磁场（4）-备战2022年高考案头必备模型（原卷版）

模型24磁场（4）-备战2022年高考案头必备模型+典例+方法+练习目录在磁场中运动的时间、长度极值 2带电粒子在组合场中的运动 4交变磁场中的粒子运动 10带电体在复合场中，有弹力及摩擦参与下的运动 13带电粒子在磁场运动的多解问题 18

在磁场中运动的时间、长度极值【模型+方法】①求最远距离：直径是最远的距离②求时间：最短的弧长对应最短的时间，同时是最短的弦长；最长的弧长对应最长的时间，不一定是最长的弦长。【典例】(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（）A.eq\f(7πm,6qB)B.eq\f(5πm,4qB)C.eq\f(4πm,3qB) D.eq\f(3πm,2qB)【解析】粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示.圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最大，【练习】如图所示，荧屏MN上方有水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里.距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q、质量为m、速率为v的带正电粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则A.粒子能打到板上的区域长度为2eq\r(3)dB.能打到板上最左侧的粒子所用的时间为eq\f(πd,v)C.粒子从发射到打到绝缘板上的最长时间为eq\f(πd,v)D.同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差为eq\f(7πd,6v)带电粒子在组合场中的运动【模型+方法】分段研究的思想1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现.2.分析思路(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理.(2)找关键：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键.(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题.【典例1】如图所示，在第二象限的正方形区域Ⅰ内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，在第四象限区域Ⅱ存在着垂直纸面向外足够大的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反。一质量为m、电量为e的电子由P（－d，d）点沿x轴正方向射入磁场区域Ⅰ。若电子从（0，d2）位置射出并进入第一象限，求：（1）电子的轨迹半径R；（2）电子离开磁场Ⅱ时的位置与坐标原点O的距离。【答案】(1)54d；(2)【解析】(1)粒子运动轨迹如图所示根据几何关系得R2解得R=5(2)由上可知则∠PHM=53°，根据几何知识，带电粒子在射出磁场区域I时与水平方向夹角为53°，则有ON=d根据几何关系得NA=Rsin53°则电子离开磁场Ⅱ时的位置与坐标原点O的距离x=3【典例2】在空间建立直角坐标系xoy，以坐标原点O为圆心作两个半径分别为r和R的同心圆，小圆与两坐标轴分别交于M、P、两点，Q也是小圆上的一点；两圆将空间分隔成三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。在区域Ⅰ内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，区域Ⅱ内也存在垂直于坐标平面的匀强磁场，区域Ⅲ内没有磁场。一个不计重力、带电量为+q、质量为m的粒子从M点沿－y方向进入磁场，从P点进入区域Ⅱ，又从Q点再次回到区域Ⅰ。已知∠POQ＝60°，求：（1）求区域Ⅰ和区域Ⅱ内磁场的磁感应强度；（2）若要使粒子约束在磁场内，求大圆半径R的最小值；（3）粒子在磁场中运动的周期。【答案】（1）B1=mv0qr，垂直xoy平面向里；3mv0qr，垂直【解析】（1）设在区域Ⅰ内轨迹圆半径为r1=r由牛顿第二定律得qv则区域Ⅰ磁场的磁感应强度为B1垂直纸面向里设粒子在区域Ⅱ中的轨迹圆半径为r2，部分轨迹如图所示，由几何关系得由牛顿第二定律得qv所以B2=3方向与B1相反，即垂直xoy平面向外（2）由几何关系得R＝2r2+r2＝3r2即R=3r（3）轨迹从M点到Q点对应圆心角θ=90°+60°=150°，要仍从M点沿y轴负方向射入，需满足：150n=360m，m、n属于自然数，即取最小整数m=5，n=12，其中区域Ⅰ做圆周运动周期T1=区域Ⅰ做圆周运动周期T2=2πmq粒子在磁场中运动的周期T=12(T1+T2)=【练习1】如图为一磁约束装置原理图。原点O为两个大小不同的同心圆的圆心。半径为r的小圆区域I内有方向垂直xOy平面向里的匀强磁场B1（B1未知），两圆之间的环形区域Ⅱ内有方向未知但垂直于xOy平面的另一匀强磁场B2，且B2=3B1。一质量为m、电量为q、初速度为v0的带正电粒子从坐标为（0，r）的A点沿-y方向射入区域I，然后从x轴上的P点沿+x方向射出，粒子经过区域Ⅱ后再次射入区域I，Q点是区域I(1)区域I中磁感应强度B1；(2)大圈的最小半径R；(3)粒子从A点沿y轴负方向射入圆形区域I，经过多少时间第二次到达Q点。【练习2】如图所示，在直角坐标系xOy中，x≥0，y≥0范围内有两个匀强磁场区域I和II，磁场方向均垂直纸面向里，虚线y=34x为它们的分界线，区域I的磁感应强度大小为，区域II的磁感应强度大小可调，P点为它们分界线上的某一点，已知OP=4L。质量为m，带电量为-q的粒子从O点沿轴方向射入磁场I中，速度大小为qB(1)粒子不会飞出第一象限，求粒子在区域II磁场中做圆周运动的半径大小应满足的条件；(2)粒子在第一象限内运动的过程中，恰好能经过P点，求区域II磁场的磁感应强度大小的所有可能值。交变磁场中的粒子运动【典例】如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。求：（1）磁感应强度B0的大小；（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。【答案】（1），（2）(n=1，2，3…)。【解析】(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，即：qv0B0=mv做匀速圆周运动的周期：T0=2πrv联立两式得磁感应强度：B0=；(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，v0的方向应如图所示，有：r=d4当在两板之间正离子共运动n个周期，即nT0时，有r=(n=1，2，3…)联立方程求解，得正离子的速度的可能值为：v0=B0qrm=(n=1，2，【练习1】如图甲所示，在坐标系xOy的第一象限内存在图乙所示的交变磁场(取垂直纸面向外为正)，OD与x轴正方向的夹角为α，α＝37°，P(4L,3L)是OD上一点．t＝0时刻，一质量为m、所带电荷量为q的带正电粒子从P点沿y轴负方向射入磁场，经过一定的整周期(交变磁场变化的周期)后粒子恰好能经过原点O，已知粒子的重力不计，sin37°＝0.6，求：(1)粒子的运动速度应满足的条件．(2)交变磁场变化的周期T.【练习2】真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×l0-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷qm=1×l06C/kg，不计粒子重力。(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻；(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值；(3)若t0=π2×10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k带电体在复合场中，有弹力及摩擦参与下的运动【模型+方法】1.带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动(1)洛伦兹力、重力并存①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动.②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题.(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动.②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题.(3)电场力、洛伦兹力、重力并存①若三力平衡，一定做匀速直线运动.②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动.③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题.2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解.【典例1】套在长绝缘直棒上的小环质量为m，带电量为+q，小环内径比棒的直径略大．将棒放置在方向均水平且正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度为E，磁感应强度为B，小环与棒的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，现将小环从静止释放，小环可沿绝缘直棒下滑，棒足够长，下列说法正确的是（）A．小环从静止释放瞬间加速度a0B．小环运动过程的最大加速度amC．小环运动过程中最大速度vmD．当摩擦力增加到与重力平衡时，小球的速度最大【答案】ABD【解析】A．释放小环瞬间，根据牛顿第二定律，则有mg-μqE=ma0解得a0故A正确；

B．当摩擦力为零时，则qE=Bv1q即v1=EB时，加速度最大，此时合力等于重力，故最大加速度为a故B正确；

CD．当摩擦力增加到与重力平衡时，小球的速度最大，故μ（Bvq-qE）=mg解得故C错误，D正确；故选ABD。【典例2】如图所示，水平地面上方有水平向右的匀强电场，竖直放置的光滑绝缘圆弧轨道固定在地面上，轨道末端C点与圆心O的连线和竖直直径的夹角为30°，轨道右侧竖直虚线MN和PQ间还有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。一带电小球（看做质点）自最高点A水平向左进入轨道，小球的质量m=0.3kg，带电量，小球沿着轨道圆周运动至C点的过程中，和轨道间的最小压力，小球离开轨道后立即进入MN右侧有磁场的区域，在MN和PQ间恰好做直线运动，运动至和A点等高的D点离开磁场区域，又经过一段时间落在地面上。已知重力加速度g=10m/s2，求：(1)小球运动至轨道末端C点时的速度大小；(2)圆弧轨道的半径；(3)小球最后落地时的速度大小。【解析】(1)小球在MN和PQ间只能做匀速直线运动，且带正电，沿着运动方向则有qEcos可得匀强电场的电场强度E=1003垂直运动方向则有qvB=qEsin解得小球在磁场中的速度，即在轨道末端时的速度v=10m/s(2)小球在轨道上运动至等效最高点时mg2自等效最高点至等效最低点（C点）mg2可得圆弧轨道的半径R=0.6m(3)小球离开磁场后，竖直方向则有vy落地时竖直分速度又有2R=-可得小球离开磁场到落地的时间落地时水平速度vx落地时速度v2【练习1】如图所示，一倾角为θ=53°（图中未标出）的斜面固定在水平面上，在其所在的空间存在竖直向上、大小E=2×106V/m的匀强电场和垂直竖直面向里、大小B=4×105T的匀强磁场。现让一质量m=4kg、带电量q=+1.0×10-5C的带电小球从斜面上某点（足够高）由静止出发，当沿斜面下落位移大小为3m时，小球开始离开斜面，则以下说法正确的是（）（g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）A．离开斜面前小球沿斜面做加速度为4m/s2的匀加速运动B．小球离开斜面时的速度为3m/sC．该过程中小球电势能增加了60JD．该过程中由于摩擦而产生的热量为30J【练习2】如图所示，空间存在垂直于纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，场内有一绝缘的足够长的直杆，它与水平面的倾角为θ，一带电量为－q、质量为m的带负电的小球套在直杆上，从A点由静止沿杆下滑，小球与杆之间的动摩擦因数为μ，在小球以后运动的过程中，下列说法正确的是（）A．小球下滑的最大速度为v=mgsinθμBq B．小球下滑的最大加速度为amC．小球的加速度先增大后减小 D．小球的速度先增大后减小带电粒子在磁场运动的多解问题【模型+方法】类型分析图例带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b磁场方向不确定在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b临界状态不唯一带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解典例如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而