函数的概念及表示 课件

了解构成函数的要素/了解映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域/理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数/了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题

第二单元函数导数积分2.1函数的概念及表示1.函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数列与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫做

，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{y|y=f(x),|x∈A}叫值域．定义域2．函数的三种表示方法：解析法、列表法、

．

3.

映射定义：设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在集合中B中有且仅有一个元素y与之对应，那么就称对应f是集合A到集合B的一个映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作f（x），于是y=f（x），x称作y的原象.图象法1．已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}∩{(x，y)|

x＝x0}中所含元素的个数是(

)

A．0个 B．1个

C．0或1个 D．0或1或无数个 解析：垂直于x轴的直线与函数的图象最多只有一个交点． 答案：C2．下列方程对应的图形，其中不是函数图象的是(

)A．y＝|x| B．y＝|x－1|＋|x＋1|C．y＝ D．|x|＋|y|＝1

解析：D中方程当x取某值时y取值不唯一．答案：D3．函数f(x)＝lg的定义域为(

)A．[0,1] B．(－1,1)C．[－1,1] D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：由1－x2>0得－1<x<1，则函数f(x)的定义域为(－1,1)．答案：B4．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．解析：∵y＝的定义域为R，

∴对一切x∈R都有≥1恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立．∴Δ≤0成立，即4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.

答案：[－1,0]

求函数表达式的主要方法有：代入法、换元法、待定系数法和消元法等．如果是求复合函数的解析式可用代入法；已知复合函数的解析式可用换元法求原来函数的解析式，特殊情况下可利用代入法和凑项法解决；如果已知函数的解析式的类型，可采用待定系数法等．

【例1】(1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)；

(2)已知f(x)为一次函数，且f{f[f(x)]}＝8x＋7，求f(x)；

(3)已知f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x)． 解答：(1)解法一：设x＋1＝t，则x＝t－1，代入f(x＋1)的解析式，得

f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2，∴f(x)＝x2＋2x－2.

解法二：∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x2＋2x＋1)＋2(x＋1)－2＝(x＋1)2＋

2(x＋1)－2.用x替代x＋1，得f(x)＝x2＋2x－2.(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以f{f[f(x)]}＝f[f(ax＋b)]＝f[a(ax＋b)＋b]

＝a[a(ax＋b)＋b]＋b＝a3x＋a2b＋ab＋b＝8x＋7，所以解得所以f(x)＝2x＋1.(3)由已知得消去f()，得f(x)＝.变式1.(1)若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(

)

A．－2 B．2 C．－ D.

解析：f(4x)＝，依题意＝x，解得x＝.

答案：D(2)已知

，则f(x)的解析式可以为(

)

解析：令t＝，则x＝，∴f(t)＝.

答案：C研究函数的图象和性质，要注意“定义域优先”的原则，即必须先考虑函数的定义域、求函数的定义域通常是通过解不等式(或不等式组)完成．【例2】求下列函数的定义域：(1)y＝；

(2)y＝＋lg(cosx)；(3)y＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．解答：(1)由解得∴所求函数定义域为．(2)由解得∴所求函数定义域为 ．(3)由ax－1＞0得ax＞1，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0.∴a＞1时，所求函数定义域为(0，＋∞)；0＜a＜1时，所求函数定义域为(－∞，0)．变式2.设f(x)＝lg，则f()＋f()的定义域为(

)

A．(－4,0)∪(0,4) B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－4，－2)∪(2,4)

解析：f(x)＝lg的定义域为(－2,2)，由解得－4<x<－1或1<x<4.

答案：B

函数、方程、不等式三者密不可分，比如f(x)＝g(x)就是求函数f(x)与函数g(x)图象交点的横坐标，同时也可利用方程f(x)＝g(x)的解，结合函数f(x)与g(x)的图象求不等式f(x)<g(x)的解等．【例3】设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x解的个数为(

)A．1 B．2 C．3D．4

解析：由f(－4)＝f(0)，得b＝4，再由f(－2)＝－2，得c＝2，∴x＞0时，显然x＝2是方程f(x)＝x的解；x≤0时，方程f(x)＝x即为x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2.综上，方程f(x)＝x解的个数为3.

答案：C

变式3.设f(x)＝则f(x)≥

的解集是(

)A．(－∞，－2]∪[，＋∞) B．[－2,0)∪(0，]C．[－2,0)∪[，＋∞) D．(－∞，－2]∪(0，]

解析：据题意可知原不等式等价于，或分别解之即可．答案：D1．若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则两个函数为同一函数．

2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视．

3． 映射不一定是函数，而函数是特殊的映射．求映射作用下的象就是代换(代入法)，而求映射作用下的原象就是解方程或解方程组．【方法规律】

4．求用解析式y＝f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R； ②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题．5．求实际问题的函数定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.

(2009·浙江)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过