傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明

1、考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数，由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和。假设可以，不失一般性，于是得到：f2如+>A口宙口（龄侧f+护H）,FT-12、将后面的正弦函数展开：A„sin(n®£+(pn}—Ansin趴cosnot；+cos<pasinn(at,于是得到：那么如何计算a,b,a这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。nn0面的这些积分为于是得到：那么如何计算a,b,a这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。nn0面的这些积分为0被称之为正余弦函数的正交性。这些证明很简单，可惜当初学习正余弦函数的时候可能遇到过，但是却不知道这些东西能干什么用。下面的处理手段凸显了大师的风范：如果我们队原函数进行如下积分，得到很神奇的东西：jH"「--Xcxjs^rd.r7jH"「--Xcxjs^rd.r7bksm/\rd.T.后面的积分很明显是0,于是我们求出了a。的值。那么如何求出a，如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。利用三角函数的正交性，可以得到：/（3那么如何求出a，如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。利用三角函数的正交性，可以得到：/（3：）ctifirLrd.r再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到b,n于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现A0/2而不是直接的A0的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多，他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet的家伙证明出如下结论：定理£收敛定理，狄利克雷(Diruh就)充分条件)设儿八是周期为2rr的周期函数•如果它满足：(1｝在一个周期内连续或只有有限个第一董闾斷点*f.2)在一个周期内至參只有有限个根值点.则心〉的傅里叶级数收爼并且当-r是的连续盒时.级数收毀于点上；:当’是门八的间断点时.级数收敛于y[/(^)+U*)]■有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间••…至此以2n为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该不会这么凑巧是2n,于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2n周期函数的基础之上的。也就是说如何让一个以21为周期的函数变成一个以2n为周期的函数，于是乎可以使

用z=2n*x/(2l),用z=2n*x/(2l),这样就z就是一个以2n为周期的函数了，于是乎得到如下公式:傅里叶函数看起来其实还是比较复杂的，有没有一种更简单的表达形式来表示呢。既然提出这个问题，肯定是有的，我个人猜想肯定是复变函数大师在挖掘复变函数的时候，用复变函数去套用经典的傅里叶变换，偶然间发现的……—个基本的欧拉公式eie二COS9+i*sin6,这个很容易可以从复数的几何意义上得知，我们通nn=1TOC\o"1-5"\h\za 1 jf(t)=o+厶(a[—(ejn®ot+e_j叫)]—b[—(ejn®ot—e_j叫)]T2 n2 n2n=1a守za—jb a+jb 、=f+乙(—n nejn叫t+n ne—jn叫t)2202n=11Ft亍J2匸打(t)dt，令厂=令厂=a_jbc一2¥[JZ左⑴cosne肿一丿區fT(灯sin卜®同]止 —三 一三1T=J2f(t)[cosn①t—jsinn①t]dtTOC\o"1-5"\h\zT_TT 0 021[t=—J2f(t)e_j叫dt,(n=1,2,3, )T_TT22同理：C=^~n n=J2f(t)e.j叫'dt,(n=1,2,3, ),_n2T_TT 1Ftc=J2f(t)e-j叫dt,(n=±1,±2,±3,nT_TT—22rfT（t）e如赤f(t)=C+