘∵，，，∴当时，，∴的取值范围为（2）依题意，当时，恒成立令,则令，则当时，,∴函数在上递增,∵，，∴存在唯一的零点，且当时,,当时，，则当时，,当时，.∴在上递减,在上递增，从而.由得，两边取对数得,∴,∴，∴即实数的取值范围为。20.已知函数,其中为大于零的常数．(Ⅰ)当a＝1时，求函数的单调区间，(Ⅱ）求函数在区间［1,2］上的最小值；(Ⅲ）求证：对于任意的n>1时，都有>成立．【答案】(1）增区间为（1，+∞），减区间为（0，1)；（2）①当②当时，③当；（3）证明见解析．【解析】试题解析:（Ⅰ）当a＝1时，．当x〉1时,；当0〈x<1时，．∴f（x)的增区间为（1,+∞），减区间为（0，1）．（Ⅱ）当时,在（1，2）上恒成立,这时在[1,2]上为增函数．当在（1,2）上恒成立，这时在［1，2]上为减函数当时，令又综上，在[1,2]上的最小值为①当②当时,③当（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数上为增函数,当即恒成立恒成立.考点：1。函数的单调性；2。导数的应用；3。放缩法。21。【2018河南名校联考】已知函数。（1）当时,求函数的单调区间；（2）若存在，且，使得，求证：。【答案】（1)单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.试题解析：(1)当时,，又,由，所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为。（2)由,当时，，此时在R上单调递增；由可得，与相矛盾，所以，且的单调递增区间为，单调递减区间为。若，则由可得，与相矛盾，同样不能有,不妨设，则由，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，.由,，可得，故，又在上单调递减，且，所以，所以，同理，即，解得，所以.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题。处理导数大题时,注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手,求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数,利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会。22.【2018湖南株洲两校联考】设函数．（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）最小值为；（II）【解析】试题分析：在上为减函数，等价于在上恒成立，进而转化为，根据二次函数的性质可得命题“若存在,，使成立”等价于“当时,有”，由易求,从而问题等价于“当时,有”，分,两种情况讨论：当是易求，当时可求得的值域为，再按两种情况讨论即可解析：(1）由已知得，因在上为减函数，故在上恒成立。所以当时。又，故当时，即时,。所以，于是,故的最小值为.当时，由于在上