2017版数学知识方法篇专题1集合与常用逻辑用语二第2练含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2练用好逻辑用语,突破充要条件［题型分析·高考展望]逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高,特别是充分、必要条件几乎每年都有考查。体验高考1.（2015·山东)若m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B。若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案D解析原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若綈q，则綈p”.∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0"。2。（2015·天津)设x∈R,则“|x－2｜＜1”是“x2＋x－2＞0”的()A。充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D。既不充分也不必要条件答案A解析|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件，故选A。3.(2015·重庆）“x＞1”是“log（x＋2）＜0”的()A。充要条件B。充分不必要条件C.必要不充分条件D。既不充分也不必要条件答案B解析log(x＋2)＜0⇔x＋2＞1⇔x＞－1，因此选B.4。（2016·北京)设a，b是向量，则“|a｜＝｜b|”是“|a＋b｜＝|a－b|”的（）A.充分不必要条件B。必要不充分条件C。充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D解析由|a＋b|＝｜a－b｜⇔(a＋b）2＝（a－b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，故是既不充分也不必要条件，故选D。5。(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N＊，使得n≥x2”的否定形式是（）A.∀x∈R,∃n∈N＊，使得n＜x2B。∀x∈R，∀n∈N＊，使得n＜x2C。∃x∈R，∃n∈N*,使得n＜x2D.∃x∈R，∀n∈N＊,使得n＜x2答案D解析全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，n≥x2的否定是n＜x2,故选D.高考必会题型题型一命题及其真假判断常用结论：（1）原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；（2）四个命题中，真命题的个数为偶数;（3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真,只有p、q都真，p∧q真,否则为假；(4）全称命题的否定为特称命题,特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假.例1(1）（2015·安徽)已知m,n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m,n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D。若m，n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面（2）命题p:若sinx＞siny，则x＞y;命题q：x2＋y2≥2xy。下列命题为假命题的是（)A.p或qB.p且qC。qD.綈p答案（1）D(2)B解析（1）对于A,α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定,故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确。(2）取x＝eq\f（π,3),y＝eq\f（5π，6)，可知命题p不正确；由（x－y)2≥0恒成立,可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题。点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法。在解答时要有意识地去练习。变式训练1已知命题p：∀x∈R，x2＞0,命题q：∃α,β∈R，使tan（α＋β)＝tanα＋tanβ,则下列命题为真命题的是（)A。p∧q B.p∨（綈q)C.（綈p)∧q D.p∧（綈q）答案C解析因为∀x∈R,x2≥0，所以命题p是假命题,因为当α＝－β时，tan(α＋β）＝tanα＋tanβ，所以命题q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨(綈q)是假命题，（綈p）∧q是真命题，p∧（綈q)是假命题.题型二充分条件与必要条件例2（1）(2015·北京)设α,β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B。必要不充分条件C.充分必要条件D。既不充分也不必要条件答案B解析m⊂α，m∥β⇏α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，所以“m∥β”是“α∥β"的必要不充分条件。（2)已知（x＋1）（2－x）≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1＜0（m＞－eq\f(2,3))的解为条件q.①若p是q的充分不必要条件时,求实数m的取值范围；②若綈p是綈q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围。解①设条件p的解集为集合A,则A＝{x｜－1≤x≤2}，设条件q的解集为集合B，则B＝｛x｜－2m－1＜x＜m＋1｝，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＋1＞2，,－2m－1＜－1，,m＞－\f（2,3)，））解得m＞1。②若綈p是綈q的充分不必要条件，则B是A的真子集eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＋1≤2,,－2m－1≥－1,,m＞－\f（2，3)。))解得－eq\f(2，3)＜m≤0。点评判断充分、必要条件时应注意的问题（1)先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A。（2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明。（3）准确转化：若綈p是綈q的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件,那么p是q的充要条件.变式训练2(2015·湖北）设a1，a2，…,an∈R，n≥3。若p:a1，a2，…,an成等比数列;q:（aeq\o\al（2，1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al（2，n－1))·（aeq\o\al（2，2）＋aeq\o\al（2，3)＋…＋aeq\o\al(2,n)）＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2，则（）A.p是q的必要条件，但不是q的充分条件B。p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案B解析若p成立，设a1,a2,…,an的公比为q，则（aeq\o\al(2,1）＋aeq\o\al（2,2）＋…＋aeq\o\al(2,n－1))(aeq\o\al（2,2)＋aeq\o\al（2，3)＋…＋aeq\o\al(2,n))＝aeq\o\al（2,1)(1＋q2＋…＋q2n－4)·aeq\o\al（2，2)(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aeq\o\al（2，1)aeq\o\al(2,2）(1＋q2＋…＋q2n－4）2,（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2＝(a1a2）2(1＋q2＋…＋q2n－4）2，故q成立，故p是q的充分条件。取a1＝a2＝…＝an＝0,则q成立，而p不成立,故p不是q的必要条件，故选B.题型三与命题有关的综合问题例3下列叙述正确的是(）A.命题：∃x0∈R,使xeq\o\al（3，0)＋sinx0＋2〈0的否定为：∀x∈R,均有x3＋sinx＋2<0B。命题:“若x2＝1,则x＝1或x＝－1”的逆否命题为：若x≠1或x≠－1,则x2≠1C。已知n∈N，则幂函数y＝x3n－7为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1D.函数y＝log2eq\f（x＋m，3－x）的图象关于点(1，0）中心对称的充分必要条件为m＝±1答案C解析A：命题：∃x0∈R，使xeq\o\al(3,0）＋sinx0＋2<0的否定为：∀x∈R,均有x3＋sinx＋2≥0，故A错误；B：命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1，故B错误；C:因为幂函数y＝x3n－7在x∈（0，＋∞)上单调递减，所以3n－7〈0,解得n〈eq\f(7，3），又n∈N，所以n＝0，1或2；又y＝x3n－7为偶函数，所以，n＝1,即幂函数y＝x3n－7为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1,C正确；D：令y＝f（x）＝log2eq\f(x＋m，3－x），由其图象关于点（1，0）中心对称,得f（x)＋f（2－x)＝0,即log2eq\f（x＋m，3－x）＋log2eq\f(2－x＋m，3－2－x）＝log2eq\f(x＋m2＋m－x,3－x1＋x)＝0，eq\f（x＋m2＋m－x,3－x1＋x）＝1。整理得：m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3，当m＝－3时，eq\f(x＋m,3－x）＝－1<0，y＝log2eq\f(x＋m,3－x)无意义，故m＝1.所以，函数y＝log2eq\f（x＋m,3－x)图象关于点（1,0)中心对称的充分必要条件为m＝1，故D错误。点评解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件。若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可,因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一。变式训练3下列命题:①若ac2＞bc2，则a＞b;②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件;④若f(x）＝log2x，则f(｜x｜）是偶函数.其中正确命题的序号是________。答案①③④解析对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确;对于②，sin30°＝sin150°⇏30°＝150°，∴②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，∴③正确；④显然正确.高考题型精练1.已知复数z＝eq\f（a＋3i,i)(a∈R,i为虚数单位)，则“a＞0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A.充分不必要条件B。必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析z＝eq\f(a＋3i，i)＝－（a＋3i)i＝3－ai，若z位于第四象限,则a＞0,反之也成立,所以“a＞0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件。2。已知条件p:x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1,则p是q的(）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D。既不充分也不必要条件答案A解析因为p：x＋y≠－2,q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.3.(2015·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p:l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交,则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案A解析两直线异面,则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.4。(2016·天津)设｛an｝是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0"的(）A.充要条件B.充分不必要条件C。必要不充分条件D。既不充分也不必要条件答案C解析由题意得，a2n－1＋a2n＜0⇔a1(q2n－2＋q2n－1)＜0⇔q2（n－1)（q＋1）＜0⇔q∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件，故选C.5.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C。充分必要条件D。既不充分也不必要条件答案A解析当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分。综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD"的充分不必要条件。6.已知命题p：∀x∈R,x3＜x4;命题q:∃x0∈R，sinx0－cosx0＝－eq\r（2)，则下列命题中为真命题的是（)A.p∧q B.(綈p)∧qC。p∧（綈q) D。(綈p）∧(綈q)答案B解析若x3＜x4，则x＜0或x＞1,∴命题p为假命题；若sinx－cosx＝eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（π，4））)＝－eq\r（2），则x－eq\f(π,4)＝eq\f(3π，2）＋2kπ(k∈Z），即x＝eq\f（7π，4)＋2kπ(k∈Z），∴命题q为真命题，∴(綈p)∧q为真命题.7。(2016·四川)设p:实数x，y满足(x－1)2＋（y－1)2≤2，q：实数x，y满足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y≥x－1，，y≥1－x，,y≤1,））则p是q的（）A。必要不充分条件B。充分不必要条件C.充要条件D。既不充分也不必要条件答案A解析画出可行域（如图所示),可知命题q中不等式组表示的平面区域△ABC在命题p中不等式表示的圆盘内,故选A。8.下列5个命题中正确命题的个数是（)①“若log2a＞0，则函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；②m＝3是直线(m＋3）x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则线性回归方程为eq\o（y，\s\up6（^))＝1.23x＋0.08；④若实数x，y∈［－1，1］,则满足x2＋y2≥1的概率为eq\f（π，4）；⑤命题“若a∈M，则b∉M"与命题“若b∈M,则a∉M"等价。A。2B.3C.4D。5答案A解析①错，若log2a＞0＝log21，则a＞1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数;②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x，y∈［－1，1］表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y2＜1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x2＋y2≥1的概率为eq\f（4－π，4）；⑤正确，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确。9。已知命题p:实数m满足m2＋12a2＜7am(a＞0），命题q：实数m满足方程eq\f（x2,m－1)＋eq\f（y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.答案eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1，3），\f（3，8）））解析由a＞0，m2－7am＋12a2＜0,得3a＜m＜4a，即命题p：3a＜m＜4a，a＞0。由eq\f（x2,m－1)＋eq\f（y2，2－m）＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－m＞m－1＞0，解得1＜m＜eq\f（3,2）,即命题q：1＜m＜eq\f(3，2）.因为p是q的充分不必要条件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＞1，，4a≤\f(3,2）))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3a≥1，,4a＜\f（3,2），)）解得eq\f（1,3）≤a≤eq\f（3，8），所以实数a的取值范围是eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）,\f(3,8)）).10.已知函数f（x）＝4｜a|x－2a＋1.若命题：“∃x0∈(0，1)，使f(x0）＝0"是真命题，则实数a的取值范围为________.答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）,＋∞）)解析由于f(x)是单调函数,在（0，1）上存在零点,应有f(0）·f(1）＜0，解不等式求出实数a的取值范围。由f(0）·f(1）＜0⇒（1－2a）（4|a|－2a＋1)＜0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a≥0，，2a＋12a－1＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＜0，，6a－12a－1＜0））⇒a＞eq\f(1，2)。11.下列结论：①若命题p：∃x0∈R,tanx0＝2；命题q:∀x∈R，x2－x＋eq\f（1,2)＞0.则命题“p∧(綈q）”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0,l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是eq\f(a,b）＝－3；③“设a，b∈R,若ab≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为：“设a，b∈R,若ab＜2，则a2＋b2≤4”.其中正确结论的序号为