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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的左右焦点分别为,,以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为,若直线与圆相切,则双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D.2.一个正四棱锥形骨架的底边边长为,高为,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切,则该球的表面积为()A. B. C. D.3.“且”是“”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知角的终边与单位圆交于点,则等于()A. B. C. D.5.已知,,若,则实数的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或76.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取得最大值时,点恰好在以为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.7.已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为点,延长交椭圆于点,若为等腰三角形,则椭圆的离心率A. B.C. D.8.某人2018年的家庭总收人为元,各种用途占比如图中的折线图,年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图,已知年的就医费用比年的就医费用增加了元,则该人年的储畜费用为()A.元 B.元 C.元 D.元9.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:根据该折线图可知,下列说法错误的是()A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元10.已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称,则的单调递增区间为()A. B.C. D.11.已知,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.12.已知空间两不同直线、,两不同平面,,下列命题正确的是()A.若且,则 B.若且,则C.若且,则 D.若不垂直于,且,则不垂直于二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级为12人,则抽取的样本容量为________人.14.的展开式中的常数项为______.15.已知向量,,,则_________.16.某校为了解家长对学校食堂的满意情况,分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分,其频数分布表如下:满意度评分分组合计高一1366420高二2655220根据评分,将家长的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分评分70分70评分90评分90分满意度等级不满意满意非常满意假设两个年级家长的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长,记事件:“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”,则事件发生的概率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,函数,其中,是的一个极值点,且.(1)讨论的单调性(2)求实数和a的值(3)证明18.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数在上存在两个极值点,,且,证明.19.(12分)某景点上山共有级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步走一个台阶,也可以一步走两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为,每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题,我们约定,甲从级台阶开始向上走,一步走一个台阶记分,一步走两个台阶记分,记甲登上第个台阶的概率为,其中,且.(1)若甲走步时所得分数为,求的分布列和数学期望;(2)证明:数列是等比数列;(3)求甲在登山过程中,恰好登上第级台阶的概率.20.(12分)某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响,对近五年该产品的年产量和价格统计如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y关于x的线性回归方程;(2)若每吨该产品的成本为12千元,假设该产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润w取到最大值?参考公式:21.(12分)记为数列的前项和,N.(1)求;(2)令,证明数列是等比数列,并求其前项和.22.(10分)已知函数(,为自然对数的底数),.(1)若有两个零点,求实数的取值范围;(2)当时,对任意的恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
先设直线与圆相切于点,根据题意,得到,再由,根据勾股定理求出,从而可得渐近线方程.【详解】设直线与圆相切于点,因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形,所以,又因为圆与直线的切点为,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此渐近线的方程为.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.2.B【解析】
根据正四棱锥底边边长为,高为,得到底面的中心到各棱的距离都是1,从而底面的中心即为球心.【详解】如图所示:因为正四棱锥底边边长为,高为,所以,到的距离为,同理到的距离为1,所以为球的球心,所以球的半径为:1,所以球的表面积为.故选:B【点睛】本题主要考查组合体的表面积,还考查了空间想象的能力,属于中档题.3.A【解析】
画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图,“且”表示的区域是如图所示的正方形,记为集合P,“”表示的区域是单位圆及其内部,记为集合Q,显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件,故选:.【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.4.B【解析】
先由三角函数的定义求出,再由二倍角公式可求.【详解】解:角的终边与单位圆交于点,,故选:B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式,是基础题.5.C【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得.∴解得.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.6.B【解析】
设,利用两点间的距离公式求出的表达式,结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标,结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设,因为是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,所以,则,当时,,当时,,当且仅当时取等号,此时,,点在以为焦点的椭圆上,,由椭圆的定义得,所以椭圆的离心率,故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.7.B【解析】
设,则,,因为,所以.若,则,所以,所以,不符合题意,所以,则,所以,所以,,设,则,在中,易得,所以,解得(负值舍去),所以椭圆的离心率.故选B.8.A【解析】
根据2018年的家庭总收人为元,且就医费用占得到就医费用,再根据年的就医费用比年的就医费用增加了元,得到年的就医费用,然后由年的就医费用占总收人,得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人求解.【详解】因为2018年的家庭总收人为元,且就医费用占所以就医费用因为年的就医费用比年的就医费用增加了元,所以年的就医费用元,而年的就医费用占总收人所以2019年的家庭总收人为而储畜费用占总收人所以储畜费用:故选:A【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用,还考查了建模解模的能力,属于基础题.9.D【解析】
用收入减去支出,求得每月收益,然后对选项逐一分析,由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出,求得每月收益(万元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A选项说法正确;月收益最低,B选项说法正确;月总收益万元,月总收益万元,所以前个月收益低于后六个月收益,C选项说法正确,后个月收益比前个月收益增长万元,所以D选项说法错误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析,考查收益的计算方法,属于基础题.10.D【解析】
先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式,从而得出的解析式,再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间,可得选项.【详解】因为函数的最小正周期是,所以,即,所以,的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为,由于其图象关于轴对称,所以,又,所以,所以,所以,因为的递增区间是:,,由,,得:,,所以函数的单调递增区间为().故选:D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性,对称性,单调性,图象的平移,在进行图象的平移时,注意自变量的系数,属于中档题.11.D【解析】
与中间值1比较,可用换底公式化为同底数对数,再比较大小.【详解】,,又,∴,即,∴.故选:D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较,解题时能化为同底的化为同底数幂比较,或化为同底数对数比较,若是不同类型的数,可借助中间值如0,1等比较.12.C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交,故不正确;答案B中的直线也成立,故不正确;答案C中的直线可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直,是正确的;答案D中直线也有可能垂直于直线,故不正确.应选答案C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为,则由题意得,解得.故答案为:【点睛】本题考查了分层抽样的知识,算出抽样比是解题的关键,属于基础题.14.160【解析】
先求的展开式中通项,令的指数为3即可求解结论.【详解】解:因为的展开式的通项公式为:;令,可得;的展开式中的常数项为:.故答案为:160.【点睛】本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,属于基础题.15.2【解析】
由得,算出,再代入算出即可.【详解】,,,,解得:,,则.故答案为:2【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,向量垂直的性质,向量的模的计算.16.0.42【解析】
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况,分别求出三种情况的概率,再利用加法公式即可.【详解】由已知,高一家长满意等级为不满意的概率为,满意的概率为,非常满意的概率为,高二家长满意等级为不满意的概率为,满意的概率为,非常满意的概率为,高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况:1.高一家长满意,高二家长不满意,其概率为;2.高一家长非常满意,高二家长不满意,其概率为;3.高一家长非常满意,高二家长满意,其概率为.由加法公式,知事件发生的概率为.故答案为:【点睛】本题考查独立事件的概率,涉及到概率的加法公式,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)在区间单调递增;(2);(3)证明见解析.【解析】
(1)求出,在定义域内,再次求导,可得在区间上恒成立,从而可得结论;(2)由,可得,由可得,联立解方程组可得结果;(3)由(1)知在区间单调递增,可证明,取,可得,而,利用裂项相消法,结合放缩法可得结果.【详解】(1)由已知可得函数的定义域为,且,令,则有,由,可得,可知当x变化时,的变化情况如下表:1-0+极小值,即,可得在区间单调递增;(2)由已知可得函数的定义域为,且,由已知得,即,①由可得,,②联立①②,消去a,可得,③令,则,由(1)知,,故,在区间单调递增,注意到,所以方程③有唯一解,代入①,可得,;(3)证明:由(1)知在区间单调递增,故当时,,,可得在区间单调递增,因此,当时,,即,亦即,这时,故可得,取,可得,而,故.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,利用导数证明不等主要方法有两个,一是比较简单的不等式证明,不等式两边作差构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值即可;二是较为综合的不等式证明,要观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.18.(1)若,则在定义域内递增;若,则在上单调递增,在上单调递减(2)证明见解析【解析】
(1),分,讨论即可;(2)由题可得到,故只需证,,即,采用换元法,转化为函数的最值问题来处理.【详解】由已知,,若,则在定义域内递增;若,则在上单调递增,在上单调递减.(2)由题意,对求导可得从而,是的两个变号零点,因此下证:,即证令,即证:,对求导可得,,,因为故,所以在上单调递减,而,从而所以在单调递增,所以,即于是【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式,考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力,是一道有一定难度的压轴题.19.见解析【解析】
(1)由题可得的所有可能取值为,,,,且,,,,所以的分布列为所以的数学期望.(2)由题可得,所以,又,,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)可得.20.(1)(2)当时,年利润最大.【解析】
(1)方法一:令,先求得关于的回归直线方程,由此求得关于的回归直线方程.方法二:根据回归直线方程计算公式,计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.(2)求得w的表达式,根据二次函数的性质作出预测.【详解】(1)方法一:取,则得与的数据关系如下123457.06.55.53
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