反常积分敛散性的判别方法王康

反常积分敛散性的判别方法

摘要反常积分是一门应用性很强的年轻学科，其主要运用数学方法研究各种反常积分解决的途径和方案，从数学的角度表达了人们处理数学问题所遵循的的一种理念，反常积分的敛散性作为反常积分的主要一个分支，现已成为众多学者们研究的焦点。在实际问题的求解过程中，对于反常积分敛散性的判别方法的研究具有重要的理论意义。全文共分为三个部分。第一部分为绪论部分，主要介绍了反常积分敛散性的概况，求解反常积分敛散性问题所设计的基本概念，以及本文的容安排。第二部分基于反常积分敛散性的根值判别法来判断反常积分的敛散性，在理论上证明了算法的收敛性，通过数值实验说明了算法的可行性。第三部分以反常积分敛散性的数列式判别法为基础进行研究，将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来，利用数列的性质，更为简便直观地判别反常积分的发散。关键词：反常积分；敛散性；Cauchy判别法；无穷积分；瑕积分；反常积分的发散。Anomalousintegralconvergenceanddivergenceofthe

judgementmethodAbnormalintegralisayoungdisciplinewithstrongapplicability,whichmainlyusesthewayandschemeofvariousmathematicalmethodstosolvetheabnormalpoints,fromtheangleofmathematicstoexpressaconceptthatpeopledealwithmathematicalproblemsfollowed,convergenceofabnormalintegralasamainbranchofabnormalintegral,hasbecomethefocusofmanyscholarsstudy.Intheprocessofsolvingpracticalproblems,theconvergenceofabnormalintegralhasimportanttheoreticalsignificancefortheresearchontheidentificationmethod.Thispaperisdividedintothreeparts.Thefirstpartistheintroduction,mainlyintroducestheanomalousdivergenceofintegrationofbasicconcepts,ofmathematicsconvergenceproblemisdesigned,andthecontentsofthispaper.Thesecondpartoftheconvergenceofabnormalintegralvaluediscriminantmethodtojudgetheconvergenceofabnormalintegralbasedon,theconvergenceofthealgorithmisprovedintheory,numericalexperimentsshowthefeasibilityofthealgorithm.Thethirdpartoftheanomalousintegraldivergencetypesequenceofdiscriminantanalysisbasedonthesequence,andtheconvergenceofconvergenceofabnormalintegralcombination,usingthesequenceproperties,moresimpleandintuitivetodistinguishthedivergenceofabnormalintegral.Keywords:abnormalintegral;convergence;Cauchydiscriminantanalysis;infiniteintegral;infiniteintegral;generalizedintegraldivergence.目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"第1章绪论 2基本概念介绍 2几种常用的计算方法 5反常积分敛散性的判别常用算法 6本文容安排 1011第2章反常积分敛雌的根值判别法112.1引言 112.3小结 1415第3章反常积分敛散性的数列式判别法15引言 15算法的提出 17算法的描述 183.4小结 18\o"CurrentDocument"结论与展望 20致谢 21\o"CurrentDocument"参考文献 22\o"CurrentDocument"附录 23附录A一篇引用的外文文献及其译文 23附录B主要参考文献的题录及摘要 26引言反常积分在诸多领域具有广泛应用的，其性质及应用引起人们极大的研究兴趣。目前对于反常积分的研究，主要集中在理论研究。在积分的历史上，反常积分可以说是积分这个大家庭中的小兄弟，虽然反常积分是刚刚兴起的理论/旦是它在高等数学、物理学及概率论、统计学等学科中得到了重要应用，随着数学及相关学科的发展，越来越多的人开始关注并开始学习反常积分，并且基本上已经形成理论体系。这些理论的产生无疑对积分的发展乃至相关学科的发展都是大有裨益的。通过对反常积分的不同层次方面的研究，确定了一些可以解反常积分的特殊方法，让我们对反常积分的解法有更深层次理解1］；确定了含参量反常积分的定义和含参量反常积分的解法以及在生活中的应用，含参量的反常积分的进一步研究可以更好地研究反常积分敛散性［2〜5］；通过欧拉公式来对反常积分进行研究，从积分的深层次对反常积分开展讨论［6］；通过对反常积分的性质方面入手，通过研究反常积分的性质来研究反常积分的敛散性［7］；研究反常积分与无穷级数收敛性关系，通过对无穷级数收敛性的探析，来和反常积分进行对比，从而得到反常积分的性质［8］；以反常积分在教学中的学习，以及解反常积分的数列式判别法来判断反常积分的敛散，让我们能更具体的学习和了解反常积［9〜10］;对一些国外数学家对反常积分敛散性的研究，通过外文文献更具体的了解反常积分［11〜12］。多年来，人们对反常积分的研究，取得了不少成果。而反常积分的敛散性也被越来越多的人所研究，如何通过反常积分的定义和性质来判断反常积分的敛散性成为重要一环，下面的文献为反常积分的定义，反常积分的原理，反常积分的计算和解答，反常积分在生活中的应用给出了具体的解释。反常积分的定义如下：设函数/定义在区间Q,b］上，在点a的任一右邻域上无界，但在任何闭区间U,bkJ,b］上有界且可积.如果存在极限limfbf(x'dlx=J，a则称此极限为无界函数/在(a,b］上的反常积分，记作J=fbf(x)ix,a并称反常积分fbf(xdx收敛，如果极限limfbf(x^dlx二J不存在，这时也说反常积分fbfQ)^x发散。a本文主要对反常积分的敛散性的不同判别方法进行研究。第1章绪论反常积分敛散性的判别方法是分析数值计算领域中十分活跃的研究课题，如何快速地判别反常积分的收敛也发散以成为当今的焦点，由于反常积分在分析学中的显著作用，对反常积分的敛散性的研究具有重要的理论意义和实际价值。反常积分的定义如下：设函数/定义在区间Q,b］上，在点a的任一右邻域上无界，但在任何闭区间U,b］u(a,b］上有界且可积.如果存在极限lima则称此极限为无界函数/在(a,b］上的反常积分，记作J=fbf(x)ix,a并称反常积分fbf(xdx收敛，如果极限limfbf(x1/x二J不存在，这时也说反常积aa分fbf(x)ix发散。a求解反常积分敛散性问题时将会涉及以下概念:(1)反常积分：反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分(又称无界函数的反常积分)。(2)瑕点：设函数f定义在区间(”,即上，在点a的任一右领域上无界，但是在任何一闭区间U,blu(a,b］上有界且可积，如果存在极限limJbf(x)dx=Jufa+”则称此极限为无界函数f在(a㈤上的反常积分，记作J=Jbf(x^dlxa并称反常积分JbfQdx收敛，如果极限J=Jbf(x^dix不存在，这时也说明反常积a a分Jbf(x'd^x发散。a由上面的定义知，被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而无界函数反常积分J=Jbf(xdix有称为瑕积分。a类似的，可定义瑕点为b时的瑕积分：Jbf(xddx=limJuf(xdixa ufb-a其中f在坛,b)有定义，在点b的任一邻域上无界，但是在任何a,u〕ua,b)上可积。若f的瑕点ce(a,b)，则定义瑕积分Jbf(xdx=Jcf(x>dix+Jbf(x^dixa a c=limJuf(x^dx^^+limJbf(x^dx^ufc-a Vfc+V其中f在a,c)u(c,b］上有定义，在点c的任一邻域上无界，但在任何a,Mua,c)和V.b］u(c,b］上都是可积的。当且仅当limJuf(x"dlx+limJbf(xd右边2个瑕积ufc-a Vfc+V分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的。又若a,b两点都是J的瑕点，而J在任何U,JuQ,b)上可积这时定义瑕积分=JcfG>ddx+fbfQ%xJbf(x^dxxa c a=limJcf(x1/x+limJvf(x^dixufa+u vfb-c其中c为(a,b)上任一实数。同样的当且仅当limJcf(x"dlx+limJvfG^ilx式右ufa+u vfb-c边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的。(3)绝对收敛：若)在任何有限区间a,m上可积，且有J+[f(x"^ix收敛，则aJ+sf(xdtix亦必收敛，并有aJ+sf(x)dxJ[f(xMxa a当J+[f(x*x收敛时称J+sf(x"dx为绝对收敛，由定理知：绝对收敛的无穷积分，a a它自身也一定收敛，但是他的逆命题一般不一定成立，今后举例说明收敛的无穷积分不一定收敛。我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。(4)比较原则：设定义(a,即上的两个函数f和g，瑕点同为x=a，在任何U,b]u(a,b]上都可积，且满足0<f(x)<g(x)xg(a,b]则当Jbg(xdx收敛时，Jbf(x)ix发散时，Jbg(x)ix亦必发散。a a a(5)Cauchy判别法:Cauchy判别法即柯西判别法，设是正项级数，若从某一项起(即存在，当时)成立着为某一确定的常数，则级数收敛；若从某一项起成立着1，则级数发散。又若f(x)>0，g(x)0，且limf^x\-cx-a+gb),x^a则有(i)当0<c<+8,JbfQ%x与JbgQ)ix同收敛或者发散；TOC\o"1-5"\h\za a(ii)当c=0时，由JbgQ%x知］*bfQ)ix也同样收敛；a a(iii)当c=+8时，由Jbg(X^dtx知Jbf(X^dtx也同样发散。a a特别的，如果选用Jb%作为比较对象，则我们有如下两个推论(称为柯西avx一a)pp判别法)。另设f定义于(a,b］，a为其瑕点，且在任何U,b］u。,b］上可积，则有:⑴当0<f(x)< 1，且0<p<1时，Jbf(x>x收敛;vx一a)p a(ii)当f31 ，且p>1时，Jb(ii)当f3vx一a)p a同时设f是定义于。,b］上的非负函数，a为其瑕点，且在任何U,b］u。,b］上可积，如果则有:⑴当0<p<1,0<九<+8时，Jbf(xdx收敛；a(ii)当p>1,0<九<+8时,Jbf(x"dtx发散。a(6)可积的充要条件：函数f在a,b］上可积的冲要条件是f在a,b］上的上积分与下积分相等，即S=s(7)达布定理：上、下积分也是上和与下和在『|一0时的极限，即limS(T)=S,lims(T)=sTLo ITI-。(8)对于函数J+8f(xI/x=J。f(xL+J+8f(xI/x的收敛性与收敛的值，都和一8 一8 a实数a的选取无关。(9)由于无穷积分卜/G)ix=JafG1/x+f+-fG1/x是由limfuf(xd=J_g _g a uf+%a和Jbf(x1/x=limJbf(x^dlx两类无穷积分来定义的，因此，f在任何有限区间-8 U—>_9UV,u]u(-9,+9)上，首先必须是可积的。(10)无穷积分J+9f(x"dlx收敛的冲要条件是：任给£>0，存在G>a，只a要u，u2>G，便有|Ju2f(x)dx-Juif(x)dxl=|Ju2f(x)dxaa a ' 'u1反常积分收敛性的几种判别方法反常积分敛散性的判别有多种方法，随着时代的进步，数学的研究与发展，越来越多的学者开始对反常积分的敛散性进行讨论，在原有的判别方法上，数学工作者们探讨出了更多的，更简洁，更方便的判别方法。着让我们能更直观的去了解反常积分的敛散性，其多数问题都是连续可导的，因此在这里我们选择反常积分敛散性的根值判别法，反常积分的数列式判别法来进行简单的介绍。1、反常积分敛散性的根值判别法根值审敛法是判别级数敛散性的一种主要方法，是由法国数学家柯西首先发现并证明的，其具体定义如下：设是正项级数，若从某一项起(即存在，当时)成立着为某一确定的常数，则级数收敛；若从某一项起成立着1，则级数发散。又若f(x)>0，g(x)>0，且limf-x^-cx-a+gb)^v^a

则有(i)当0<c<+8,JbfQ%x与JbgQ)ix同收敛或者发散;TOC\o"1-5"\h\za a(ii)当c=0时，由JbgQ%x知］*bfQ)ix也同样收敛；a a(iii)当c=+8时，由Jbg(X^dtx知Jbf(X^dtx也同样发散。a a特别的，如果选用Jb特别的，如果选用Jbadx一a)p作为比较对象，则我们有如下两个推论（称为柯西判别法）。另设f定义于（a,bl，a为其瑕点，且在任何U,b]u（a,b]上可积，则有:⑴当0<f(x)< 1，且0<p<1时，Jbf(xd收敛;lx一a/p a（ii）当f（x）＞1 ，且p>1时，（ii）当f（x）＞vx一azp a同时设f是定义于0㈤上的非负函数，a为其瑕点，且在任何U,b]u（a,b]上可积，如果则有:⑴当0<p<1,0<九<+8时，Jbf(xdx收敛;a(ii)当p>1,0<九<+8时,Jbf(x"dtx发散。a2、反常积分敛散性的数列式判别法反常积分的数列式判别法将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来，利用数列的性质，更为简便直观地判别反常积分的发散，它是一种更为方便的计算方法。具体定义如下：

函数f(函数f(x)在1a.+8)上有定义，则无穷积分J+8a」-dx收敛于A当且仅当对1+X2任意数列t｝，lima=+8，有n.+8limJaxf(x'dXx=Anf+80证明：n由于J+8f(x'dlx=A，所以limJpf(x>dxx=An£>0,3M>0,Vp:p>M有p.+8aJpf(x)dx-A>a又limannf+8=+8n对上述M>0,3NeN,Vn>N有又limannf+8Janf(xk=AJanf(x)dxJanf(xk=Au反证法：假设J+8f(x^dlx不收敛于A，则alimJpf(x^dlx丰An3£>0,3p>M,p.+8a 0Jpf(x)dx-A>£.M=1HP>2有1JPJPif(x)ALA>£0.M=maxb,p七p有Jp2f(x)dx-M=maxzM=max{n,p}p>n且Jpnf(x、dx一A>£从而得到数列^从而得到数列^p}，但 Jpnf(xid*-A>£plimp=+8

a>nn.+8n与已知的矛盾，所以J+8f(x1/x=A.证明完毕。0a下面我们就反常积分敛散性的根值判别法和反常积敛散性的数列式判别法给出具体的分析和计算。本文的容安排全文共分为三个部分。第一部分为绪论部分，主要介绍了反常积分敛散性的概况，求解反常积分敛散性问题所设计的基本概念，以及本文的容安排。第二部分基于反常积分敛散性的根值判别法来判断反常积分的敛散性，在理论上证明了算法的收敛性，通过数值实验说明了算法的可行性。第三部分以反常积分敛散性的数列式判别法为基础进行研究，将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来，利用数列的性质，更为简便直观地判别反常积分的发散。第二章 反常积分敛散性的根值判别法摘要：由于积分在理论上和级数是统一的，，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和瑕积分的敛散性.设f(x)是[a，+8)上的非负函数，limx[f^X>=p.则当p<1时，反常积分尸fQL收敛。而当P>1时，反a常积分J+8f(x"dlx发散设fQ)是(a㈤上的非负函数，a为瑕点，lim(f0)-a=p.a xfa+则当P<1时，反常积分Jbf(XL收敛。而当P>1时，反常积分Jbf(X>>dx发散。aa反常积分敛散性的判定是分析学的重要容,它与无穷级数联系非常紧密，本文将正项级数敛散性的根式(Cauchy)判别法推广到反常积分敛散性的判别上。定理1设f(x)为坛,+8)上的非负函数，若limXfQ)=p.xf+8则当p<1时，反常积分J+8f(x)tix收敛；当P>1时，反常积分J+8f(x)tix发aa散.证明(1)取e=?(0<p<1)存在人>0，任给x>A时，p-F<f)<p-?—1sp<xfx)<s=p(0<p<1)2 2 0 0f(x)<px.x>A0而J+8px=limJ+8px=lima0xf+81pnlnp00limxf+8lnp0Qx—pa)=一00收敛，从而J+8f(X"dlx收敛。a(2)收敛，从而J+8f(X"dlx收敛。a(2)由p>1,取“告!>0,存在人>0，任给X>A,有p-122PvxfX<pp「苧<X狗，p：<f(X)，x>A.发散，故卜8f4)ix发散。例1.j+8pXa1limXf+8=lim---p.Xf+8lnp 111(c) pX-pa/=8lnp1 1判断广0X>0的敛散性(a>0)->0XE=-2_,a+—XlimxfQ)=—.Xf+8 a由定理(1)可知当a>2时，反常积分收敛，0<a<2是，反常积分发散;

定理2.设/G）在4力］上有定义，/G）>o，任给次、㈤，/Q）在Q/］上可积，且lim/G)=oo,就GU,则当pv1时，反常积分P/Gk收敛，反之当p>1时，反常积分［叮4爪发散；证明.（1）1一P则存在B>0,任给％满足0。一〃V"有PV <P+ -1+P=P

1+P=P

r0(。,3)所以0</G)<Px-a0Px-adx=f+co—ptdt=a° —2。b-ab-a+/Pab-a+/PaIt20当/>1时,TOC\o"1-5"\h\z°<—pf<pr

t20 0I+0°ptdt=lim』+00 -lim0 ° xf+oo1 ° …「1lim xt+9Inp「1lim xt+9Inpo0 0 0——Inpo

从而j+s1pt1t2山收敛，由上面的式子可得J%;dx收敛，由上式知从而j+s1pt1t2(2)由p>1,取l"12则存在5>0，任给x满足0Vx-a<8，有P-(<(fQ)I-a<p+--等

0<p—P-<(f(x)1-a,p>1.i ^2 i所以px-a<f(x)x<x-a<5ijbp±dx-j+s—p.dta1 1-121b-a由于lim幺=+s.知j+s匕发散，即jb知j+s匕发散，即jbP亡d发散，则由上式知jbf(xIzx发散;1 a小噂：本部分介绍了反常积分敛散性的根值判别法，通过敛散性的根值判别，来解决反常积分的收敛与发散，并且分析了此算法的优势和缺点，在理论上证实了此算法的可行性，同时通过一些举例进行计算，通过数值结果证明了此判别法的可行性。第三章反常积分敛散性的数列式判别本文将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来，利用数列的性质,更为简便直观地判别反常积分的发散.对于两类反常积分:无穷积分与瑕积分，用定义判别其收敛与发散时，通常会有如下疑问：TOC\o"1-5"\h\z.若卜/4)ix与Jaf4)ix都发散时，无穷积分卜8f4%x是否一定发散？并a +8 -8证明为什么？.如果卜8f(x'dlx发散于+8(8)，Jaf(x'dlx发散于-8(+8)，那么a -818f(x'dlx=J+8f(x》x+Jaf(x'dlx-8 a -8是收敛还是发散？如下例：判断无穷积分J+8^L-dx的敛散性.-81+x2由于J+8f(x%x=J+8，"x+J+8，"x=-8+8是未定型，那么它是收敛还是-8 -81+x2 01+x2发散的？错误解法：由于f(x)=x在(-8,+8)连续，而且对于每一个xe(-8,+8)，有1+x2-xG(-8,+8)，f(-x)=^^=-f(x)1+x2所以f(x)在(-8,+8)上式奇函数，对任意p0，Jpf(xd=0，J+8f(x)=limJp—=0从而得-p -8 p.+8-p1+x2J+8收敛于0,.-8这种方法的错误在于只考虑了无穷积分，J+8^L-dx的柯西主值，却没有考虑发散定义中的上，下限的任意性。对于无穷积分，如果用数列来判别其发散,则会更为简单、直观我们有如下的定理成立:定理1函数fQ）在1a.+8）上有定义，则无穷积分J+8a对任意数列t｝，lima=+8，有nf+8，公收敛于A当且仅当1+X2limJaxf(x'dXx=Anf+80证明：n由于J+8f(x'dlx=A，所以limJpf(x>dix=An£>0,3M>0,Vp:p>M有pf+8aJpf(x)dx一A>a又limannf+8=+8n对上述M>0,3NeN,Vn>N有an>M.Janf(x)dx-A<£nlimJanf(xk=Au反证法：假设J+8f(xdtix不收敛于A，则alimJpf(xdtix丰An3£>0,3p>M,p.+8a 0Jpf(x)dx-A>£.M=1，3P>2有1JP1f(x)A—A>£0.M=maxb,p七p有Jp2f(x)dx-AM=maxM=max{n,p}p>n且Jpnf(xddx一A>£a从而得到数列｛p｝，plimp=+8

a>nn—+8n但Jpnf(x)dx-A>e但Jpnf(x)dx-A>0 a推论1若f(x)在(-8,+8)上有定义，则J+8f(xd=A.当且仅当对任意数列a{a1%}，lima=-8,limb=+8有nnf+8nnf+8nnf+8limannf+8则卜limannf+8则卜8f(x'dlx发散。a推论4 f(x)(z}t.bbIlima在(-8,+8)上有定义，且存在数列nf+8nnf+8nnnf+8nf+8limJbnf(x)=A.nf+8an2若f(x)在Ea,+8)有意义，而且存在数列}，n=+8,limJanf(x)/x=8(或者不存在)，则无穷积分J+8f(x)ix发散。推论3若f(x)在［a,+8)上有定义，而且存在数列^｝，lima=-8,limJaf(x1/x丰limJ晨fQyx,n—^+8ann—^+8a=lima.=-8,limb=limb.=+8,有limJbnf(x'dix丰limJbf(xdx,nf+8nf+8annf+8a•nJ+8fGx是发散的.-8利用上面的结论判别例题的敛散性如下:=一n，b=n，b.=2n,则lima=-8,limb=limb.=+8而nnf+8nnf+8limJ%f(nnf+8nnf+8limJ%f(x^tix=limJnnf+8anlimJ4f(x)7x=limJ2nnf+8—nnnf+8二01+x2nf+8annf+8-nx 1+4n2---dx=limln =ln2,ln2中0.1+x2 nf+8 1+n2所以无穷积分J+8f(x)ix发散。可以看出，利用数列方法很明了地说明了上面无穷-8积分的发散。对于瑕积分也有类似的结论。

定理2设函数f(x)在切力)上有定义，b是f(x)的瑕点，则瑕积分jbfQ)收敛于aA.当且仅当对任意数列bj,存在NcN、,V产N,bn<b,limb「b有nf+8limjbnfQ)ix=Anf+8a推论1设函数fQ)在［a,b)上有定义，b是f(x)的瑕点，如果存在数列b｝，b<b,limb=b有limjbfQ)tix=8，或者不存在，则瑕积分jbf(x)ix发散。nnnf+8 nf+8a a推论2设函数f(x)在切力)上有定义，b是f(x)的瑕点，如果存在数列比｝，nna<b，b<b，且lima=limb=b有n n nf+8n nf+8nlimjalimjanf(x达丰limjbnf(x)ix,n—f+8a n—f+8=a则瑕积分jbf(x)ix是发散的。小结：本部分主要介绍了反常积分敛散性的数列式判别法，通过一些例子的错误解法，来更直观的的了解什么是数列式判别，将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来，利用数列的性质，更为简便直观地判别反常积分的发散.结论与展望反常积分敛散性是当今数学领域的热点问题。反常积分敛散性问题的求解也成为众多学者探索的焦点。关于求解反常积分敛散性问题的算法确实很多，由于反常积分敛散性的问题与人们的生活息息相关，深入研究反常积分问题的算法能够为许多实际问题的解决提供极大的帮助。本文第一部分主要针对反常积分敛散性问题的求解做了大量的研究，在前人的基础上提出两种新的判别法，在理论方面分析了算法的可行性，并用数值实验对提出算法的有效性进行了验证。通过与其它算法的比较说明了算法具有一定的优势，但同时也说明其存在一定的缺点。第二部分提出反常积分敛散性的根值判别新算法，其具有好的收敛性，具备两种算法的优点，而且表现出良好的计算性能。但是有关算法中参数。如何选取才能使算法达到最优还需进一步考虑。第三部分提出的一种新的反常积分敛散性的判别法。文章不仅从理论方面证明了算法是全局收敛的，还通过计算和举例的实验结果说明了算法的有效和可行性。并且，文章通过几种算法的比较实验验证了算法是有效的。但在数值实验中，jbf(x^dlx的敛散性判别是否具有其在规律还有待进一步研究。a致谢值此论文完成之际，首先向尊敬的戴华老师表示衷心的感谢和诚挚的敬意。时光如梭，转眼间四年的学习生活即将结束。戴老师给予我耐心的指导和无私的帮助。她渊博的学识、严谨的治学态度及忘我的工作作风给我留下了深刻的印象，是我永远学习的楷模。戴老师的悉心教导将我领入科学的殿堂，使我渐渐明白了怎样思考问题，如何从事科学研究；同时，老师的严格要求和关心鼓励使我在学业上有了新的进步。总而言之由衷感激和崇高敬意是无法用言语表达的，学生唯有铭记于心。感谢我的家人，感谢他们对我的抚育、关怀、鼓励与支持。正是他们的爱让我感到温暖与幸福，他们的爱是我奋斗的动力。我会用更好的成绩回报他们。感谢学校对我的栽培，感谢辅导员及授课老师对我的谆谆教导。最后，向所有关心我、爱护我和给予我帮助的人再一次致以诚挚的谢意!作者:2015年05月1参考文献［1］唐雄.计算含参量反常积分的一些特殊方法［J］.大学学报(自然科学版).2008,7(02):25-30［2］志广.含参量X的无界反常积分［J］。大学学报(自然科学版).2012，18(05):233-237［3］牛怀岗.含参量反常积分性质探析［J］.学院学报.2013，41(06):122-127［4］王金花，志平.含参量反常积分一致收敛性［J］.师学院学报.2013，11(02):21-28［5］永锋.含参量反常积分的局部一致收敛与连续性［J］.师学院学报2006,3(06):22-26［6］红爱，尚林.欧拉公式在计算反常积分中的应用［J］.数学学习与研究.2010，14(13):1-7［7］王欣，屈娜，吴莎莎.对反常积分性质的再讨论［J］.数学学习与研究.2012(17):65-67[8]娟.反常积分与无穷级数收敛性关系探析[J].学院学报.2013(06):44-46[9]肖氏武.关于反常积分习题课的教学[J].高等数学研究.2014，16(04):178-181[10]何美.反常积分敛散性的数列式判别法[J].职业技术学院学报.2013,9(01):47-54ConstancyHogan.Schedulingconcurrentproductionoverafiniteplanninghorizon:Polynesiansolvablecases[J].Computer&OperationsRestart,2000,27(14)89-97.ARuskin,M.Fakir,M.A,Latinaestat.Recedinghorizoniterativedynamicprogrammingwithdiscretetimemodets[J].Computer&ChemicalEngineering,2001.25(1)78-110.[13]Maxi-mePaved.PerishPompadours,LenaMadmenestat.Optimizationofsuperannuationlayersbasedoncandlesoot[J].PureandAppliedChemistry,2014,86(2)112-145.附录附录A一篇引用的外文文献及其译文外文文献Onimproperintegralsanddifferentialequations

inorderedBanachspacesAbstractInthispaperwestudytheexistenceofimproperintegralsofvector-valuedmappings.Thesoobtainedresultscombinedwithfixedpointresultsinpartiallyorderedfunctionsspacesarethenappliedtoderiveexistenceandcomparisonresultsforleastandgreatestsolutionsofinitial-andboundary-valueproblemsinorderedBanachspaces.Theconsideredproblemscanbesingular,functional,nonlocal,implicitanddiscontinuous.Concreteexamplesarealsosolved.IntroductionInthispaperweshallfirststudytheexistenceofimproperintegralsofb<+8,,toanamappinghfromanopenrealintervalorderedBanachspaceE.Weshow,forinstance,thatiftheorderconeofEisregular,animproperintegralofhexistsifhisstronglymeasurableanda.e.PointwiseboundedfromaboveandfrombelowbystronglymeasurableandlocallyBochnerintegrablemappingsfrom(a,b<+8,,toanThesoobtainedresultsandfixedpointresultsformappingsinpartiallyorderedfunctionspacesarethenappliedtoderiveexistenceandcomparisonresultsforleastandgreatestsolutionsoffirst-andsecond-orderinitialvalueproblemsandsecond-orderboundaryvalueproblemsinanorderedBanachspaceEwhoseorderconeisregular.Theexistenceoflocalextremalsolutionsforcorrespondingproblemsisstudiedin[6]whenEisalattice-orderedBanachspace.Anovelfeatureinourstudyisthattheright-handsidesofdifferentialequationscompriselocallyintegrablevector-valuedfunctionspossessingimproperintegrals.Similarproblemscontainingimproperintegralsofreal-valuedfunctionsarestudiedin[10].Thefollowingspecialtypesareincludedintheconsideredproblems:differentialequationsandinitial/boundaryconditionsmaybeimplicit;differentialequationsmaybesingular;boththedifferentialequationsandtheinitialorboundaryconditionsmaydependfunctionallyontheunknownfunctionand/oronitsderivatives;boththedifferentialequationsandtheinitialorboundaryconditionsmaycontaindiscontinuousnonlinearities;problemsoninfiniteintervals;problemsofrandomtype.WhenEisthesequencespacec0weobtainresultsforinfinitesystemsofinitialandboundaryvalueproblems,asshowninexamples.Moreover,concretefinitesystemsaresolvedtoillustratetheeffectsofimproperintegralstosolutionsofsuchproblems.PreliminariesOurfirsttaskinthissectionistoproveexistenceresultsforimproper

integralsofamappingh:(a,b)-E,-^<a<b«8,whereE=E，除《)isanorderedBanachspacewhoseorderconeisregular.Ifhisstrongly(Lebesgue)measurableandlocallyBochnerintegrable,denoteh€L(Qb)E).Forthesakeofcompletenessweshalldefinetheimproperintegralswearedealingwith.DefinitionZ.l.Givenh€L(Qb)E)andce(a,b)wesaythatanimproperintegralJch(s%sexistsiflim Jch(sI/xexistsinE.Similarly,wea+ x(axsaythatanimproperintegral.Jb-h(s)JsexistsifiimJxh(s)JsexistsinE.c xTbcTheexistenceresultsprovedinthenextlemmafortheabovedefinedimproperintegralsareessentialtoolsinourstudyofdifferentialequationsinorderedBanachspaces.Lemma2.1.Lethu (a,b)fE bestronglymeasurable,hmeasurable,hwlassumethath(thath(s)<h(s)<h(s)f0ra.e.sw(a,b)Thenthefollowingresultshold.hislocallyBochnerintegrable,i.e.hwL(Q,b),E)IfJchQ)dsexistsforsomec&(a,b)thenJth(s)dsexistsforalltE(a,b).士 +a+ a+

(c)IfJb-h±《)dsexistsforsomecE(a,b)thenJb一(c)IfJb-h±《)dsexistsforsomet(a,b)Proof.(a)SincetheorderconeofEisregularandhencealsonormal,thenormofEisSemimonotone,i.e.thereexistssuchapositiveconstantMthat0<x<yinEimplies||x||<M^y\.Theassumption：hQ)<hQ)<hQ)fora.e.tg(,b)canberewrittenas0<h(s)-h(s)<h(s)-h(s)fora.e.sG(a,b)InviewofthisresultandthesemimonotonicityofthenormofEweobtain|h(s)-h(s)|<M|h(s)-h(s)|fora.e.sG(a,b)Whenceh(s)|<(M+1)h«+M|h(s)|fora.e.sG(a,b)assumptionh<h<h,itThisresult,strongmeasurabilityofhandthethathGLi(Q,b),E)implythathGLassumptionh<h<h,it(b)AssumethatJch(s)dsexistsforsomecg(a,b).Since±a+followsfrom[8,Corollary1.4.6]thatJch(s)ds<Jch(sd<Jch(s)dswhenevera<t<c.ConclusionsInthisarticle,whichcanbeconfirmedthatthealgorithmisfeasible.译文:反常积分和微分方程在命令巴拿赫空间中文摘在本文中，我们研究的存在不当积分量值的映射。所以获得的结果结合定点结果在半序函数空间然后获得存在和比较结果申请最初的最小和最大的解决方案一—在命令巴拿赫空间和边值问题。问题可以考虑单一，功能，外地，隐式和不连续。具体的例子也解决了。1.介绍在本文中，我们将首先研究映射的反常积分的存在，h从开放的真正的间隔(a,b)-8<ab«+8，有序巴拿赫空间E.我们节目例如，如果订单锥E是常规，如果存在强烈的反常积分测量和乙醯明智的有界从(a,b)上面和下面的强烈可衡量的和本地博赫纳可积的映射到E具有反常积分的问题。所以获得的结果和定点结果映射在半序空间函数就会应用获得存在和比较结果的最小和最大的解决方案一线和二阶初始值问题和二阶边值问题在一个有序的巴拿赫空间E锥是规则。相对应的局部极值解的存在性问题研究［6］当E是格序巴拿赫空间。新颖的功能在我们的研究中，右边的微分方程组成局部可积的向量值函数拥有不当积分。类似的问题包含不正确的实值函数的积分进行了研究［10］。以下特殊类型包括在考虑的问题：-微分方程和初始/边界条件可能是隐性的；——微分方程可能是单数；——微分方程和初始边界条件可能功能取决于未知函数和/或其衍生品；——微分方程和初始或可能含有不连续边界条件非线性；——无限区间上的问题；——随机的问题类型。当E是我们获得结果的序列空间c0无限系统的初始边值问题，如例子所示。此外,混凝土有限系统解决了反常积分的影响来说明这些问题的解决方案。2预赛我们在这一节的第一项任务是证明存在的反常积分的结果映射h:(a,b)fE-cq<a<b<co,在£=解II』,J是一个有序的巴拿赫空间秩序锥是常规。如果h强烈勒贝格可测和本地博赫纳可积的，表示h&b(Q,b\石)为了完整性loc我们定义积分我们正在处理不当。定义2.1.鉴于品匕，"2E)/并且ceQ力)，我们说一个反常积分卜如loc -L果存在lim 存在于e.同样，我们说一个反常积分b一/1G认如果存在x^axlim\xh（s^）tis存在于e.x^bc存在结果在接下来的引理证明上述定义不恰当微分方程的积分是我们研究的重要工具在命令巴拿赫空间中。引理2.1。让/zuQ”石强可测wLi&力),£)并承担那场Q)44)v/zQ)±loc - +并且a.e5e ,然后下面的结果。(a)h是本地博赫纳可积的j.e/?€AQ,b)E)loc(b)如果J。hQlzs存在一些c£(a,Z?)且卜4k所有的存在看£Cz,Z?)

（C）如果Jb一h土《儿存在一些ce（a,b）且Jb-h（s's所有的存在t，,b）c t证明（一）顺序锥以来E是正常的,因此也正常,E是常态办单调即存在这样一个积极常数M0<x<y在E意味着何|<M|y.假设：h(s)<h(s)<h(s)且a.etE(a,b)可以重写为0<h(s)-h(s)<h(s)-h(s)且a.e.se(a,b)a.esea.ese(a,b)(s)-h(s)|<M|h+(s)-h(s)|且那么(s)|<(M+1)|h，+M|h，且a.e这一结果,强大的可测性和假设h土eLioQ,b）E）暗示hEUoQ，b），E）.（b）假设JchQds存在一些cE（a,b），从h<h<h它遵循从[8推论1.4.6]Jch(s)ds<Jch(sd<Jch(s)ds无论何时a<，<c结论在这篇文章中，可以证实，该算法是可行的。附录B主要参考文献的题录及摘要【篇名】计算含参量反常积分的一些特殊方法【摘要】计算含参量的反常积分时，常用的是两种方法:1）利用积分号下求积分的方法计算反常积分;2）利用积分号下求导方法计算反常积分.本文介绍另外几种求反常积分的方法.【篇名】含参量X的无界反常积分【摘要】现行教材中对于含参量x的无界反常积分，仅仅给出了定义，对此进一步探究，给出了其一致收敛的判别法。【篇名】含参量反常积分性质探析【摘要】用一致收敛的概念直接证明含参量反常积分的分析性质，大大简化了含参量反常积分的分析性质的证明过程和证明难度,含参量反常积分的分析性质在特殊函数的分析性质的讨论和应用中有重要的意义。[4]【篇名】含参量反常积分一致收敛性【摘要】通过对积分变量作变量变换将两种含参量反常积分的一致收敛性建立联系，给出了借助含参量无穷限反常积分的一致收敛性判断含参量无界函数反常积分一致收敛性的一种方法，从而在一定程度上将二者统一,加深读者的理解与认识。【篇名】含参量反常积分的局部一致收敛与连续性【摘要】给出了含参量反常积分局部一致收敛的定义，证明了局部一致收敛与含参量反常积分连续的等价性，最后讨论了含参量反常积分几种收敛性的关系。【篇名】欧拉公式在计算反常积分中的应用【摘要】被积函数为指数函数与三角函数的乘积或为指数函数、幂函数与三角函数的乘积的无穷限反常积分在《数学分析》与《积分变换》课程中常出现，当被积函数复杂时用通常的计算方法计算会很困难，甚至计算不出结果.运用欧拉公式将三角函数化为复指数函数,从而将被积函数为指数函数、幂函数与三角函数的乘积化为指数函数与幂函数乘积，使相应的无穷限反常积分的计算变得较为简单.本文通过实例说明该种计算方法的简便之处，并就适应的题型做了详细的总结,对大学数学教师教学和学生学习有很好的参考价值.[7]【篇名】对反常积分性质的再讨论【摘要】我们知道在黎曼意义下的积分，函数有界是函数可积的必要条件.那么在广义积分下，会是什么情形?本文通过具体实例，讨论了两者关系.【篇名】反常积分与无穷级数收敛性关系探析【摘要】反常积分与无穷级数是《数学分析》中的重要容,其收敛性在本质上有着密切的联系这为我们提供了进行平行类比学习的理论依据，但也应该看到二者的差别，即无穷积分t,a乙f(x儿收敛却未必有limxsf(%)=0。为此，讨论了无穷积分t,a乙f(x)dx收敛则lim%«f(x)=0的若干充分条件。【篇名】关于反常积分习题课的教学【摘要】在反常积分习题课教学中，选取适当例题,诠释反常积分与定积分之间的差异.通过变更或补充被积函数所满足的条件，设计相应习题，并最终借助题解说明,在一定条件下，对收敛的反常积分,其被积函数在无穷远处必为无穷小.【篇名】反常积分敛散性的数列式判别法【摘要】本文将数列的敛散性与反常积分的敛散性结合起来，利用数列的性质,更为简便直观地判别反常积分的发散.【篇名】Schedulingconcur